27.2 点和圆、直线和圆的位置关系 教案

27.2点和圆、直线和圆的位置关系教案（含一题多解、技巧解题、中考分析及应用拓展）一、教学目标掌握点与圆的三种位置关系，理解“不在同一直线上的三点确定一个圆”，明确三角形外接圆、外心的概念及性质。熟练判定直线与圆的三种位置关系，精通切线的判定定理、性质定理，能规范证明直线是圆的切线。理解切线长定理、三角形内切圆与内心的概念，能运用相关定理进行计算与证明。掌握相关题型的一题多解思路，结合中考真题规范解题步骤，提升几何推理与应试能力。二、教学重难点（一）教学重点直线与圆位置关系的判定（一题多解）。切线的判定与性质定理的应用（技巧解题）。切线长定理与三角形内外心的综合应用（技巧解题）。（二）教学难点切线判定定理中“作垂线证半径”“连半径证垂直”的思路选择。复杂图形中切线长定理与三角形性质的结合应用。中考中圆与三角形、四边形结合的综合题型解题思路构建。三、教学过程（含考点考频、例题解析、中考链接）（一）知识回顾（5分钟）核心概念：点与圆的位置关系：设圆半径为r，点到圆心距离为d，d<r（点在圆内）、d=r（点在圆上）、d>r（点在圆外）。直线与圆的位置关系：相离（d>r，无公共点）、相切（d=r，1个公共点）、相交（d<r，2个公共点）。切线相关：经过半径外端且垂直于半径的直线是切线（判定定理）；切线垂直于过切点的半径（性质定理）；圆外一点到圆的切线长相等，且该点与圆心连线平分切线夹角（切线长定理）。三角形内外心：外心是三边垂直平分线交点，到顶点距离相等（外接圆圆心）；内心是三条角平分线交点，到三边距离相等（内切圆圆心）。关键性质与定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。反证法步骤：假设结论不成立→推理得出矛盾→否定假设肯定结论。切线判定三方法：定义法（唯一公共点）、数量关系法（d=r）、判定定理法（连半径证垂直或作垂线证半径）。（二）考点考频及常考题型分析1.直线与圆位置关系判定（考频：10年9考，必考基础题）①考频分析中考必考考点，覆盖选择、填空题，分值3分，难度低-中档。核心考查根据d与r的关系判定位置关系，或由位置关系求d或r的范围。②常考题型题型：位置关系判定中考链接：（2023·广东深圳统考中考真题）已知⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（）相离B．相切C．相交D．无法确定答案：C解题核心：d=5<r=6，故直线与圆相交。2.切线的判定与性质（考频：10年10考，必考中档题）①考频分析中考必考考点，覆盖选择、填空、解答题，分值4-6分，难度中档。核心考查切线的判定证明（作垂线证半径或连半径证垂直）及性质应用（切线垂直于过切点的半径）。②常考题型题型：切线性质应用中考链接：（2024·湖北武汉统考中考真题）AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，若∠D=30°，OC=2，则AD的长为（）A．4B．6C．8D．10答案：B解题核心：CD是切线→OC⊥CD，∠COD=60°，OC=OA=2，OD=2OC=4，AD=OA+OD=6。3.切线长定理与内外心（考频：10年8考，高频中档题）①考频分析考查频率高，以选择、填空、解答题为主，分值3-6分，难度中档。核心考查切线长定理的计算（线段相等）、内心的角度计算（角平分线性质）。②常考题型题型：切线长定理与内切圆面积中考链接：答案：A解题核心：△ABC是直角三角形（5²+12²=13²），内切圆半径r=(5+12-13)/2=2，四边形AEOF是正方形（OE⊥AC，OF⊥AB，∠A=90°），面积=2×2=4。题型：内心角度计算中考链接：答案：B解题核心：设AB=AC=x，则AD=x-4，由内心性质，IE=IF=IG（F、G为内心到AB、AD的垂足），证明△BIE≌△BIF，△DIE≌△DIG，得BE=BF，DE=DG，故BE=(AB+BD-AD)/2=(x+10-(x-4))/2=7。（三）经典例题解析（30分钟）例题1：直线与圆位置关系判定（基础题·一题多解）题目：圆的直径为13cm，圆心与直线l的距离分别为4.5cm、6.5cm、8cm，判断直线l与圆的位置关系及公共点个数。解法1：直接比较法（核心法）步骤：圆半径r=6.5cm；当d=4.5cm时，d<r→相交，2个公共点；当d=6.5cm时，d=r→相切，1个公共点；当d=8cm时，d>r→相离，0个公共点。核心依据：直接利用直线与圆位置关系的数量关系判定。解法2：逆向推导法（技巧法）步骤：若相交则d<6.5cm，4.5cm满足→相交；若相切则d=6.5cm，6.5cm满足→相切；若相离则d>6.5cm，8cm满足→相离。核心依据：根据位置关系的逆命题推导，强化对数量关系的理解。技巧解题：位置关系速记技巧技巧：“d大相离，d等相切，d小相交”，快速对应判断，无需复杂推导。中考分析：考频：该类题型为中考基础送分题，每年必考。命题趋势：常结合直径求半径，再比较d与r，核心是数量关系应用。例题2：切线判定证明（中档题·一题多解）题目：△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，求证：AC是⊙O的切线。解法1：作垂线证半径（核心法）步骤：过O作OE⊥AC于E，连接OD、OA；AB是切线→OD⊥AB（切线性质）；△ABC等腰，O是BC中点→OA平分∠BAC；OE=OD（角平分线上点到角两边距离相等），OD是半径→OE是半径；OE⊥AC且OE是半径→AC是切线。核心依据：无明确半径时，作垂线证明垂线段等于半径。解法2：连半径证垂直（技巧法）步骤：连接OD、OA、OE（E为AC上一点），AB是切线→OD⊥AB；由等腰三角形性质，OA平分∠BAC，OD=OE（假设OE=OD）；证明△AOD≌△AOE（HL）→∠AEO=∠ADO=90°；OE是半径且OE⊥AC→AC是切线。核心依据：假设半径存在，通过全等证明垂直关系。技巧解题：切线判定速记技巧技巧：“有半径连半径证垂直，无半径作垂线证半径”，根据图形特征选择思路。中考分析：考频：该类题型为中考高频中档题，侧重证明规范。命题趋势：常结合等腰三角形、角平分线、全等三角形考查，核心是判定定理应用。