2025-2026学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）．1．若幂函数过点，则．2．已知，则可用表示为．3．若，则实数．4．已知扇形的弧所对的圆心角为，半径为10，则扇形的面积为．5．不等式的解集为．6．已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则．7．设，则其反函数必过定点的坐标为．8．方程的解集为．9．设，是关于的方程的解，则．10．某房间的室温（单位：摄氏度）与时间（单位：小时）的函数关系是：，，其中，是正实数．如果该房间的最大温差为12摄氏度，则的最大值为．（结果保留两位小数）11．已知函数．设，且函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是．12．设函数的定义域为，．若对任意，的值为数字在，（1），，中出现的次数，则．二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．“”是“”成立的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件14．下列命题中的假命题是（）A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，且，则15．设函数，若，是同一象限的角，且不存在，，使得，则，所在的象限为第象限．A．一 B．二 C．三 D．四16．已知，给出以下两个命题，则（）①对任意，，都有；②存在，，使得．A．①②均为真命题 B．①②均为假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．如图所示，，是单位圆上的动点，且点在第一象限．是圆与轴正半轴的交点，△为正三角形．记劣弧所对的圆心角．（1）若点的坐标为，求点的坐标；（2）若，求．18．设集合为函数的定义域，集合为函数的值域，集合为不等式的解集．（1）求；（2）若，求的取值范围．19．已知函数．（1）求证：时，是上的严格减函数；（2）若对任意，存在，使得，求实数的取值范围．20．（17分）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点，，，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为．（1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；（2）已知，，，若，，求的值；（3）已知，、，，，若，，求、之间的曼哈顿距离．21．（17分）设函数的定义域为，．定义集合，．（1）设，，求；（2）若，，，，且对任意，都有，求的最小值；（3）设，证明：“函数是偶函数”的充分必要条件是“对任意实数，都有”．

参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．1．若幂函数过点，则．解：幂函数过点，，，解得．故答案为：．2．已知，则可用表示为．解：因为，所以．故答案为：．3．若，则实数．解：因为，又，所以．故答案为：．4．已知扇形的弧所对的圆心角为，半径为10，则扇形的面积为．解：由题可得：扇形的面积为．故答案为：．5．不等式的解集为．解：由，得，所以，所以，解得或．故答案为：．6．已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则．解：由题可得：（2），故（2）．故答案为：．7．设，则其反函数必过定点的坐标为．解：因为，故过定点，根据反函数的性质可得，的反函数必过定点．故答案为：．8．方程的解集为，．解：令，则方程变为，当时，，解得，舍去；当时，，即该式恒成立，所以，由指数函数的单调性可知；当时，，解得，舍去，综上，方程的解集为，．故答案为：，．9．设，是关于的方程的解，则．解：由，是关于的方程的解，可知，，解得，且，则，解得，符合题意，则．故答案为：．10．某房间的室温（单位：摄氏度）与时间（单位：小时）的函数关系是：，，其中，是正实数．如果该房间的最大温差为12摄氏度，则的最大值为8.49．（结果保留两位小数）解：根据题意可得，其中，因为，所以，所以的最小值为，最大值为1．所以的最小值为，最大值为，所以该房间的最大温差为，所以．所以，当且仅当时等号成立，因为，是正实数，所以，即最大值为．故答案为：8.49．11．已知函数．设，且函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是．解：令，当时，，当，即时，因为，均为单调递减函数，所以函数在区间上单调递减，此时，满足题意；当，即时，，因为，（1），结合反比例函数性质可知，此时函数图象经过第一、第四象限，满足题意；当，即时，，由对勾函数性质可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，要使函数图象经过第一、第四象限，则，即，解得，所以此时；综上，当时，；当时，，当时，因为函数在区间，上单调递减，函数在区间单调递减，因为，要使函数图象经过第三象限，则当时，，即，解得，此时无解；当时，函数在区间，上为常数函数，函数在区间单调递减，此时且在区间上恒成立，不符合题意；当时，函数在区间，上单调递增，函数在区间单调递减，使函数图象经过第二，第三象限，则，解得，此时；当时，函数在区间，上单调递增，图象经过第二，第三象限，符合题意；当时，函数在区间，上单调递增，函数在区间单调递增，因为，，所以函数图象经过第二，第三象限，符合题意；综上，当时，，所以函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是．故答案为：．12．设函数的定义域为，．若对任意，的值为数字在，（1），，中出现的次数，则2023．解：由题意，对任意，的值为数字在，（1），，中出现的次数，所以，，且，因为数字在，（1），，中出现次，所以，两式相减得，，所以，所以．设，且，定义：为集合中元素的个数．