北师大版小学数学五年级上册《小数除法：基于计数单位均分的算理重构与算法迁移》教学设计

北师大版小学数学五年级上册《小数除法：基于计数单位均分的算理重构与算法迁移》教学设计一、教学内容解析【基础·核心】本课为“小数除法”单元的起始课与核心课，教学内容覆盖北师大版五年级上册第一单元第1至3课时，主要包括除数是整数的小数除法（如11.5÷5）、被除数整数部分不够除需商0占位的情况（如5.6÷7）、以及除到被除数末尾仍有余数需添0继续除的情况（如1.8÷12）。本部分内容是学生从整数计算领域迈向有理数计算领域的关键一步，在整个小学阶段的运算教学中具有承上启下的核心地位。【重要·本质】“承上”在于，小数除法并非全新的知识，其根本的算理与整数除法一脉相承，都是基于“计数单位的均分”。整数除法是将若干个“一”、“十”、“百”进行分配，而小数除法则是将若干个“十分之一”、“百分之一”进行分配。例如，计算22.4÷4，其本质就是将224个“十分之一”平均分成4份。理解这一点，学生才能打破“小数除法是新规则”的机械记忆，建立起除法运算的整体性和一致性认知。【高频考点·难点】“启下”在于，本课所建立的“计数单位均分”的算理模型，将直接服务于后续更复杂的除数是小数的除法（如5.28÷1.2，需转化为除数是整数的除法进行计算）。同时，本课涉及的商的中间有0、末尾需要补0等情形，也是本单元乃至整个小学阶段计算考查的【高频考点】。而理解“商的小数点为什么要和被除数的小数点对齐”以及“为什么可以在余数后面添0继续除”，是本节课的【难点】，其本质是学生对位值制和小数基本性质的理解深度。二、学情分析【基础·前提】知识起点：学生在四年级已经掌握了整数除法的计算方法，理解了“余数必须比除数小”，并系统学习了小数的意义和性质，知道小数的末尾添上“0”或去掉“0”小数的大小不变，也掌握了小数加减法。能力起点：五年级学生具备了一定的抽象思维能力和迁移推理能力，他们可能会模仿整数除法竖式的书写格式进行计算，但对于“商的小数点位置”的确定，往往知其然不知其所以然，处于一种“模仿算法”而非“理解算理”的阶段。【难点·预判】认知冲突：学生在整数除法中习惯了“余数即停止”的思维定势。当遇到1.8÷12，除到被除数的末尾仍有余数时，会产生“无法继续除下去”的困惑。此时，引导学生利用小数的基本性质，将1.8看作1.80，从而“制造”出更多的计数单位继续除，是突破思维定势的关键。典型错误：商的小数点遗漏；整数部分不够除时，商的个位漏写0（如将5.6÷7算成8）；中间步骤的余数处理不当导致数位错乱。三、教学目标设定【核心·达成】1.知识与技能（基础性目标）：理解并掌握除数是整数的小数除法的计算方法，能正确、熟练地进行竖式计算，并能运用其解决简单的实际问题。2.过程与方法（核心素养导向）：经历“单位换算——计数单位拆分——竖式记录”的探究过程，体会“转化”的数学思想，感悟除法运算在计数单位层面的“一致性”，发展运算能力和推理意识。3.情感态度价值观（育人目标）：在解决“购物”、“跑步”等生活问题的过程中，感受数学的实用价值；通过“精打细算”的体验，培养理性消费和严谨细致的科学态度。四、教学准备多媒体课件（包含人民币模型、计数单位演示动画）、学习任务单。五、教学实施过程（核心环节，占绝大部分篇幅）（一）情境驱动，问题导入——激活经验，指向“均分”【热点·生活化】课堂伊始，大屏幕出示两家超市牛奶促销的对比情境：甲商店，5袋牛奶共11.5元；乙商店，6袋牛奶共12.9元（此处数据略作调整，避免直接整除，以增加探究空间）。教师引导：同学们，作为家庭的小主人，我们得学会“精打细算”。要判断哪家更便宜，我们不能只看总价，要看什么？（单价）如何求甲商店每袋牛奶的价格？学生根据数量关系列出算式：11.5÷5。教师追问：观察这个算式，它和我们以前学过的除法（如115÷5或224÷4）有什么不同？（学生发现被除数是小数）【设计意图：以真实购物情境切入，不仅激发兴趣，更直指数学的本质——平均分。从“分钱”入手，为后面利用“元、角、分”模型理解算理做好铺垫。】