例题3：切线长定理计算（高档题·一题多解+拓展）题目：△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于D、E、F，AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长。解法1：方程法（核心法）步骤：设AF=x，则AE=x，BF=BD=9-x，CD=CE=13-x；BD+CD=BC→(9-x)+(13-x)=14；解得x=4→AF=4，BD=5，CE=9。核心依据：利用切线长相等设未知数，结合边长列方程。解法2：公式法（技巧法）步骤：切线长公式：AF=(AB+AC-BC)/2=(9+13-14)/2=4；BD=(AB+BC-AC)/2=(9+14-13)/2=5；CE=(AC+BC-AB)/2=(13+14-9)/2=9。核心依据：记忆三角形内切圆切线长公式，快速计算。技巧解题：切线长公式速记技巧：“切线长=（两边和-第三边）/2”，直接代入计算，节省时间。拓展：若△ABC为直角三角形，内切圆半径r=(a+b-c)/2（c为斜边），可快速求半径。中考分析：考频：该类题型为中考高频中档题，侧重计算技巧。命题趋势：常结合三角形边长求切线长，或求内切圆半径，核心是切线长定理。（四）中考命题规律总结（10分钟）考查题型分布：基础题（3分）：位置关系判定、简单切线性质应用（选择/填空），占比35%。中档题（4-6分）：切线判定证明、切线长定理计算（填空/解答题），占比45%。高档题（6-8分）：切线与三角形、四边形综合证明与计算（解答题），占比20%。命题趋势分析：基础题稳定化：位置关系判定、简单计算每年必考，难度无上升。证明规范化：切线判定证明需严格遵循“作垂线证半径”或“连半径证垂直”的步骤。综合深化：与全等三角形、勾股定理、角平分线性质结合成为主流，核心仍是切线相关定理。解题技巧总览：基础题：位置关系“比d与r”，切线性质“连半径得垂直”。中档题：切线判定“选对思路”，切线长计算“用方程或公式”。高档题：综合题“先找切线相关线段/角度，再结合几何知识推导”。（五）课堂练习（10分钟）用两种方法解：⊙O半径为5，圆心到直线l的距离为d，若直线与圆相切，求d；若直线与圆相交，求d的范围（一题多解）。AB是⊙O直径，AT=AB，∠ABT=45°，证明AT是⊙O的切线（技巧解题）。 △ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是内心，求∠BOC的度数（综合应用）。圆外一点P到圆的两条切线长为6，圆心到切线的距离为4，求P到圆心的距离（拓展应用）。（六）课堂小结（5分钟）核心知识：点与圆、直线与圆的位置关系，切线的判定与性质，切线长定理，三角形内外心。解题方法：一题多解（直接比较法/逆向法、作垂线证半径/连半径证垂直）、技巧解题（公式法、速记口诀）。中考策略：基础题保分（紧扣定义），中档题稳分（规范步骤），高档题突破（综合定理应用）。（七）课后作业（分层设计）基础层：完成教材习题27.2（位置关系判定、简单切线证明）。提高层：完成2021-2024年全国各省市中考切线相关真题（不少于5道），要求规范书写步骤。拓展层：设计一道结合切线长定理与勾股定理的综合题，写出题目、解题过程及思路解析。四、教学反思难点突破：学生对“切线判定思路选择”“切线长定理与三角形结合计算”问题突出，后续教学中可增加专项训练。一题多解教学：需引导学生根据题目条件选择最优解法，基础计算用公式法提速，证明题用规范法保分。中考衔接：需补充更多切线综合证明题，强化步骤规范性，让学生适应中考评分标准。细节规范：部分学生忽略“切线判定定理的两个条件”“内心是角平分线交点”等细节，需通过错题对比强化记忆。综合训练一、选择题1.在矩形ABCD中,AB=8,BC=35,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是()A.点B,C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B,C均在圆P内2.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是()A.80° B.100° C.140° D.160°3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且CE=CD,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F等于(A.92° B.108° C.112° D.124°4.如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则圆O的周长为()A.26π B.13π C.96π5 D5.如图,从一块直径为2m的圆形铁皮上剪下一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为()A.π2m2 B.32πm2 C.πm2 D.2π6.如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,☉P与x轴、y轴都相切,且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若☉P的半径为5,点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是()A.(9,2) B.(9,3) C.(10,2) D.(10,3)7.如图,点P是等边三角形ABC外接圆☉O上的点,在下列判断中,不正确的是()A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥ACC.当PO⊥AC时,∠ACP=30°D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形8.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆O的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为()A.4 B.33 C.6 D.23二、填空题9.如图,点A,B,C在半径为9的☉O上,AB的长为2π,则∠ACB的大小是.

