初三数学一轮复习专题：构造与识别隐圆（辅助圆）的四大策略教案

初三数学一轮复习专题：构造与识别隐圆（辅助圆）的四大策略教案

  一、设计理念与理论依据

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，聚焦于几何直观、推理能力与模型思想等核心素养的深化培养。针对中考数学一轮复习的系统性、综合性与应用性要求，本课突破传统按知识模块复习的线性模式，转而采用“问题解决驱动，思想方法提炼”的专题教学模式。理论建构上，融合了“变式教学”理论与“APOS”理论（操作—过程—对象—图式），引导学生从具体问题的操作探究中，归纳抽象出隐圆（辅助圆）的构造模型，经历从具体解题过程到一般性数学对象的认知飞跃，最终内化为解决复杂几何问题的稳定图式和高级思维策略。课程强调在真实的、富有挑战性的问题情境中，实现知识的结构化重组与思维能力的进阶，体现复习课“温故知新、融会贯通”的本质。

  二、学情分析

  授课对象为初三年级学生，正处于中考一轮复习的关键阶段。经过初中两年多的系统学习，学生已完整掌握了圆的基本性质（垂径定理、圆周角定理、圆心角定理、圆内接四边形性质等）、直线与圆的位置关系，以及三角形、四边形等核心平面几何知识，具备一定的逻辑推理与综合论证能力。然而，在面临动态几何、最值问题、路径问题等综合性压轴题型时，学生普遍存在以下瓶颈：第一，思维定势，习惯于在显性图形中寻找关系，缺乏“无中生有”构造辅助元的意识和勇气；第二，模型识别能力薄弱，面对分散的条件，难以洞察其背后隐藏的共圆关系；第三，方法零散，即便偶然使用过辅助圆，也仅限于模仿，未形成系统化的策略体系。因此，本专题旨在帮助学生打通知识间的隐性关联，构建关于“隐圆”的认知结构，提升其几何构造与转化能力。

  三、教学目标

  1.知识与技能目标：系统归纳并掌握触发隐圆（辅助圆）构造的四大基本条件（定点定长、定弦定角、对角互补、动点定角），能准确识别问题特征并熟练添加辅助圆；能综合运用圆的相关性质，解决涉及线段最值、角度转化、路径确定、多解讨论等复杂几何问题。

  2.过程与方法目标：经历从典型例题到一般模型，再从模型回归综合应用的探究过程，体会“观察—猜想—验证—归纳—应用”的数学研究路径；提升在复杂图形中剥离基本结构、进行化归与转化的能力。

  3.情感态度与价值观目标：在破解难题的过程中获得成就感和自信心，感悟数学中“化隐为显”的构造之美与“以静制动”的转化智慧；培养勇于探索、严谨求实、善于总结反思的科学精神。

  四、教学重难点

  教学重点：深刻理解并掌握构造隐圆的四大策略及其几何原理，能够根据问题条件的特征，准确判断并应用相应的策略。

  教学难点：在综合性问题中，灵活、综合地运用多种隐圆策略，尤其是将动态问题转化为定圆问题，并利用圆的性质（如直径是最长的弦、同弧所对圆周角相等、圆外一点到圆上点的距离最值等）进行推理和计算。

  五、教学准备

  教师准备：精心设计的多媒体课件（包括几何画板动态演示、策略思维导图、例题与变式的梯度设计）；预设课堂探究活动单；学情反馈即时评价工具。

  学生准备：复习圆的所有基本性质与定理；准备好直尺、圆规等作图工具；调整至专题攻坚的思维状态。

  六、教学实施过程（核心环节）

  （一）情景导入，揭示课题（时长：约8分钟）

  师：（课件展示一道经典几何题）已知：平面内两点A、B，在平面上找一点P，使得∠APB=90°。请问这样的点P有多少？它们构成什么图形？

  生：（思考并回答）有无数个，构成以AB为直径的圆（除A、B两点）。

  师：非常好。这就是一个最简单的“隐圆”——条件中并未给出圆，但我们根据“直角所对的弦是直径”这一性质，发现了点的集合是一个圆。在更复杂的问题中，这个圆是“隐藏”起来的，需要我们主动去“构造”出来，作为解决问题的桥梁。今天，我们就系统性地探究如何“拨云见日”，让隐藏的圆现形，从而化繁为简，破解难题。我们将其总结为四大核心策略。