（二）算法多样，聚焦“元角分”——直观支撑，理解“分法”【基础·算理】教师组织学生进行第一次小组合作探究：11.5÷5，到底等于多少？你能不能用我们已经学过的知识，把自己的想法表示出来（可以写、可以画）？学生小组活动，教师巡视，收集代表性作品。预设学生会出现以下几种方法：方法一：单位换算法。将11.5元化成115角，115÷5=23（角），23角=2.3元。方法二：拆分法。11.5元=10元+1.5元。10÷5=2（元），1.5元=15角，15÷5=3（角）=0.3元，2元+0.3元=2.3元。方法三：竖式计算（可能有正确或错误的写法）。【核心追问·聚焦本质】教师将“单位换算法”和“拆分法”并列呈现在黑板上，组织全班进行思辨：1.无论是把11.5元换成115角，还是把1.5元看成15角，我们为什么都要把“元”换成“角”来计算？引导学生感悟：因为“元”的单位太大，直接分会出现小数，不好分。而换成更小的单位“角”，就是把新问题转化成了我们已经学过的整数除法。这背后的数学思想就是——“转化”。2.结合拆分法的过程，我们再来看看竖式该怎么写？教师板书竖式，重点引导：在整数部分，11除以5，商2余1。这个“1”是多少？（1元）剩下的1元不够直接分给5个人，怎么办？正如同学们刚才做的，我们要把1元换成10角。此时，在竖式中，这个“1元”是怎么变成“10角”的？它要和原来十分位上的“5角”合并。这个过程在竖式里如何体现？教师演示：在“1”的右边点上小数点（实际上这个点不写，但心里要知道），将十分位上的“5”落下来，合起来就是“15”。但这个“15”表示的是15个什么？（15个十分之一，也就是15角）。15个十分之一除以5，得到3个十分之一。所以，商“3”应该写在哪个数位上？（十分位）怎样才能让这个“3”表示十分位？我们需要在商“2”的右边点上小数点，然后再写“3”。【非常重要·归纳】师生共同总结：商的小数点一定要和被除数的小数点对齐。因为小数点是对齐数位的标志，只有小数点对齐，相同计数单位才能相除。这一环节，通过“实物模型（元角分）”与“符号模型（竖式）”的一一对应，将抽象的算理变得可视、可感，彻底打通了整数除法与小数除法之间的壁垒。（三）迁移类推，内化算理——解决“整数部分不够除”与“添0继续除”【难点·分层突破】第一层次：整数部分不够除（商0占位）教师出示例题改编题：如果将计划修改一下，王鹏计划7周跑步5.6千米，平均每周跑多少千米？列式：5.6÷7。学生尝试独立竖式计算。这时，大部分学生会产生困惑：“5比7小，怎么除？”【非常重要·易错警示】引导讨论：5除以7，不够商1，怎么办？学生在整数除法中已经学过“0除以任何非0数得0”，并能迁移出：个位上不够商1，必须用“0”来占位。否则，商就会变成两位数，导致结果扩大了10倍甚至100倍。教师追问：商完0之后，接下来怎么算？5.6看作56个十分之一，56个十分之一除以7，得8个十分之一。所以商是0.8。这里的“0”起到了“占位”和“预警”的双重作用，告诉看算式的人，这个结果比1小。第二层次：除到末尾仍有余数（添0继续除）教师再次变换情境：王鹏的爷爷慢跑，12分钟跑了1.8千米，平均每分钟跑多少千米？列式：1.8÷12。【难点突破】学生尝试计算。当商到0.1之后，余数为6。这时，学生发现被除数已经除尽了，但还有余数“6”。制造认知冲突：难道题目做错了吗？1.8千米跑了12分钟，真的除不尽吗？我们能不能继续往下除？依据是什么？教师引导：在有余数的除法里，我们往往用“商……余数”来表示。但在涉及长度、价钱等实际问题时，我们需要更精确的结果。回顾小数的性质，1.8和1.80一样大。也就是说，我们可以在被除数的末尾添上“0”，把它看作1.80继续除。在竖式中，我们在余数“6”后面添上“0”，这个“0”表示60个什么？（60个百分之一）。60个百分之一除以12，得5个百分之一，即0.05。所以商是0.15。【热点·精准归纳】师生共同总结“除数是整数的小数除法”三步骤：1.按照整数除法的方法去除。2.商的小数点要和被除数的小数点对齐。3.