2026年八年级数学人教版 第06讲 角的平分线(暑假预习讲义)

06预习航标→析目标·教材全解→建框架·题型突破→析考点·12尺规作角平分线（作图题345角平分线+辅助线（作垂线）67过关检测→练考点·角平分线、尺规作图、点到直线的距离、辅助1/PAGEPAGE10/01OC平分∠AOB，则：∠AOC∠BOC1∠AOB即时即练如图，在Rt△ABC中，C90AD平分BACBCDDEABE，若CD3，DE的长为（） 【分析】本题考查了角平分线定理，根据已知条件结合角平分线定理可得出CDDEDEAD平分BACAEDC90∴CDDE∵CD3DE3，02D、E1DE的长为半径画弧，两弧在∠AOBSSS可证△ODC≌△OEC，因此∠DOC=∠EOC。即时即练下列作图中，点MACBC两边距离相等的是（ 【详解】解：点MACBC点M在ACBC中CM

03∵OC平分∠AOBPOC∴PD=4.+即时即练如图在VABC中，AD为BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F，AB9cm，DF4cm，则△ABD的面积是（

DEDF4cm，再根据三角形面积计算公式可求出△ABDAD为BACDEABEDFAC∴DEDF4cm∵AB9cm，DEAB，DE4cm∴S

1ABDE19418cm2 04角平分线的判定定理（性质逆定理P在∠AOBDEABEDFACFBDCD，BECFAD平分BAC已知AC10BE2AB【分析（1）求出EDFC90Rt△BED≌Rt△CFDDEDF，（2）AEAF【详解】（1）DEABDFACEDFC90在Rt△BDE与Rt△CDFBDBECFRtBDE≌RtCDFHLDEABDFACAD平分BAC（2）解：由（1）得CFBE2AC10

CDFAFACCF1028，在RtADE与RtADFADDEDFRtADE≌RtADFHLAEAF8ABAEBE8261利用角平分线定义求角度1】已知AOB80，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OAOBMNM1MNAOBPOP为边作POC15 【答案】25或【分析】根据作图步骤可得OP为AOB的角平分线，作POC15时分两种情况，分别计算BOC的度∵AOB∴POBAOP1AOB40如图，当OC在POBBOCPOBPOC401525如图，当OC在AOPBOCPOBPOC401555∴BOC的度数为25或552】如图，在VABCC90AACABACEFEF1EF的长为半径作圆弧，两弧相交于点G③作射线AG，交BC边于点D．若CAB52，则ADC的大小 【答案】AG平分BAC∵CAB52∴CAD1CAB26∵C90∴ADC90CAD902664角平分线分角为两个相等的角，直接用∠半角11-1】如图，在AOBPCOACPDOBDPCPD，若AOB＝44，则 【答案】2222OP【详解】解：PCOA于点CPDOBDPCPDAOPBOPAOB44AOP22，221-2】如图，OC是AOBD，P分别在射线OC和OA上，ODDP且DPO是射线OBDQDP，则DQO的度数为（ C．42或 D．42或DDMOAMD作DNOBNDMDN，然后分当QN右侧时，当QN左侧DDMOAMDDNOBNOC是AOB∴DMDN当QN右侧时，如图，则PMDQND90∵DQDP

DPMDQN42，即DQO42当QN左侧时，如图，则PMDQND90∵DQDP

∴DPMDQN42∴DQO18042138DQO的度数为42或138，D．2尺规作角平分线（作图题1】如图，在Rt△ABCC90，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（DC

AC

AD

BACAD为BACDEABDCDEA选RtACD≌RtAEDACAEB选项；根据BBDE90，BBAC90，可得BDEBACDAD为BACDEABCDCDEDCDE，ADADRtACD≌RtAEDHLACAERtBDEBBDE90，RtABCBBAC90BDEBACD选项正确，不符合题意；ADBD，C选项不正确，符合题意．2】如图，在Rt△ABCC90AABACEDE1DEAFBCGCG4AB8，则ABG的面积为 G作GHABHAF是CAB的角平分线，得CGGH4，根据三角形面积公式，即可求出ABG的面积．G作GHAB∵C90，GHAB∴CGGH4∴S

1ABGH18416 （2）根据HL作OCEODEHL①在射线OBOA上，利用三角板的同一条直角边作出OCOD②利用三角板作出OCFODM90③连接OE则OE为AOB的角平分线．∵OCFODM90，OCOD，OEOE∴OCE≌ODEHL∴DOECOEOE为AOB2-2】RtABCC90BCBABEBDBEBDCG1，PAB上一动点，则GP的最小值为（