可知⊕，因为，，所以对任意，有．因为数字0在，（1），，中出现次，所以数字至少出现一次，所以可得．①若，代入可得，因为各项均为非负整数，所以只能存在唯一的，使得，其余都为0，所以，所以（2），所以，由总和条件，解得（1），此时，，即数字0共出现1次，因为，（1），（2），且当，，1，时，，所以数字0出现次，所以，这与矛盾，所以；②若，此时且，记集合，由⊕式可得，，若，因为，，，所以，，因为，所以有．所以由式可得，若，则，解得，这与矛盾，所以．由式可得，，则．若，则，产生矛盾；因此，即有且仅有一个元素，记该元素为，由可知，由得，所以（2），因此，，且（2），代入总和条件得（1）（2）（1），则（1），可知（1），则数字1应出现（1）次，由（2），可知1出现次数（1）．若（1），且，则存在且，1，2，，使得，则数字应出现1次，但，1，2，，所以存在且，1，2，，满足，由于，有，因为，，所以只能为2或，这与，矛盾，因此（1），代入式子（1）得，，解得，所以（1），（2），，其余，1，2，．验证：由，1，2，，，可知数字0出现共次，即；数字1出现2次，（1）；数字2出现1次，（2）；数字2023出现1次，；其他数字，1，2，均出现0次，故，所有条件满足．综上所述，．若，则，且，其余，，1，，由于，若，则，矛盾；若，则由，解得，由非负整数，则整除，则，从而，由总和条件（1）（1），解得（1）．验证：由当，1，，，即数字0出现次，这与矛盾．故答案为：2023．二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．“”是“”成立的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件解：因为，所以“”是“”成立的充分非必要条件．故选：．14．下列命题中的假命题是（）A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，且，则解：若，，，所以，为真命题；若，，则，所以，为真命题；若，因为，得，为真命题；若，满足，当时，，为假命题．故选：．15．设函数，若，是同一象限的角，且不存在，，使得，则，所在的象限为第象限．A．一 B．二 C．三 D．四解：因为，因为，是同一象限的角，且不存在，，使得，所以，在该象限内使得，同号或，因为，根据函数的周期性可知，只需考虑位于中的象限角，解，得；，得；若，则，可得，故当时，可得；当时，可得，故不正确；当时，可得，可得，当时，可得；当时，可得，故不正确；当时，可得，可得，此时；当时，可得，可得，此时；故不正确；当时，可得，可得，此时，故正确．故选：．16．已知，给出以下两个命题，则（）①对任意，，都有；②存在，，使得．A．①②均为真命题 B．①②均为假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题解：对于命题①：如图，在单位圆中，令，由正弦函数的定义得：，根据弧长公式可得：弧长为，当时，由图可得弧长大于线段长，即，再由正弦函数曲线，如图可知：当时，正弦曲线在线段的上方，因为直线的方程为，所以当时，有，因为，所以，当，时，，由正弦函数单调性可知：，又因为，所以，即满足，当，时，，同理由正弦函数单调性可知：，又因为，所以，即满足，当，时，，所以有，即满足，综上，命题①是真命题；对于命题②：当时，因为，所以，所以，所以，因为，则构造函数，因为，，所以由零点存在性定理，得在区间上有零点，即存在，使得成立，所以存在，，使得，故命题②是真命题．故选：．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．如图所示，，是单位圆上的动点，且点在第一象限．是圆与轴正半轴的交点，△为正三角形．记劣弧所对的圆心角．（1）若点的坐标为，求点的坐标；（2）若，求．解：（1）由劣弧所对的圆心角．且，得；所以，．所以．（2）若，则，所以，因为点在第一象限，，所以，所以．18．设集合为函数的定义域，集合为函数的值域，集合为不等式的解集．（1）求；（2）若，求的取值范围．解：（1），解得．，，，；所以，，；（2），，，，若，则不等式的解集只能是，，，故定有得解得若，则不等式的解集，，但，故．的范围为．19．已知函数．（1）求证：时，是上的严格减函数；（2）若对任意，存在，使得，求实数的取值范围．解：（1）证明：当时，，设，，且，则，，所以，即，所以是上的严格减函数；（2）由，所以对任意的，都有，，当时，，由于定义域，所以的值域为，，，因为，，，，所以对任意，存在，使得，故当时，，由于在，上单调递增，可得的值域也为，因为，，所以对任意，存在，使得，故当时，是奇函数，只需要研究，则当时，有，当时取等号，结合奇函数可得，的值域为，由于对任意，存在，使得，所以，则，又因为，所以，综上可得：实数的取值范围是，．20．（17分）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点，，，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为．（1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；（2）已知，，，若，，求的值；（3）已知，、，，，若，，求、之间的曼哈顿距离．解：（1），，则余弦距离等于；（2）①；②，则①②得，①②得，则．（3），，．，．，．，则，．，，．，，．，、之间的曼哈顿距离是．21．（17分）设函数的定义域为，．定义集合，．（1）设，，求；（2）若，，，，且对任意，都有，求的最小值；（3）设，证明：“函数是偶函数”的充分必要条件是“对任意实数，都有”．解：（1）由题意知，，则，又，即，得，解得，故；（2）由题意知，，，，，且对任意，都有，对任意和任意，令，则，即任意，，，都有，故函数在上单调（非严格）递增，①当时，则，，函数，，，令，则，则，由在，上单调递增；则由函数与复合而成，故由复合函数单调性可知，在，上单调递增，又，对任意，，则，所以恒成立，故，；②当时，，，，函数，，，当，，令，则，则，由在