10.如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为.

11.如图,在☉O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=°.

12.如图,AB为☉O的直径,C为☉O外一点,过点C作☉O的切线,切点为B,连接AC交☉O于点D,∠C=38°.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与A,B重合),则∠AED的度数为.

13.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC,垂足为D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD=.

三、解答题14.在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).(1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系;(2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系.15.已知BC是☉O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是☉O的弦,∠AEC=30°.(1)求证:直线AD是☉O的切线;(2)若AE⊥BC,垂足为点M,☉O的半径为4,求AE的长.16.如图,已知在☉O中,AB=43,AC是☉O的直径,AC⊥BD,垂足为F,∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积;(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.17.如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,☉O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC,OF交AC于点E,交PC于点F,连接AF.(1)判断AF与☉O的位置关系并说明理由;(2)若☉O的半径为4,AF=3,求AC的长.综合训练一、选择题1.C2.B∵∠AOC=160°,∴∠ADC=12∠AOC=80°∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-80°=100°.3.C∵∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.在☉O中,∵CE=∴∠COE=2∠B=68°,∴∠F=112°,故选C.4.B如图,连接OA,设OM=5x,MD=8x,则OA=OD=13x.又AB=12,由垂径定理可得AM=6,∴在Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=12∴半径r=OA=132.根据圆周长公式C=2πr,得圆O的周长为13π5.A如图,连接AC,∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,即∠ABC=90°,∴AC为直径,即AC=2m,AB=BC.∵AB2+BC2=22,∴AB=BC=2(m).∴阴影部分的面积是90π×(2)23606.A7.C对于选项A,当弦PB最长时,PB是☉O的直径,O既是等边三角形ABC的内心,也是外心,所以∠ABP=∠CBP,根据圆周角性质,PA=PC,所以PA=PC;对于选项B,当△APC是等腰三角形时,点P是AC的中点或与点B重合,由垂径定理,都可以得到PO⊥AC;对于选项C,当PO⊥AC时,由点P是AC的中点或与点B重合,易得∠ACP=30°或∠ACP=60°;对于选项D,当∠ACP=30°时,分两种情况,点P是AC或AB的中点,都可以得到8.B如图,连接OD,因为DF为圆O的切线,所以OD⊥DF.因为△ABC为等边三角形,所以AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°.因为OD=OC,所以△OCD为等边三角形.所以OD∥AB.所以DF⊥AB.又O为BC的中点,所以D为AC的中点.在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,所以AD=4,即AC=8.所以FB=AB-AF=8-2=6.在Rt△BFG中,∠BFG=30°,所以BG=3,则根据勾股定理得FG=33,故选B.二、填空题9.20°如图,连接OA,OB.设∠AOB=n°.∵AB的长为2π,∴nπ×9180=2π.∴n=40,∴∴∠ACB=12∠AOB=20°10.110°11.215在圆内接四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,∠B=180°-∠ADC.在圆内接四边形ACDE中,∠E+∠ACD=180°,∠E=180°-∠ACD,故∠B+∠E=180°-∠ADC+180°-∠ACD=180°+(180°-∠ADC-∠ACD)=180°+∠CAD=180°+35°=215°.12.38°如图,连接BE,则直径AB所对的圆周角∠AEB=90°.由BC是☉O的切线得∠ABC=90°,∠BAC=90°-∠C=90°-38°=52°.因为∠BAC=∠BED=52°,所以∠AED=∠AEB-∠BED=90°-52°=38°.13.13由垂径定理,得CD=2,由AB是☉O的直径,得∠C=90°.由勾股定理,得BC=3,在Rt△BCD中,由勾股定理得BD=13.三、解答题14.解(1)所画☉P如图所示.由图可知,☉P的半径为5.连接PD,∵PD=12+22=5,∴