  （二）策略探究，模型建构（时长：约60分钟）

  本环节采用“典例引路→探究归纳→模型命名→原理剖析→变式巩固”的五步教学法，逐一攻克四大策略。

  策略一：定点定长，轨迹成圆

  典例1：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点E是边BC上的一个动点，连接AE。将线段AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF。求线段CF的最小值。

  （教师利用几何画板动态演示点E运动时点F的运动轨迹，引导学生观察）

  师：点F是如何产生的？它的运动受到哪些不变量的约束？

  生：点F由定点A，将动线段AE旋转固定角度90°得到。其中，AF的长度始终等于AE的长度。

  师：那么，在变化过程中，对于点F而言，什么是固定的？

  生：定点A是固定的。AF的长度虽然随AE变化，但AE的长度有范围吗？

  师：问得好！AE是矩形中点A到动点E的线段，其长度范围是？

  生：当E与B重合时，AE=AB=4（最长）；当AE⊥BC（即E为垂足）时，AE=AD=3（最短）。所以AE∈[3,4]，因此AF∈[3,4]。

  师：也就是说，动点F到定点A的距离是一个定值吗？

  生：不，是一个变化的值，但有一个变化范围。等等……这似乎不符合“定点定长”……

  师：（启发）我们换一个角度看。在旋转过程中，除了长度关系，还有什么不变的关系？

  生：∠EAF=90°始终不变，且AE=AF。所以三角形AEF始终是等腰直角三角形。

  师：那么，∠AFE是固定的多少度？

  生：45°。

  师：现在，请思考，点F在运动时，满足什么几何特征？

  （学生陷入沉思，教师提示：回顾我们导入的问题）

  生：（恍然大悟）是不是可以看∠AFE的对边AE？不对……看∠AFE本身，它等于45°是定值，但这个角的两边AF和EF都是变化的……

  师：让我们再聚焦。如果我们暂时抛开点C和求最小值的目标，只看点F。它满足：1)与定点A相连；2)与动点E（但E受限于BC线段）相连，且∠EAF=90°，AF=AE。这能否直接得出F的轨迹？似乎有些复杂。我们不妨先看一个更纯净的模型：（课件切换）已知平面内一定点O，一动点P满足OP=L（定长），则点P的轨迹是什么？

  生：是以O为圆心，L为半径的圆。

  师：这就是最纯粹的“定点定长，轨迹成圆”。回到例题，AF的长度不是定值，所以不直接适用。但我们发现，在等腰Rt△AEF中，EF=√2AE，比例固定。那么，点F是否可能和一个固定长度的线段有关呢？我们暂时保留这个疑问。实际上，此例更契合后续的“动点定角”策略。我们先看一个更直接的“定点定长”例题。

