六升七 历史古代数学课｜认识九章算术成就

一、《九章算术》的成书与流传脉络演讲人2026-06-1301.02.03.04.05.目录《九章算术》的成书与流传脉络《九章算术》的篇章结构与核心内容《九章算术》的突出数学成就《九章算术》的历史地位与现代启示课堂总结与回顾六升七历史古代数学课｜认识九章算术成就各位同学，今天这节课我想和大家聊一聊咱们古代中国数学的一座不朽丰碑——《九章算术》。去年我在陕西历史博物馆参观馆藏的西汉算筹复制品时，隔着展柜摸不到那几根细竹棍，却能透过玻璃上的投影，想象两千多年前的古人握着它们在案几上摆弄演算的样子。那时候我就想，一定要把这份跨越时空的东方智慧，讲给正在打下数学基础的你们听。今天我们就从成书脉络、核心内容、突出成就、历史影响四个层面，一步步认识这本影响了中国数学两千年的经典著作。01《九章算术》的成书与流传脉络ONE1成书的时代背景任何一部经典著作的诞生，都离不开它所处的时代土壤。《九章算术》的成书，主要集中在战国到西汉时期，这正是中国从分裂走向大一统的关键阶段。1成书的时代背景1.1大一统的社会实用需求战国时期各国变法图强，秦国统一后更是建立了中央集权的大一统王朝，从丈量土地、征收赋税，到营建都城、疏通河道，每一项公共事务都离不开精确的数学计算。比如汉武帝时期推行的均输平准政策，需要根据各地距离、物产多少计算运输成本和赋税份额，没有成熟的数学方法根本无法完成。我曾在汉中博物馆看过一批出土的西汉算筹，其中还有刻着刻度的特殊算筹，显然是为了更精准地测量长度，这正是当时社会对数学的迫切需求的证明。1成书的时代背景1.2算筹工具的普及与数学知识的积累在纸张发明之前，古人主要用算筹作为计算工具。算筹就是用竹、木或骨制成的小棍，通过摆放不同的位置和数量来表示数字和进行运算。从出土的战国时期的算筹实物来看，当时的人们已经掌握了十进制计数法，还能进行简单的加减乘除运算。到了西汉初年，民间已经出现了不少专门讲解数学知识的抄本，1984年湖北江陵张家山出土的《算数书》，就是比《九章算术》更早的数学专著，里面记载了近百个数学问题和解法，为《九章算术》的成书提供了直接的知识基础。2成书与整理过程《九章算术》并非由某一位学者单独撰写，而是经过了数百年的知识积累和多次整理。2成书与整理过程2.1先秦到西汉的知识沉淀从《算数书》到《九章算术》，经历了近百年的时间。西汉初年的数学家张苍，曾担任过秦朝的御史，熟悉天下的图书典籍，他收集整理了当时流传的各种数学抄本，初步编成了《九章算术》的雏形。后来到了西汉宣帝时期，数学家耿寿昌又对其进行了增补和修订，最终形成了我们现在看到的《九章算术》的基本框架。2成书与整理过程2.2后世的注释与传承《九章算术》成书后，并没有立刻成为官方教材，直到东汉末年才逐渐流传开来。魏晋时期的数学家刘徽，花费了十年时间为《九章算术》作注，他不仅详细解释了书中的解法，还创造了割圆术、重差术等新的数学方法，让《九章算术》的理论体系更加完善。唐代初年，李淳风等人又对《九章算术》进行了官方注释，将其定为国子监的数学教材，从此《九章算术》成为了中国古代数学教育的核心典籍，一直流传到明清时期。02《九章算术》的篇章结构与核心内容ONE1九章的命名与对应领域正如书名所言，《九章算术》全书共分为九章，每一章对应一类实际应用的数学问题，几乎涵盖了当时社会生产生活的各个方面。我在给往届学生讲这部分内容时，总会让他们对照自己学过的数学知识对应每一章的主题，大家往往会惊讶地发现，很多我们现在学的数学内容，早在两千多年前就已经出现了。1九章的命名与对应领域1.1方田章：面积与分数运算这是全书的第一章，主要讲解各种几何图形的面积计算和分数运算。比如矩形、三角形、梯形、圆形的面积公式，还有约分、通分、分数加减乘除的完整运算规则。书中记载的“约分术”，就是我们现在学习的最大公约数求法，原文写的“可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之”，用现在的话来说就是辗转相除法，比欧洲早了一千多年。1九章的命名与对应领域1.2粟米章：比例与商品交换第二章主要讲解比例问题，尤其是商品交换中的比例计算。比如当时的粮食、布匹等商品的比价换算，书中的“今有术”就是我们现在学习的正比例算法，比如“今有粟一斗，欲为粝米，问得几何？”，只要知道粟米和粝米的兑换比例，就能快速算出结果。这一章的内容，完美对应了我们现在学习的比例应用题，很多同学平时做的购物打折、按比例分配的题目，其实和两千年前的古人遇到的问题是一样的。1九章的命名与对应领域1.3衰分章：按比例分配与税收计算第三章主要讲解按比例分配的问题，比如按人口多少、财产多少分配粮食、赋税，或者按等级发放俸禄。