2026年八年级数学人教版 第03讲 三角形的内角和外角(暑假预习讲义)

03预习航标→析目标·教材全解→建框架·题型突破→析考点·123三角形内角和定理的证明（辅助线作法456789过关检测→练考点·两个锐角理解并掌握三角形内角和定理，能通过多种方法验证“三角形内角和为180理解三角形外角的定义，掌握三角形外角的两个核心性质：三角形的一个外角等于与1/PAGEPAGE10/01常用证明思路（转化思想）;180°或一组同旁内角，即时即练如图，ABED,A35,C15，则D的度数是 ∵ABED,A∴CMDA35∵C15∴D1801535知识点 直角三角形的性质与判ACBABC235A90BBC中，能确定VABC是直角三角形的条件有（A．1 B．2 C．3 D．4【详解】解：三角形内角和为ABC180 ACBABC代入内角和得2C180，得C90ABC A:B:C2:3:5设ÐA=2x,ÐB=3x,ÐC=5x则2x3x5x180x18C51890ABC AB90C180(AB)90ABC BC90，CB90C90ABC综上，能确定VABC3知识点 三角形的外6个外角，同一顶点处的两个外角相等；即时即练如图，∠170ab，则2的度数比3的度数大（ 【分析】由对顶角相等可得53，由平移的性质可得a b，从而得出4110，由三角形外角的定义及性质可得23110，即可得出结果．由对顶角相等可得53 b∴41801110∵254311011】如图，BA处的南偏西45方向，CA处的南偏东15方向，CB处的北偏东80方向，则ACB等于（） 【分析】根据方向角的定义，即可求得DBADBCEAC的度数，然后根据三角形内角和定理即可AEDB∴BDAEBA处的南偏西45∴BAEDBACA处的南偏东15∴EAC15∴BACBAEEAC4515CB处的北偏东80∴DBC80∴ABC804535∴ACB180ABCBAC1806035【例2】如图，在VABC中，直线l∥BC，若165，B45，则A的度数为 【分析】先由平行线的性质求出C，再利用三角形内角和即可求出AlBC∴C165∵B45∴A1806545701-1】一副直角三角板按如图所示方式放置，则1的度数为（ 为180是解题的关键．21804560∴11802105．1-2】一把直尺与含30的直角三角板如图所示放置，若138，则2的度数是（ 由a b得到3138，根据三角板可得460，再由三角形内角和定理得到218043， b，41803090∴3121804382，2【例1】在VABC中，若C是直角，B47，则A的度数是 AB90（直角三角形的两个锐角互余又BA904743．2】在一个直角三角形中，有一个锐角等于38，则另一个锐角的度数是（ ∴另一个锐角的度数为903852，B．⟺2-1】在直角VABCABA20，则B（ 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边的对角是直角，故C90，再根据【详解】解：∵在直角VABCAB∴C90∵A20B90A70，2-2】1，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在VABC中，如果A80o,B40o，那么A与B互为“友爱角”，VABC为“友爱三角形”．(1)1VABC是“友爱三角形”，且A与B互为“友爱角”（AB）ACB90②若CD是VABCAB边上的高，则ACD、△BCD都是“友爱三角形”(2)2，在VABCACB70A66DAB上一点（AB重合），连接CDACD是“友爱三角形”，直接写出ACD【答案】(1)A60B30；②ACD、△BCD都是“友爱三角形”(233或 ABC是“友爱三角形”，且A与B互为“友爱角”（ABA2BACB90AB1809090，即2BB90，解得B30A60②ACD、△BCD都是“友爱三角形”，理由：CD是VABCABADCBDC90A60,BACD30,BCD在ACDA60ACDACD1AACD为“友爱三角形在△BCDBCD60B30B1 ACD1A或ACD1ADC 当ACD1AACD1A33 当ACD1ADCA3ACD180，即3ACD114ACD38ACD的度数为33或383三角形内角和定理的证明（辅助线作法1】证明：三角形的内角和等于180．VABC． 【答案】BBACC180BBACC180．AMNBC，MN∥BCMABBACNAC180（平角的定义BBACC180（等量代换著名的常用的几何结论，这一结论是（） 即三个角的度数之和为180，这就是三角形的内角和定理． 证明“三角形的内角和是180”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角．EF∥AB,1A,3B三角形的内角和为180．