  （教师切换例题，确保模型纯粹性）

  典例1修正：在边长为2的等边三角形ABC内部，有一个动点P，满足PA=1。求PC+PB的最小值。

  师：点P满足什么条件？

  生：到顶点A的距离等于定长1。

  师：所以点P的轨迹是？

  生：以A为圆心，1为半径的圆（在三角形内部的部分）。

  师：现在问题转化为：在⊙A（半径为1）上找一点P，使得PB+PC最小。这是熟悉的“圆外两定点到圆上一动点距离和最小”模型，可通过找对称点解决。

  （师生共同完成解答，过程略）

  模型归纳：当问题中描述或隐含“动点到定点的距离等于定长”时，可构造以定点为圆心、定长为半径的辅助圆，将动点锁定在圆上（或圆弧上），从而利用圆的性质解决问题。

  原理剖析：圆的定义（集合观点）：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。

  变式巩固：已知菱形ABCD边长为2，∠A=60°，点E是AB中点，点P是菱形边上一点，且PE=1。求线段PD的最大值与最小值。

  策略二：定弦定角，隐形生圆

  典例2：如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BC=4√3。求△ABC面积的最大值。

  师：题目给了三角形的一条边BC的长度，以及对角∠A的度数。求面积最大值。三角形的面积公式S=(1/2)*a*h_a，对于已知边BC和对角A，更常用的公式是？

  生：S=(1/2)*AB*AC*sinA。

  师：现在AB和AC是变量。如何思考最值？我们关注的条件是：边BC固定，其所对的角∠A固定。这让你联想到什么？

  （几何画板演示：固定线段BC，保持∠BPC=60°，拖动点P，观察点P的轨迹）

  生：点A（即点P）的轨迹是一段圆弧！

  师：准确地说，是在直线BC同侧，满足“线段BC所对视角为60°”的所有点A的集合，是BC为弦，所含圆周角为60°的圆弧（有两个对称的弧，我们通常取与三角形相关的一侧）。为什么？

  生：同弧所对的圆周角相等。如果作△ABC的外接圆，那么弦BC所对的圆周角∠A应该是固定的。反过来，所有满足∠BAC=60°的点A，都在以BC为弦，且弦BC所对的圆周角为60°的圆上。

  师：精彩！那么，这个圆的圆心和半径如何确定？

  生：弦BC所对的圆周角是60°，那么它所对的圆心角就是120°。已知弦长BC=4√3，可以通过垂径定理和三角函数求出这个隐圆的半径R。

  （师生共同计算：设圆心为O，作OD⊥BC于D，则BD=DC=2√3，∠BOD=60°。在Rt△BOD中，R=BD/sin60°=(2√3)/(√3/2)=4。）

  师：得到隐圆半径R=4。那么，△ABC的面积S=(1/2)*AB*AC*sin60°。当AB=AC时，乘积可能最大吗？在圆中，有没有更直接的办法求面积最大值？

  生：面积S=(1/2)*BC*h_a，其中h_a是BC边上的高。BC固定，所以当高h_a最大时，面积最大。

  师：在隐圆⊙O中，点A在弧BC上运动，何时点A到直线BC的距离最大？

  生：当点A运动到弧BC的中点时，即OA垂直平分BC时，此时高就是“半径+圆心到BC的距离”或“半径-圆心到BC的距离”中的较大值。因为圆心O在BC的垂直平分线上，且∠BOC=120°，所以圆心O到BC的距离OD=R*cos60°=2。所以高的最大值=R+OD=4+2=6。

  师：因此，S_max=(1/2)*4√3*6=12√3。

  模型归纳：当问题中出现了“固定线段对定角”（简称“定弦定角”）的条件时，不论这个定角是直角、锐角还是钝角，那么这条固定线段所对的动角顶点（即“定角”的顶点）的轨迹，是以此固定线段为弦、所含圆周角等于定角的两段圆弧（通常取一侧）。可构造此隐圆作为辅助圆。

  原理剖析：圆周角定理的逆用：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。反之，若动点对固定线段的张角恒定，则该动点在以固定线段为弦的圆弧上运动。