比如“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之，问各得几何？”，这就是典型的按等级比例分配的问题，和我们现在学习的按比例分配应用题完全一致。1九章的命名与对应领域1.4少广章：开方与体积计算第四章主要讲解开平方、开立方的方法，以及各种立体图形的体积计算。比如已知正方形的面积求边长，已知正方体的体积求棱长，这就是我们现在学习的平方根和立方根的计算。书中记载的开平方术，步骤和我们现在学习的笔算开平方方法几乎完全一致，只是用算筹代替了纸笔。1九章的命名与对应领域1.5商功章：工程体积与土方计算第五章主要讲解各种工程建设中的体积计算，比如城墙、粮仓、水渠的土方量计算。比如长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆台的体积公式，书中记载的“圆田术”“亭章术”等，都和我们现在学习的体积计算公式完全一致。我曾让学生计算过汉代一个粮仓的体积，大家用现在的公式算出来的结果，和书中记载的解法得到的结果完全相同，不少同学都感叹古人的智慧。1九章的命名与对应领域1.6均输章：运输与赋税的复杂计算第六章主要讲解复杂的运输和赋税计算问题，比如根据路程远近、货物多少计算运输成本，根据人口数量、土地面积分配赋税。比如“今有均输粟：甲县一万户，行道八日；乙县九千五百户，行道十日；丙县一万二千三百五十户，行道十三日；丁县二千二百户，行道二十日，各到输所。凡四县赋，当输二十五万斛，用车一万乘。欲以道里远近、户数多少衰出之，问粟、车各几何？”，这是一个需要综合考虑多个因素的复杂比例问题，需要用到我们现在学习的多元比例分配知识。1九章的命名与对应领域1.7盈不足章：盈亏问题的解法第七章主要讲解盈亏问题的解法，也就是我们现在学习的“鸡兔同笼”类问题。比如“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”，书中记载的“盈不足术”，是一种通用的解题方法，即使是复杂的盈亏问题，也能通过两次假设快速算出结果。这种方法后来传到了欧洲，被称为“双设法”，影响了欧洲数学的发展。1九章的命名与对应领域1.8方程章：线性方程组与正负数第八章是全书难度最高的一章，主要讲解线性方程组的解法和正负数的运算。书中记载的“方程术”，就是用算筹摆成方阵来解多元一次方程组，比如“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”，这就是一个三元一次方程组，书中的解法和我们现在学习的消元法完全一致。更难得的是，书中还记载了“正负术”，也就是正负数的加减法则，比欧洲早了一千五百多年，这是中国古代数学对世界数学的又一重大贡献。1九章的命名与对应领域1.9勾股章：勾股定理与测量技术第九章主要讲解勾股定理和测量技术，比如已知直角三角形的两条直角边求斜边，或者利用相似三角形测量高远的物体。书中记载的“勾股术”，就是我们现在学习的勾股定理，“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”。还有“望山高”“望谷深”等测量问题，比如“今有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木东三里，望木末适与山峰斜平。人目高七尺。问山高几何？”，这就是利用相似三角形的原理进行测量，和我们现在学习的三角函数测量方法本质上是一样的。2《九章算术》的核心特点《九章算术》和同时期古希腊的《几何原本》有着明显的不同，它的核心特点是以实用为导向，所有的问题都来自实际生活，没有抽象的公理体系，而是通过具体的例题和解法来传授数学知识。这种务实的风格，也决定了中国古代数学的发展方向，一直围绕着解决实际问题展开。我曾在图书馆看过明代版的《九章算术》，书中的插图大多是农田、粮仓、车马等实际场景，可见古人编写这本书的目的，就是为了让人们能够用数学解决生活中的问题。03《九章算术》的突出数学成就ONE1算术领域的开创性成就算术是《九章算术》的基础，书中在分数运算、比例计算等方面都取得了开创性的成就。1算术领域的开创性成就1.1完整的分数运算体系在《九章算术》之前，虽然已经有了分数的概念，但并没有完整的运算体系。《九章算术》首次系统地讲解了分数的约分、通分、加减乘除的完整步骤，比如“合分术”（分数加法）、“减分术”（分数减法）、“乘分术”（分数乘法）、“经分术”（分数除法），这些方法和我们现在学习的分数运算法则完全一致。比如书中记载的“经分术”：“母互乘子，以为实；母相乘为法；实如法而一。”用现在的话来说就是，分数除法等于被除数乘以除数的倒数，这和我们现在学习的分数除法法则完全相同。