CE∥AB,AFCE,ECBABACB180，三角形的内角和为180

DE∥BC,DF∥ACAFDB,BEDA,FDEAEDC【变式3-2】如图，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DEAC， AB下面写出了说明“ABC180”的过程，请填空：解：DEAC，ABEF，（ 1，3．（ABEF（已知2．（DEAC（已知4．（两直线平行，同位角相等2A（ABC180（等量代换【详解】证明：DEACEF∥AB，（已知QABEF，（已知24．（两直线平行，内错角相等DEAC，（已知4A．（两直线平行，同位角相等2A．（等量代换123180，（平角的定义ABC180．（等量代换4利用外角性质求角度1VABCDBC边上的一点，B50，BAD30o△ABDAD折叠得到△AEDAEBCF(1)填空：AFC (2)求EDF(2)EDF【分析】（1）根据折叠的特点得出BADDAF，再根据三角形一个外角等于它不相邻两个内角之和，（2）根据已知求出ADB的值，再根据ABDAD折叠得到AED，得出ADEADBEDFADEADF ABD沿AD折叠得到△AEDBADDAFB50，BAD30AFCBBADDAF

B50，BAD30o∴ADB

100ABDAD折叠得到△AEDADEADB100∴EDFADEADF20PBCDMAB上，随后沿MN反射出去．已知PDC28MNBC所在直线的夹角为60ABC【答案】46106ABCMNBC所在直线的交点可能在CB或CB延长线上，∵PDC28∴BDMPDC28∵MNB60∴DMNBNMBDM32∴AMDBMN1803274在BMNABC1807460②如图所示，当ABCMNBCQMQD60，BDMPDC设DMBAMN，则BMQAMN，在QMDMQDQMDBD解得：46，∴ABCBMQMQD106③如图所示，当ABCMNBCQMQE60，BDMPDC28∴MQD120设DMBAMN，则BMQAMN，在QMDMQDQMDBDM180212028180，解得16，ABCBMQMQD136；ABC46或106或136．=【变式4-1】将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，三角板ABC的顶点C与三角板CDE的直角顶点C重合，若BC∥DE，AB与CE交于点F，则AFC的度数为 【答案】【分析】利用平行线的性质得到BCEE30【详解】解：BCDEBCEE30AFCBBCE4530754-2】如图，将VABCABACEDEDBCOBDBE若AEB70CBD60，求EBCAB7，BC8，AC3ABEAC（AC重合△EOC与BOD周长的和．【分析】（1）AEDB，则由平行线的性质可得C的度数，再由三角形外角的性质可（2）ABEDAEDB，证明△EOC与BOD周长的和ABBCAC，即可得到CCBD60AEBCEBC，AEB（2）ABEDAEDBEOC与BOD周长的和CECOEOODOBDEBCECABBC185结合角平分线求角度【例1】如图，在VABCAD是BACDEACE，BAC50，求ADE的度【答案】AD是BACDEACBAC∴DAE1BAC25，AED90∴ADE90EAD652】如图，在VABCA72，BCD31CD平分ACB，求B【答案】BCD平分ACBBCD31∴ACB2BCD62∵ABACB180，A∴B5-1】如图，在ABCAD平分BACPADPEADBC的延长线于E．若B35ACB85，求EPAD上运动时，猜想E与BACB【答案】(1E(2)E1ACBB

【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得BAC的度数，再根据角平分线的定义求得DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出ADC的度数，进一步求得E的度数；【详解】（1）解：如图，记ADE3DAC2BAD又AD平分BAC121BAC30PE（2）E1ACBB理由如下：设BnACBAD平分BACBBAC18011180nm

1(180nm)901n1 又PEE90390901n1 1mn1ACBB【变式5-2】如图，在VABC中，BO、CO分别平分ABC、ACB．若BOC120，则A 【答案】60/60【分析】根据三角形的内角和定理求出OBCOCB的值，根据角平分线定义求出ABCACB，根据BOC120∴OBCOCB18012060BO、CO分别平分ABC、ACB∴ABC2OBC，ACB2OCB∴ABCACB2OBCOCB260120∴A180ABCACB1801206结合高线求角度1】VABCADBCAE是BAC(1)若B50C60，求EAD(2)若∠EAD，求CB．（用含的代数式表示【答案】(1EAD(2)CB根据直角三角形两锐角互余求出BAD，再根据三角形的内角和等于180求出BAC的度数，然后根据角平分线的定义求出BAE，再求解即可；根据∠EAD，分别表示出CB B50，AD是BC边上的高B50，C60BAC180BC180506070AE是BACBAE1BAC17035 （2）ADBC边上的高，∠EADAE是BAC∴B90BAEEAD901BACC90CAEEAD90