  变式巩固：在平面直角坐标系中，点A(1,0)，点B是直线y=x+2上的动点，以AB为边在AB右侧作等边三角形ABC。求线段OC长度的最小值。

  策略三：对角互补，四点共圆

  典例3：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC。若BC=2，CD=1，求AC的长。

  师：观察四边形ABCD，有什么特殊条件？

  生：∠BAD=90°，∠BCD=90°。

  师：这两个角在四边形中是什么关系？

  生：它们是对角，而且加起来是90°+90°=180°，即对角互补。

  师：根据圆的内接四边形性质定理的逆定理，如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形……

  生：内接于圆，即四点共圆。

  师：所以，A、B、C、D四点共圆。这是本题隐藏的、最关键的条件。添加这个隐圆（以AC或BD为直径）有什么好处？

  生：∠BAD=90°，如果四点共圆，那么90°的圆周角所对的弦是……

  师：是直径！所以，在这个隐圆中，∠BAD和∠BCD都是90°，它们所对的弦分别是？

  生：∠BAD对弦BD，∠BCD对弦BD。不对，∠BCD对的弦是BD吗？在四边形ABCD的顶点顺序下，∠BCD对的弦应该是BD。所以BD是直径！

  师：没错，我们连接BD。由于对角互补，A、B、C、D四点共圆，又因为两个对角都是90°，所以公共的弦BD就是该圆的直径。那么，AC是圆中的一条弦。如何求AC？

  生：在Rt△BCD中，BC=2，CD=1，所以BD=√(2²+1²)=√5。所以圆的半径R=√5/2。

  师：知道了半径，还需要什么条件才能求弦AC的长？

  生：需要圆心到弦AC的距离，或者弦AC所对的圆心角。

  师：圆心是BD的中点O。我们已知AB=AD，在△ABD中，AB=AD，且∠BAD=90°，所以△ABD是等腰直角三角形。因此，AB=AD=BD/√2=√10/2。现在，观察△ABC和△ADC，它们有公共边AC。能否利用勾股定理？

  生：可以。设AC=x。在Rt△ABC中，AB²=AC²+BC²？不对，∠B不一定是90°。我们误用了！

  师：是的，∠ABC不一定是90°。四点共圆为我们提供了角度关系。因为BD是直径，所以∠BED=90°？点E在哪里？我们可能需要连接圆心和端点，或利用圆周角相等。由于AB=AD，在圆中，等弦对等弧，等弧对等圆周角，所以∠ACB=∠ACD吗？它们是弦AB和AD所对的圆周角，因为AB=AD，所以∠ACB=∠ACD。即AC平分∠BCD。但∠BCD=90°，所以∠BCA=∠DCA=45°。这是一个重大发现！

  （学生感到兴奋）

  师：现在，在△ABC中，已知BC=2，∠BCA=45°，并且我们知道AB=√10/2。由余弦定理……哦，初中阶段可以用作高的方法。

  生：过点A作AE⊥BC于E。设CE=AE=y（因为∠C=45°），则BE=2-y。在Rt△ABE中，(√10/2)²=(2-y)²+y²。解方程求出y，再在Rt△AEC中求AC=√2y。

  （师生共同计算，过程略，最终得AC=√6）

  模型归纳：当四边形中出现“对角互补”（即一组对角之和为180°）或“一个外角等于其内对角”时，可判定该四边形四点共圆，从而构造其外接圆作为辅助圆，利用圆的丰富性质进行边角转化。

  原理剖析：圆内接四边形的判定定理：对角互补的四边形内接于圆。

  变式巩固：在正方形ABCD外侧作直线AP，使得∠PAD=15°。连接BP、CP。求证：△PBC是等边三角形。（提示：连接AC，证明∠BPC=60°且PB=PC，可利用A、B、P、C四点共圆）

  策略四：动点定角，化动为定

  典例4：回到我们策略一中悬而未决的旋转问题变式：如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D是BC边上一动点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE。连接CE，求线段CE的最小值。

  师：我们再次面对旋转问题。点E是由点D绕定点A旋转固定角度90°得到的。这符合“定点定长”吗？

  生：AD的长度在变化，所以AE的长度也在变化，不是定长。

  师：它符合“定弦定角”吗？谁是“弦”？

  生：似乎没有固定的线段对着定角。

  师：那我们聚焦于动点E。它的生成与动点D紧密相关，但D在定线段BC上运动。能否找到与点E相关的、不随D变化的固定关系？（几何画板演示）观察图形，除了旋转中心A固定，还有哪些固定元素？

  生：旋转角度90°固定。

  师：在旋转中，除了旋转角固定，还有什么不变的关系？

  生：对应点（D和E）到旋转中心A的距离相等，即AD=AE。

  师：那么，连接DE，三角形ADE有什么特征？

  生：是等腰直角三角形，∠DAE=90°，AD=AE。

  师：所以，∠ADE=45°，固定不变。而点D在定直线BC上运动。我们能否将视角从“点D生成点E”转换一下：对于点E来说，它始终与定点A相连，且与动点D（在定直线BC上）的连线所夹的角（∠ADE）是定角45°，但A、D、E的顺序…注意看，∠ADE是三角形ADE的底角。我们能否重新表述点E满足的条件？或许从另一个点看定角。

