第三章　进阶篇　不等式恒(能)成立问题　进阶3　分类讨论

第三章进阶篇

不等式恒(能)成立问题进阶3分类讨论导数之所以难是因为加入了参数使得确定的函数变得不确定，因此对参数进行讨论进而确定出函数的性质非常重要，所以在做题之前需要确定题目分类讨论的依据.重点解读

题型一变号函数为一次、二次函数

变号函数为二次函数时，变号函数为0的方程一般有两个不同实数根x1，x2(无根情况下二次函数恒正或恒负)，理论上要分x1>x2，x1<x2进行讨论；若函数f(x)有定义域限制，则方程往往会涉及根的分布问题，需要结合定义域对根的分布进行分类讨论.思维升华

题型二变号函数为准一次、二次函数例2

(2025·湖北十一校联考)已知函数f(x)=ae2x+x+1(a<0).(1)当a=-1时，求函数y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；解

当a=-1时，f(x)=-e2x+x+1，f'(x)=1-2e2x，f'(0)=-1，f(0)=0，则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y-0=-1×(x-0)，即y=-x.例2

(2025·湖北十一校联考)已知函数f(x)=ae2x+x+1(a<0).(2)求函数f(x)的单调区间；

例2

(2025·湖北十一校联考)已知函数f(x)=ae2x+x+1(a<0).(3)若不等式f(x)+(a+2)ex≤0恒成立，求整数a的最大值.

例2

(2025·湖北十一校联考)已知函数f(x)=ae2x+x+1(a<0).(3)若不等式f(x)+(a+2)ex≤0恒成立，求整数a的最大值.

变号函数为准二次函数时，一般通过换元的方法转变为二次函数，利用二次函数零点大小的讨论解决问题.思维升华跟踪训练2

(2025·河北名校联考期末)设函数f(x)=x(lnx-a)2.(1)当a=2时，求f(x)的单调区间；解由题意知f(x)的定义域为(0，+∞).当a=2时，f(x)=x(ln

x-2)2，f'(x)=ln

x(ln

x-2)，∴当x∈(0，1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1，e2)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(e2，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)的单调递减区间为(1，e2)，单调递增区间为(0，1)，(e2，+∞).跟踪训练2

(2025·河北名校联考期末)设函数f(x)=x(lnx-a)2.(2)当x∈(0，e]时，f(x)≤4e3，求a的取值范围.解f'(x)=(ln

x-a)(ln

x-a+2)，令f'(x)=0，解得x=ea-2或x=ea，∴当x∈(0，ea-2)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(ea-2，ea)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(ea，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)在x=ea-2处取得极大值，且f(ea-2)=4ea-2，跟踪训练2

(2025·河北名校联考期末)设函数f(x)=x(lnx-a)2.(2)当x∈(0，e]时，f(x)≤4e3，求a的取值范围.

题型三三角函数型单调性讨论

思维升华跟踪训练3

(2026·天津河西检测)已知函数f(x)=ex+cosx-2.(1)求f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；解由题设f'(x)=ex-sin

x，则f'(0)=1，又f(0)=0，所以f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=x，即x-y=0.跟踪训练3

(2026·天津河西检测)已知函数f(x)=ex+cosx-2.(2)证明：函数f(x)只有一个零点；证明当x<0时，0<ex<1，-1≤cos

x≤1，故f(x)=ex+cos

x-2<0恒成立；当x=0时，f(0)=0；当x>0时，方法一

令g(x)=f(x)-x=ex+cos

x-2-x，x>0，则g'(x)=ex-sin

x-1，令p(x)=g'(x)，则p'(x)=ex-cos

x>0，跟踪训练3

(2026·天津河西检测)已知函数f(x)=ex+cosx-2.(2)证明：函数f(x)只有一个零点；证明即p(x)=g'(x)在(0，+∞)上单调递增，所以g'(x)>g'(0)=0，故g(x)=f(x)-x在(0，+∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)=0，则f(x)>x>0在(0，+∞)上恒成立.方法二

f'(x)=ex-sin

x>0恒成立，即f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)=0.综上，函数f(x)只有一个零点为x=0，得证.跟踪训练3

(2026·天津河西检测)已知函数f(x)=ex+cosx-2.(3)当x∈(0，+∞)时，函数f(x)>ax-sinx恒成立，求a的取值范围.解由题意，当x∈(0，+∞)时，ex+cos

x-2>ax-sin

x恒成立，所以当x∈(0，+∞)时，h(x)=ex+cos

x+sin

x-2-ax>0恒成立，而h'(x)=ex-sin

x+cos

x-a，令φ(x)=h'(x)，x>0，则φ'(x)=ex-cos

x-sin

x，对于m(x)=ex-x-1，x>0，跟踪训练3

(2026·天津河西检测)已知函数f(x)=ex+cosx-2.(3)当x∈(0，+∞)时，函数f(x)>ax-sinx恒成立，求a的取值范围.解则m'(x)=ex-1>0，所以m(x)在(0，+∞)上单调递增，则m(x)>m(0)=0，可得ex>x+1，对于n(x)=x-sin

x，x>0，则n'(x)=1-cos

x≥0，所以n(x)在(0，+∞)上单调递增，则n(x)>n(0)=0，可得x>sin

x，跟踪训练3

(2026·天津河西检测)已知函数f(x)=ex+cosx-2.(3)当x∈(0，+∞)时，函数f(x)>ax-sinx恒成立，求a的取值范围.解综上，ex>x+1>sin

x+cos

x，则φ'(x)>0，即φ(x)=h'(x)在(0，+∞)上单调递增，所以h'(x)>h'(0)=2-a，当a≤2时，h'(x)>0，即h(x)在(0，+∞)上单调递增，此时h(x)>h(0)=0，满足题意；跟踪训练3

(2026·天津河西检测)已知函数f(x)=ex+cosx-2.(3)当x∈(0，+∞)时，函数f(x)>ax-sinx恒成立，求a的取值范围.解当a>2时，h'(0)=2-a<0，h'(ln(2+a))=2-sin[ln(2+a)]+cos[ln(2+a)]>0，所以∃x0∈(0，ln(2+a))，使h'(x0)=0，即存在区间(0，x0)，使h(x)<0，不满足题意(保号性：h'(0)=2-a<0，h(0)=0，故必存在h(x)<0的情况，不满足题意)；综上，a的取值范围是(-∞，2].课时精练答案121.

答案121.

答案121.

答案121.

答案122.

答案122.

2.

答案122.

答案122.

答案122.

答案122.

答案12

12答案

12答案

12答案

12答案2.已知函数f(x)=x2-2x-alnx，g(x)=ax.(1)讨论函数F(x)=f(x)+g(x)的单调性；

12答案2.已