如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”继续除（特别强调：这是利用了“小数的基本性质”）。如果整数部分不够除，就在个位商0占位，然后点上小数点继续除。（四）分层练习，深化理解——从“会算”走向“会想”本环节摒弃了单一的题海战术，设计了三个层次分明、指向核心素养的练习。1.基础性练习（面向全体，巩固算法）：列竖式计算：9.6÷4，25.2÷6，34.5÷15。此环节要求学生在练习本上独立完成，重点检查小数点是否对齐，步骤是否完整。同桌互批，针对错例（如34.5÷15中，商中间是否漏掉小数点导致的数位错乱）进行即时辨析。【高频考点】2.诊断性练习（针对难点，辨析算理）：教师出示几个有争议的算式，让学生当“小法官”进行判断并改错。例如：（被除数末尾的0没有继续除）（商的小数点遗漏）（整数部分不够除，没有商0）这一环节通过反例，强化学生对计算规则的深度理解，避免机械套用。【重要·纠错】3.拓展性练习（发展思维，感悟联系）：不计算，直接判断下面各题的商是大于1还是小于1？4.8÷6，7.2÷3，13.5÷15，86.1÷21。学生抢答并说明理由：只需看被除数的整数部分是否比除数大。如果整数部分比除数大，商就大于1；如果整数部分比除数小，商就小于1。【设计意图：这一练习跳出了单纯计算的框架，引导学生从“数感”和“估算”的视角审视除法算式，进一步巩固了“计数单位均分”的本质——分什么单位，得什么结果。】（五）回顾整理，建模提升——构建除法“整体观”【深度总结】教师引导学生回顾本课的学习历程：我们是怎么解决“小数除法”这个新问题的？学生回顾：当遇到小数除法时，我们通过“元角分”把它转化成整数除法；当数位不够除时，我们利用小数的性质“添0”继续分。教师升华：其实，不管是整数除法还是小数除法，它们的本质都是一样的——都是“计数单位的均分”。整数除法是把多少个“一”、“十”进行均分；小数除法是把多少个“十分之一”、“百分之一”进行均分。理解了这一点，我们就掌握了所有除法运算的“金钥匙”。六、教学难点突破策略专述针对本课两大核心难点，除了上述常规教学设计，还应嵌入“微观探究”环节：1.针对“小数点对齐”难点：引入“数位对齐”的底层逻辑。利用课件动画演示，将22.4拆解为2个十、2个一和4个0.1。当十位和个位除完后，剩下的1个一必须转换成10个0.1，和原来的4个0.1组成14个0.1继续除。既然除的是0.1，得到的商就应该是几个0.1，因此必须在商的个位后面点上小数点，将后面的数位定义为十分位。这一动画过程能将静态的规则动态化，让学生亲眼看到数位的“降级”与“重组”。2.针对“添0继续除”难点：实施“猜想—验证—归纳”的科学探究流程。当学生面对1.8÷12产生余数6时，不直接告知方法，而是提问：“余数6表示6个十分之一，还能再分吗？如果能，怎么分？”引导学生利用“小数的末尾添0大小不变”进行猜想。接着，让学生在小组内用1.8元（即1元8角）实际模拟：1.8元平均分给12个人，每人得到0.15元（1角5分）。通过实践验证了“添0”的可行性，最后将这一经验归纳为数学规则。这样的设计，使得规则不再是强加的，而是学生内在需求催生的自然结果。七、板书设计（结构化呈现）小数除法——计数单位均分（一）情境：11.5元÷5=2.3元

整数部分

小数部分

11÷5=2……1

→1转化为10个0.1

10个0.1+5个0.1=15个0.1

15个0.1÷5=3个0.1

竖式：商的小数点与被除数对齐（二）拓展：

5.6÷7=0.8（整数部分不够商1，写0占位）

1.8÷12=0.15（末尾有余数，添0继续除）（三）本质：无论是分“元、角、分”，还是分“计数单位”，都是“平均分”。八、作业与检测设计1.必做题（基础巩固）：完成教材相关练习题，重点练习竖式规范书写。2.选做题（思维拓展）：在不计算的情况下，用连线的方式将左右两边的算式与对应的商连起来。如左边：9.6÷6，4.2÷7，16.8÷8；右边：0.6，2.1，1.6。并说说你是如何快速判断的。3.实践题（生活应用）：请学生周末和父母一起去超市购物