  （教师引导：将△ABD视为绕点A旋转90°得到△ACE，注意字母对应关系）

  师：实际上，由旋转全等可知，△ABD≌△ACE。这是一个至关重要的结论！为什么？

  生：因为AB绕A逆时针转90°到AC，AD绕A逆时针转90°到AE，所以△ABD旋转到了△ACE的位置，故全等。

  师：由△ABD≌△ACE，我们能得到什么固定关系？

  生：CE=BD，∠ACE=∠ABD=45°（因为△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=45°）。

  师：太棒了！现在，点E是由什么条件确定的？我们已知：点C是定点，点D是BC上的动点，且满足CE=BD，以及一个更关键的角度关系：∠ACE=45°（定角）。注意，这里点E、C是固定点，点A是固定点吗？∠ACE的两边是CA和CE。CA是固定边，CE是动线段，但CE的方向呢？由于∠ACE固定，所以无论D如何运动，点E始终在这样一条射线上：以C为顶点，以CA为一边，作一个45°的角，另一条边所在的射线。对吗？

  生：是的。因为∠ACE恒等于45°，所以点E在由定点C出发，与定线段CA成45°夹角的射线上运动。但CE的长度等于BD，BD在变化，所以点E在这条射线上滑动。

  师：现在问题简化为：定点C，一条从C出发的定射线（与CA成45°），点E在这条射线上，且CE=BD。求CE的最小值，即求BD的最小值。而BD是点D到定点B的距离吗？D在BC上，BD的最小值就是点D到B的最短距离，当D与…等等，BD是线段BC的一部分，B、D、C共线，BD的最小值是？

  生：当D接近C时，BD接近BC长；当D接近B时，BD接近0。最小值是0？这不对，因为D是动点，但E是由D唯一确定的，当D与B重合时，E在哪里？

  师：我们需严谨。当D在BC上运动时，BD的长度从0（D与B重合）变化到BC=2√2（D与C重合）。所以CE=BD也从0变化到2√2。但CE=0意味着点E与点C重合，这可能吗？根据旋转，当D与B重合时，AD=AB，旋转90°后，AE=AC，且∠CAE=90°，此时点E恰好落在CB的延长线上吗？我们来验证：此时△ABD（B与D重合）退化为线段，旋转后得到△ACE，E应满足CE=BD=0，∠ACE=∠ABD=45°。CE=0确实意味着E与C重合。但∠ACE=45°在E与C重合时无定义。所以D与B重合可能是一个边界退化情况，在实际运动过程中，D在线段BC上（不含端点或含？题目通常指线段包含端点）。但即使考虑端点，CE的最小值也趋近于0。这显然不符合直观。我们哪里出错了？

  生：可能是对∠ACE=45°的理解有误。当D运动时，∠ACE确实始终等于∠ABD吗？根据全等，∠ACE=∠ABD。而∠ABD是∠ABC吗？点D在BC上，所以∠ABD就是∠ABC，确实是45°定值。推理似乎没问题。

  师：但结论（CE最小值趋近于0）不合理。我们重新审视全等：△ABD≌△ACE。对应边：AB对AC，BD对CE，AD对AE。对应角：∠BAD对∠CAE，∠ABD对∠ACE，∠ADB对∠AEC。所以∠ACE=∠ABD。当D在BC上时，∠ABD就是∠ABC，为45°。所以点E的确在从C出发，与CA成45°角的射线上。设此射线为CX。那么，CE=BD。BD的最小值是点B到直线…D在BC线段上，BD的最小值确实是0（当D与B重合）。但此时，E在射线CX上，且CE=0，则E与C重合。图形是：D与B重合，E与C重合，A、B(C)、C共线吗？此时，旋转对应：AD=AB，旋转90°到AE=AC，且∠DAE=90°，即∠BAC=90°，成立。所以确实存在一个极端位置E与C重合。但题目通常求的是CE的长度，最小值是0？这太特殊，可能不是出题者本意。或许题目中“点D是BC边上一动点”通常意味着不与端点重合。即便如此，CE也可以无限接近0。这提示我们，也许原题中点的位置或所求有所不同，或者我们需要转换思路：求CE的最小值，就是求BD的最小值，而BD是斜边BC上的线段，其最小值是点B到点D的距离，当D是B在BC上的垂足？不对，BC是直线段，B到其上一点的最短距离就是0。