1算术领域的开创性成就1.2成熟的比例算法《九章算术》中的“今有术”是比例算法的核心，不仅可以解决简单的商品交换问题，还可以解决复杂的比例分配问题。比如在粟米章中，书中列出了二十多种粮食的兑换比例，只要知道其中一种的数量，就能快速算出其他粮食的数量。这种比例算法后来成为了中国古代数学的基础算法之一，一直被沿用至今。2代数领域的突破性成就《九章算术》在代数领域的成就，尤其是线性方程组和正负数的运算，领先世界一千多年。2代数领域的突破性成就2.1线性方程组的解法《九章算术》中的“方程术”是世界上最早的线性方程组解法，比法国数学家贝祖提出的贝祖定理早了一千八百多年。书中用算筹摆成的方阵，其实就是现在的增广矩阵，通过不断地消元，最终得到方程组的解。比如前面提到的三元一次方程组的解法，步骤和我们现在学习的加减消元法完全一致，只是用算筹代替了纸笔。我曾让学生用算筹的方法解二元一次方程组，虽然过程有点麻烦，但大家都能准确算出结果，纷纷感叹古人的智慧。2代数领域的突破性成就2.2正负数的引入与运算在《九章算术》的“方程章”中，首次出现了正负数的概念和运算规则。比如在解方程组时，会出现“不足”的情况，古人就用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，或者用正放的算筹表示正数，斜放的算筹表示负数。书中记载的“正负术”：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”用现在的话来说就是，同号两数相减等于绝对值相减，异号两数相减等于绝对值相加，正数减零等于负数，负数减零等于正数；异号两数相加等于绝对值相减，同号两数相加等于绝对值相加，正数加零等于正数，负数加零等于负数。这和我们现在学习的正负数运算法则完全一致，是中国古代数学对世界数学的重大贡献之一。3几何与测量领域的实用成就《九章算术》在几何领域的成就，主要集中在面积和体积的计算，以及相似三角形的应用上。3几何与测量领域的实用成就3.1面积与体积的精确计算《九章算术》中记载了各种平面图形和立体图形的面积、体积计算公式，比如矩形的面积公式“方田术”：“广从步数相乘得积步”，也就是长乘宽；三角形的面积公式“圭田术”：“半广以乘正从”，也就是底乘高除以二；梯形的面积公式“邪田术”：“并两邪而半之，以乘正从若广”，也就是（上底+下底）乘高除以二。这些公式和我们现在学习的面积公式完全一致。在体积计算方面，书中记载的长方体体积公式“立方术”：“方自乘，以高乘之即积尺”，也就是长乘宽乘高；圆柱的体积公式“圆堡壔术”：“周自相乘，以高乘之，十二而一”，也就是（底面周长）²×高÷12，这其实是用π=3来计算的，后来刘徽在注释中用割圆术将π的精度提高到了3.14。3几何与测量领域的实用成就3.2勾股定理与相似测量《九章算术》的勾股章首次系统地讲解了勾股定理，不仅给出了勾股定理的一般形式，还讲解了利用勾股定理解决实际问题的方法。比如“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？”，这就是一个典型的勾股定理应用题，用现在的勾股定理很容易就能算出结果。书中还记载了利用相似三角形测量高远物体的方法，比如“望海岛”“望松”等问题，这些方法后来被刘徽发展成了“重差术”，成为了中国古代测量学的核心方法之一。04《九章算术》的历史地位与现代启示ONE1东方数学体系的核心代表《九章算术》和古希腊的《几何原本》共同构成了世界古代数学的两大体系：《几何原本》以演绎推理为核心，注重抽象的公理体系；《九章算术》以实用计算为核心，注重解决实际问题。这两大体系分别代表了东西方不同的数学思维方式，对世界数学的发展都产生了深远的影响。我曾在国际数学史会议上听过一位外国学者的报告，他说《九章算术》中的实用数学思想，对现代数学的应用数学分支有着重要的启示作用，这让我更加感受到了《九章算术》的世界价值。2对中国古代数学的深远影响《九章算术》成书后，成为了中国古代数学教育的核心教材，从唐代到明清，几乎所有的数学著作都是以《九章算术》为基础发展而来的。比如宋元时期的天元术、四元术，就是在《九章算术》的方程章基础上发展起来的；明代的《算法统宗》，也是以《九章算术》的体例编写的。可以说，《九章算术》塑造了中国古代数学的发展方向，让中国古代数学在很长一段时间内都处于世界领先地位。3对现代学习的启示对于我们现在的学习来说，《九章算术》也有着重要的启示意义。3对现代学习的启示3.1联系实际的学习方法《九章算术》中的所有问题都来自实际生活，这告诉我们，数学并不是凭空产生的，而是为了解决实际问题而发展起来的。我们在学习数学的时候，也应该多联系实际生活，比如用数学知识计算买菜的花费、测量房间的面积，这样