第五章　§5.2　平面向量基本定理及坐标表示

第五章

§5.2平面向量基本定理及坐标表示1.掌握平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共线.考试要求课时精练落实主干知识探究核心题型内容索引落实主干知识1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个

向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=

.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个

的向量，叫做把向量作正交分解.不共线λ1e1+λ2e2互相垂直

(x1+x2，y1+y2)(x1-x2，y1-y2)(λx1，λy1)终点(x2-x1，y2-y1)

4.平面向量共线的坐标表示设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔

.x1y2-x2y1=0

自主诊断×√√√2.已知a=(2，1)，b=(-3，4)，则3a+4b的坐标是A.(6，19) B.(6，-13)C.(-6，19) D.(-6，-13)√解析因为a=(2，1)，b=(-3，4)，所以3a=(6，3)，4b=(-12，16)，则3a+4b=(-6，19).3.已知向量a=(m，m+3)，b=(4，m)，则“m=6”是“a与b共线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√解析向量a=(m，m+3)，b=(4，m)，则a∥b⇔m2-4(m+3)=0，解得m=-2或m=6，所以“m=6”是“a与b共线”的充分不必要条件.4.已知平行四边形ABCD的顶点A(-1，-2)，B(3，-1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为

.

(1，5)

微点提醒

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√题型一平面向量基本定理的应用√

解析选项D，设2e1=λ(-e2)，即2e1+λe2=0.因为e1，e2不共线，所以不存在实数λ，使得2e1+λe2=0成立，所以2e1与-e2不共线，可以作为一个基底，D选项正确.

3

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.思维升华

√

√

题型二平面向量的坐标运算√

(2)(2025·全国Ⅰ卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.表格给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为A.轻风

B.微风 C.和风

D.劲风级数名称风速大小(单位：m/s)2轻风1.6~3.33微风3.4~5.44和风5.5~7.95劲风8.0~10.7√

(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解.(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.思维升华

√

√

题型三向量共线的坐标表示√

(2)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为

.

(3，3)

平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1.(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).思维升华

√√

√

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√

微拓展

√

返回课时精练对一对答案1234567891011121314题号12345678答案DBCCDAACAB题号9101314答案(0，2)

BD答案123456789101112131411.

答案123456789101112131412.

答案123456789101112131412.

答案123456789101112131412.

√1234567891011121314答案知识过关1234567891011121314答案

2.(2026·重庆模拟)已知平面向量a=(1，k+1)，b=(2k-1，2k2)，若a∥b，则k等于A.-1B.1C.2

D.31234567891011121314√答案解析根据题意，平面向量a=(1，k+1)，b=(2k-1，2k2)，且a∥b，所以1×2k2=(k+1)(2k-1)，解得k=1.3.已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，以a，b为基底，则c可表示为.A.c=-2a+3b

B.c=-3a+2bC.c=3a-2bD.c=2a+3b√1234567891011121314答案1234567891011121314答案

√1234567891011121314答案1234567891011121314答案

5.在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN交于点P，若AM=5.5，则AP的长是A.3.8B.4C.4.2D.4.4√1234567891011121314答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

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1234567891011121314答案√1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

√√1234567891011121314答案

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1234567891011121314答案√√1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案(0，2)

1234567891011121314答案四、解答题11.平面内给定三个向量a=(3，2)，b=(-1，2)，c=(4，1).(1)若(a+kc)∥(2b-a)，求实数k；

1234567891011121314答案

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