  （教师意识到这是一个思维陷阱，及时调整）

  师：同学们，我们似乎走进了一个死胡同。这恰恰说明了动态几何问题的复杂性，需要多角度审视。让我们回到最初对点E轨迹的思考。既然从“定角”视角遇到了困难，我们试试从“轨迹”的原始角度，或者用坐标法。以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立平面直角坐标系。则B(2,0)，C(0,2)，BC方程：x+y=2。设D(t,2-t)，其中t∈[0,2]。向量AD=(t,2-t)，将其逆时针旋转90°得到向量AE=(-(2-t),t)。所以点E坐标为(-(2-t),t)。现在，CE=√[(-(2-t)-0)²+(t-2)²]=√[(t-2)²+(t-2)²]=√[2(t-2)²]=√2*|t-2|。由于t∈[0,2]，所以|t-2|∈[0,2]，当t=2时取最小值0，当t=0时取最大值2。所以CE的最小值为0，最大值为2√2。

  师：坐标法验证了我们的推理，CE的最小值确实是0，对应D与B重合。这虽然数学上正确，但可能过于简单。在许多中考题中，旋转产生的点E的轨迹往往是圆弧，从而可以运用隐圆求最值。那么，点E的轨迹到底是什么？从坐标看，E的坐标满足x=-(2-t)=t-2,y=t。所以x=y-2，即点E在直线y=x+2上运动，且限于t∈[0,2]的一段线段。原来轨迹是线段！不是圆。所以此题不能用隐圆策略求CE最值，用坐标法或转化BD更简单。但为了讲解“动点定角”策略，我们需要一个轨迹是圆弧的例子。

  （教师切换为更典型的例题）

  典例4修正：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D是边AC上一动点，过点D作DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE翻折，点A落在点F处。当点F落在△ABC内部时，求线段BF的最小值。

  师：分析点F的生成。它是由点A关于DE的对称点。其中，D在AC上动，E是D在AB上的垂足。折叠不变性是什么？

  生：连接AF，则DE垂直平分AF。所以AF⊥DE，且AE=EF。

  师：在运动过程中，对于定点B和动点F，有没有不变的关系？观察∠AFB。由于AF⊥DE，而DE始终与AB有交点E，且DE∥BC？不一定平行。能否找到与∠AFB相等的定角？

  （教师引导连接BF，并延长FE）由折叠，∠AEF=∠FED=90°？不，∠AED折叠到∠FED，而∠AED=90°，所以∠FED=90°，故F、E、D共线？不对，A、E、D不共线。我们重新梳理：折叠后，A与F关于DE对称，所以DE是线段AF的垂直平分线。设AF与DE交于点M，则M是AF中点，且∠AME=90°。点E是D在AB上的投影，所以∠AED=90°。因为∠AME和∠AED都是90°，所以A、D、M、E四点共圆（以AD为直径）。这个圆似乎用处不大。

  师：我们尝试寻找与BF相关的定角。考虑定点A、B和动点F。连接AF、BF、AB。在折叠中，AF被DE垂直平分，而DE的方向在变。但注意到，AB是定线段，点F满足什么？它到点A的距离等于…？不固定。它到点E的距离等于AE，AE在变。有没有一个角度是固定的？观察∠AFB，似乎不固定。换一个思路：点F可以看作“以点D为圆心，DA为半径的圆”…不对。或许我们需要引入隐圆。注意，在折叠过程中，虽然A的位置固定，但F的位置变化，始终满足AF被DE垂直平分，而DE始终经过…有什么是始终不变的？如果我们从轨迹的角度思考：点F是点A关于直线DE的对称点，而直线DE始终满足什么条件？它过动点D，且垂直于AB（因为DE⊥AB）。所以，直线DE是一组平行线（都垂直于AB）。那么，点F的轨迹就是点A关于这组平行线的对称点的集合。这其实是另一条直线（或线段）？让我们用几何画板演示。