BAC

90

BAC ∴CB【答案】DAE15AECB75，C45，利用三角形内角和求出BACAE平分BAC，求出BAE、CAE，再利用ADBC上的高在△ABD中求出BAD，此时就可以求出DAE，最后利用三角形的外角和内角的关系可以求出AEC． BAC60AE平分BACBAECAE1BAC16030 ADBCBBAD90BAD90B907515DAEBAEBAD301515在△AECAEC180CCAE1804530105；DAE15AEC105【答案】根据三角形内角和定理求得BAC70EAC1BAC35DAC再根据DAEDACEAC【详解】解：在VABCB=60C50BAC180BC180605070AE是BACEAC1BAC35在直角△ADCDAC90C905040DAEDACEAC40356-2】如图，VABCAD为VABCBE为VABCC70ABC483【答案】【分析】根据C70ABC48得CAB62AD为VABC121CAB31BE为VABC的高得AEB90EFA59∵C70，ABC48∴CAB180CABC1807048AD为VABC∴121CAB31BE为VABC∴AEB90∴EFA1801AEB1803190∴3EFA7三角形折叠中的角度问题1】如图，将VABCDEAAAB平分ABCAC平分ACBBAC115，则12的度数 【答案】100/100ABC2ABCACB2ACB，最后根据ADEAED180A12180ADEADE180AEDAEDBAC∴ABCACB180BAC65AB平分ABCAC平分ACB∴ABC2ABC,ACB2ACB∴ABCACB2ABC2ACB130∴A180ABCACB∵将VABCDEAA∴ADEADE,AEDAED∴12180ADEADE180AEDAED3602ADEAED1002】ABCDEAF12100，则A的度数是（ 【分析】根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出ADEAED130，最后利用三角形的内ADEFDEAEDFED∴ADEFDE1801，AEDFED180212∴ADE118011801360130点C落在BE上的C处，此时CDB64，则原三角形的C的度数为 【答案】ABEABECBDCBD，设ABEABECBD，在VABC中，根据三角形内角和定理得出3C150①，在△CBE中，根据三角形内角和定理得出C116②，从而求出ABC的度数．ABEABECBDCBDABEABEABECBD，设ABEABECBD，∴ABC在VABCAABCC180∵AABCC150，即3C150，CDBCDB64，在△CBDCBDCDBC180，CBDC116，即C116，3C99，99．【变式7-2】如图，在VABC中，C40，把VABC沿BC边上的高AM所在的直线翻折，点C落在边CB的延长线上的点C处，如果BAC20，则BAC的度数为( 【分析】根据题意画出图形，如图所示，由折叠可得CC40CAC100，从而根据BACCACBAC【详解】解：把VABCBCAM由折叠可知CC40则由三角形内角和定理可得CAC1804040100，又BAC20，∴BACCACBAC1002081】如图，在VABCA90DACDEBC，若ADE155，求B【答案】先由平行线的性质求出C的度数，再根据三角形内角和定理即可求出B的度数．ADE155∴EDC180ADE180155∵DE∥BCCEDC25，A90，∴B90C65【例2】如图，直线 b，若140，Ð2=70°，则3等于（ D．.先求出41ab，1414045402703180407070，8-1】VABCB40C30DBC上一点，将△ADCAD折叠后，点CEDE∥AB，则ADC的度数为（） 据三角形的内角和得到BAC110EC30，EADCAD，ADCADE，根据平行线的性质得到BAEE30，根据三角形的内角和即可得到结论．