  （演示后发现，点F的轨迹是一条线段，且这条线段与BC有交点，BF的最小值就是点B到这条轨迹线段的距离。但这不是圆。）

  师：看来我们为了找一个纯粹的“动点定角引圆”的例子颇费周折。我们直接给出经典模型：如图，已知定线段AB，在平面内有一动点P，满足∠APB=θ（定值，且θ≠90°），则点P的轨迹是以AB为弦，所含圆周角为θ的圆弧。这其实就是“定弦定角”的另一种表述，这里的“动点”P就是那个“定角”的顶点。所以“动点定角”可以归入策略二。但有一种特殊且重要的情形：当动点P对两个定点A、B的张角∠APB为90°时，轨迹是以AB为直径的圆。这可以看作“定弦定角”的特例，因其重要性常单独强调。此外，在复杂图形中，这个“定角”可能需要通过等量代换（如全等、相似、恒等变形）才能发现。

  模型归纳：当问题中有一个动点，对两个定点（或可视为固定的点）的张角为固定值（尤其是90°）时，可推断该动点在以这两定点为弦的圆弧上运动，从而构造其轨迹圆作为辅助圆。关键在于识别或构造出这个“定角”。

  原理剖析：圆周角定理的逆定理，同策略二。

  变式巩固：在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P是矩形内部一点，且满足∠APD=120°，连接BP、CP。求BP+CP的最小值。（提示：由∠APD=120°，可考虑其补角为60°，利用对角互补或定弦定角寻找隐圆）

  （三）综合应用，能力跃迁（时长：约25分钟）

  典例5：（安徽中考真题改编）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D是AB边的中点，点E是BC边上一动点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF。

  （1）求证：CF=√2BE；

  （2）求线段CF的最小值；

  （3）当△CDF为等腰三角形时，求BE的长。

  师：这是一个集旋转、隐圆、最值、分类讨论于一体的综合题。请同学们先独立思考5分钟，尝试寻找突破口，尤其关注可能的隐圆。

  （学生思考，教师巡视）

  师：我们一起来分析。对于（1），由旋转90°和D是中点，容易想到连接CD，证明△BDE与△CDF全等或相似。注意旋转中心D，旋转角度90°，但对应点B和C？DE旋转到DF，那么点B的对应点是谁？我们需要构造一个与△EDF相似的三角形。观察图形，D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，所以CD⊥AB，且CD=BD=AD=2√2。∠EDF=90°，∠BDC=90°。所以∠BDE=∠CDF（同减或同加∠EDC）。又因为BD=CD，DE=DF。所以△BDE≌△CDF（SAS）。因此BE=CF？等等，由全等得到BE=CF，这与要证的CF=√2BE矛盾！

  生：说明不是全等，可能是相似。因为BD=CD，但DE=DF，如果△BDE≌△CDF，需要夹角∠BDE=∠CDF。我们有∠EDF=∠BDC=90°，所以∠BDE+∠EDC=∠EDC+∠CDF，故∠BDE=∠CDF，确实相等。边角边，全等成立。那么结论应该是BE=CF。

  师：但题目要求证明CF=√2BE。检查旋转：线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF。那么，对应点是E和F，不是B和C。所以我们不能直接看B和C。应该看三角形：将△BDE绕点D逆时针旋转90°，点B落在哪里？因为BD=CD，且∠BDC=90°，所以点B旋转90°后恰好落在点C上！因此，将△BDE绕点D逆时针旋转90°，点B→C，点E→F，所以△BDE旋转得到△CDF。既然是旋转，那么两个三角形全等，且旋转角为90°。所以BE=CF，且BE与CF的夹角为90°。那“√2”从何而来？除非旋转后长度放大了。但旋转是保距变换，不改变长度。所以要么题目有误，要么我们理解有误。仔细读题：“将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF”，注意是“线段”旋转，不是“三角形”旋转。线段DE旋转后得到DF，所以DE=DF，∠EDF=90°。这并不能直接推出△BDE旋转得到△CDF。我们需要严格证明△BDE与△CDF的关系。连接CD。由AC=BC，D为AB中点，得CD=BD，CD⊥AB，∠DCB=45°。又∠EDF=90°，所以∠BDE+∠CDF=45°？在四边形CDFE中找关系…或许需要作辅助线，过D作DG⊥BC于G。