B40，C30BAC110EC30EADCADADEADCDE∥ABBAEECADADC180CADC110， 【答案】40/40先根据垂线的定义得出DEF90，然后在三角形中利用内角和定理求出EDF的度数，最后利用平行线【详解】解：ABCD2EDFFEDBDEF902409内角外角综合推理证明1】ABCD相交于点OA50D401BE平分ABD交CDFCE平分ACDAB于点G，求BEC2ACHBF平分ABD交CDFCM平分DCHBFM【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出OBDACD10DBF1ACD5、OCG1ACO，再结合三角形内角和定理即可得出BECD5，代入D DBF1ACD5即可得出MFCD1ACD5BMC85D 【详解】（1）解：DOBDBOD180AACOAOC180BODAOCDOBDAACOA50，DOBDACD10BE平分ABD交CDFCE平分ACDAB于GDBF1OBD1ACD5，OCG1ACO DDBFBFD180BECOCGCFE，BFDEFCD1ACD5BEC1ACD BECD545（2）解：ACDDCH180CM平分DCHBF于MDCM1DCH1180ACD901ACD MFCDDBFD1ACD5，MFCDCMBMC180BMC180MFCDCM180D1ACD5901ACD85D45 【例1，在VABCADEBCBACBC1802，若120230BDC95，求A根据平行线的性质得到BADBCAEC【详解】（1）DEBCDABB,EACCBACBC180∴1A2BDC∵120，230∴A952030459-1】【模型探究】（1）ADBC相交于点OAB、CD甲同学证明：ABAOB180 CD180COD又AOBCODABCD乙同学证明：AOCAB AOCCDABCD 【模型应用】（2）ADBC相交于点OAB、CDAP、CP分别平分BADBCD①若B30D20，求P的度数．解：AP、CP分别平分BAD、BCD12，3=4．②若B，D，直接写出P 的三等分线，PAD1BAD，PCB1BCD，若B25D38，BADBCD105 直接写出P的度数 （1）三角形内角和等于180；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和（2）①ABAOB180AB180AOBCD180COD，再根据AOBCOD得ABCD；②乙同学：根据三角形外角性质得AOCABAOCCD，由此得ABCD在△OAB和OCD构成的“八字”22B24D，进而得421BD5QAP和QCD构成的“八字”2P4D，继而得P42D25421BDP42D，进而得P PCD2，由BADBCD105得33105，在△OABOCD构成的“八字”BADBBCDD3253383313解得59，46 在△HAP和HCD构成的“八字”模型中，P238，进而得P23849ABAOB180，（三角形内角和等于180CD180COD又AOBCODABCD．AOCCDABCD甲同学证明过程的理论依据是：①三角形内角和等于180，故答案为：三角形内角和等于180；AD于CP交于点Q，如图AP、CP分别平分BAD、BCD在△OAB和OCD构成的“八字”OABBOCDD421BDB30，D在QAP和QCD构成的“八字”2P4DP42D52025，25；②B，D421BDP42D AD与CPH，如图设PADPCBPAD1BAD，PCB1BCD PCDBCDPCB3在△OAB和OCD构成的“八字”BADBBCDDB25，D38由解得：5946 在△HAP和HCD构成的“八字”PADPPCDDP238P238246593849 499-2】如图，在ABCBEACABC50C78(1)求ABE(2)AD是ABCADBEF，求EFD【分析】（1）先由三角形内角和定理可求得BAC的度数，再由直角三角形的两锐角互余可求得ABE的（2）先由角平分线的性质可求得DAC的度数，再由外角的性质可求得EFDEFDDACAEB2690116【详解】（1）解：ABCCBAC180ABC50C78BEACAEB90ABE90BAC9052（2）解：AD是ABCDAC1BAC15226 EFD是AEFEFDDACAEB2690116如图，延长VABC的边AC到点E，过点E作DE∥BC，BG平分ABC，EF平分AED交BG的反向延长线于点F．已知3A4F，则A的大小为（ FFMBC，结合平行线的判定和性质以及角平分线的定义可得1GBC1ABC231AED1ACB，根据三角形内角和定理可得GFE121180A 3A4GFE得到3A4901A FFMBC∵DE∥BC∴FM∥DE∥BC∴1GBC，23，ACBAEDBG平分ABCEF平分AED∴GBC1ABC，31AED ∴11ABC，231ACB ∴GFE121ABC1ACB1180A901A ∵3A4GFE∴3A4901A ∴AABCDEF（A60，D45）按照如图所示的方式摆放，EFAB交于点GDFAC，则AGF的度数为（ 【分析】先通过平行线的性质得到AEGF45D45∴F904545∵DF∥AC∴AEGF45∴AGFAAEGVADE与△BFCBAEAFCF30，E45，ÐD90°，则 【分析】根据三角形内角和定理求出∠DAE45E45，D90，DAEDE180∴∠DAE∵DAEFABF，F30∴ABF4530一把直尺和一块含30B30ABC按如图所示的位置放置，如果CED45，那么图中与CED相等的角有（）A．7 B．6 C．5 D．4∵CED45，C90CDE180CCED45，DEAF，∴EAFCED45，DFACDECEDHEACDEMDFDFANFBCEDCDEEAFDFAHEAMDFNFB45，7个角为45，6个角与CEDABCDEABCDE（ AC1,BD2∵12EDEBCABAD与CEF，下列是BCE的外角的是（

是∴AEC是BCE的外角，AB∥MN，点CABD，E在MN上，连接CD，CE，DCECDEEFCDEG∥CDCG平分BCEEG平分CENEF∥CGG90④CDMCEF90．上述结论中，正确的是（ EG∥CD∴GENCDE，GECDCE，GDCG180∵DCECDE∴GECGENEG平分CEN∵AB∥MN∴ACDCDEDCEEG平分CEN∴BCGGCE2DCE2GCE180，则DCEGCE90∴DCGDCEGCE90G180DCG90∴CFEDFEDCGEF∥CG∵DCE180CFECEF90CEF，DCECDE∴CDM180CDE18090CEF90CEF∴CDMCEF90，故④正确，ABC和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组直角边．已知118230，则3的度数是（） ∵C90∴DEFDFE1CEFCFE2138∴3180DEFDFE1801381，在VABCBPCP分别是ABC和ACB若ABC50,ACB70，则BPC；若BAC70，则BPC2ABCDBPCP分别是ABC和BCD的角平分线，求BPC与AD的数量关BPC901AD

【详解】（1）解：若ABC50，ACB70由条件可知PBC1ABC25，PCB1ACB35 BPC180PBCPCB120；若BAC70，BP、CP分别是ABC和ACB∴PBC1ABC，PCB1ACB ∴BPC180PBCPCB1801180BAC901B