  （教师引导学生转换思路）

  师：我们先放下（1）的证明，直接看（2）求CF的最小值。如果（1）的结论是BE=CF，那么求CF最小值就是求BE最小值，E在BC上，BE最小值是0（E与B重合），显然不是。所以（1）的结论CF=√2BE很可能是正确的，这意味着CF与BE成正比。如何证明？我们尝试构造相似。既然DE旋转90°到DF，且D是等腰直角三角形斜边中点，常见思路是连接CD，证明△CDE∽△BDF或类似。注意，CD=BD，且∠CDB=90°。又∠EDF=90°。所以∠CDE=∠BDF（都等于90°减去∠EDB）。又因为CD/BD=1，DE/DF=1，所以△CDE∽△BDF？不对，CD对应BD，DE对应DF，夹角∠CDE对应∠BDF，所以△CDE∽△BDF（SAS）。因此，CE/BF=CD/BD=1，即CE=BF。这也没得到CF与BE的关系。

  师：看来此题的隐圆可能在点F的轨迹上。考虑点F是由定点D，将动线段DE旋转90°得到。这是不是与我们之前讨论的旋转问题类似？我们猜测点F的轨迹可能是一个圆或一段圆弧。如何验证？取特殊点。当E与B重合时，DE=DB，旋转90°后，DF=DB，且∠BDF=90°，此时点F在过D垂直于DB的直线上，且DF=DB。当E与C重合时，DE=DC，旋转90°后，DF=DC，且∠CDF=90°，此时点F在过D垂直于DC的直线上，且DF=DC。这两个特殊位置的F点，到点C的距离不同。我们能否找到不变的量？对于点F，它到定点D的距离等于DE，而DE在变化，所以不是定点定长。有没有定角？观察∠FCD或∠CFD？似乎不固定。换个角度，考虑点C、D是定点，点F是动点，是否满足∠FCD定值？尝试用坐标法。

  以D为原点，DC为x轴正方向建立平面直角坐标系…（过程略）。通过坐标法可以证明点F的轨迹是线段，但计算复杂。这题作为压轴题，很可能需要用到隐圆。我们重新审视条件：∠EDF=90°，且D是定点。如果我们将E和F视为相关联的动点，那么∠EDF=90°固定。但这对点F的轨迹有什么约束？如果我们再引入一个定点，比如C，看看∠FCD？

  师：时间关系，我们直接揭示此题的隐圆构造关键：连接CD后，由△CDE∽△BDF（已证），可得∠DBF=∠DCE=45°（因为∠DCE=45°？∠DCE不一定45°，E在BC上，∠DCE是变化的）。但由相似，∠DBF=∠DCE。而∠DCE是变化的，所以∠DBF也是变化的，没用。另一个相似：由△CDE∽△BDF，得CE/BF=DE/DF=1，所以CE=BF。这也没直接给出圆。

  一个经典的思路是：观察△CDF，其中CD是定长（2√2），DF=DE，DE是变化的。但如果我们能发现∠CDF是定值，或者CF与某个定角有关，就有可能找到隐圆。事实上，可以证明∠FCD=45°（定值）。如何证明？由△CDE∽△BDF，得∠ECD=∠FBD。又因为B、D、C、F四点共圆吗？尝试证明∠FCD=∠FBD？在四边形DBFC中，如果∠FBD+∠FCD=180°？或者∠FBD=∠FCD？若∠FBD=∠FCD，则B、C、D、F四点共圆。而已知∠FBD=∠ECD