【分析】由垂线段最短可得，当GPABGPBG平分ABC由垂线段最短可得，当GPABGP∵C90∴由角平分线的性质定理可得GPGC1，即GP的最小值为31】已知：如图，在VABCABC和ACBPPEABPFAC，垂E、FPEPF；PPDBCDPDPEPFPPDBCABC和ACBPPEAB，PFAC∴PDPE，PDPF∴PEPF2】如图，在VABCC90②在①的条件下，若CD4ABBC20，求VABC(2)2，CE平分ACB，F是线段CEBFACHFGBFFGFH【答案】(1)S△ABCDDHABHDHCD4（2）FFMBC于MFNACNFMFN

【详解】（1）BD即为ABCDDHABHBD平分ABCDCBCDHAB∴DHCD4∴SABCSBCDS1BCCD1AB 1BC41AB 14BCAB1440（2）FFMBCMFNACNCE平分ACBFMFNFBFGBGFGBF90，同理GBFFHC90，BGFFHC在FMG和△FNHFMGMGFNHF FM

FGFH⟹CFEBAB18AF8，求CF【分析】（1）AD是BACDCDEBDDFRt

EADACAEABAEEBCFACAF及（1）中CFEB等量代换即可求CF【详解】（1）C90AD是BACDEABDCDEBEDC90，在Rt△FCD和RtBED中，BDDCDE

BEDHL，∴CFEB（2）AD是BAC∴CADEAD∵C90，DEABAEDC90，在CAD和EAD中，AEDCADEAD AD∴

∴ACAE∵CFACAF，AEABBE∴CFABBEAF∵CFBE∴CFABCFAF∵AB18，AF8∴CF18CF8∴CF故CF3-2】ABCDCA平分BADABCADC180CFADF(1)CBCD(2)AD16AB6DFAF(2DF的长为5AF的长为过点C作CEABABE，根据角平分线的性质可得CECF△△CBE△CDF(AASBEDF，再证

ACFHLAFAE，求出2DF10【详解】（1）证明：如图，过点C作CEABABECA平分BADCEABCFAD∴CECF，CEBCFD∵ABCCBE180，ABCADC180CBEADC，即CBECDF，在△CBE和VCDF中，CBECEBCFD90CE∴CBE≌CDFAAS∴CBCD∴BEDF在RtACE和Rt△ACFCEACAC

∴AFAE∴ADDFABBEABDF∴2DFADAB16610∴DF5∴AFADDF165DF的长为5AF的长为41】ABCDBCCDC作CEABE，CFADFDFBE(1)AC平分DAB(2)AB8cmDF2cmAD根据直角三角形全等的判定证明Rt△BCE≌Rt△DCF，所以CECF根据直角三角形全等的判定证明

ACFAEAF【详解】（1）证明：CEABCFADCFD90，CEB90△BCE和DCF均为直角三角形，在RtBCE和RtDCF中，BCBEDFRt△BCE≌Rt△DCF(HL)CECFCEAB，CFADAC平分BAD（2）解：CEABCFADACE和△ACF在RtACE和Rt△ACFACCECFRt△ACE≌Rt△ACF(HL)AEAFAB8cm，DFBE2cmAEAF6cmADAFDF624cm2】ABAC,BDCD,DEABEDFACF(1)ABDACD(2)BECFAD

由（1）可得BADCAD在△ABD和ACDABBDCDAD

ABDACD（2）证明：由（1）△ABD≌△ACDBADCAD∵DE⊥AB，DFAC在Rt△DEB和Rt△DFCDBDEDF

BECFP在AOB内部，PDOA，PEOBD、EPDPEP在AOBABCDBCCDBADC180AC平分BAD（1）证明RtPDO≌RtPEOHL，所以PODPOE证明BCMDCNAAS，所以CMCN【详解】（1）PDOAPEOBPDOPEO90，在Rt△PDO和Rt△PEO中，OPPDPE∴RtPDO≌RtPEOHL∴PODPOE∴CMBCND90∵BADC180，CDNADC180∴BCDN在BCM和DCNCMBCND90B BC∴BCM≌DCNAAS∴CMCN∴点C在BADAC平分BAD4-2】如图，在VABCDBCADABCADE，连接CEEEHBDH，若ACE34CEH56．AE平分CAFAB8CD10AC6S△ABE16，求ACDEEMBFMENACNEMEHENEHEMEN

1ABEMEM

△【详解】（1）EEMBFMENACNBE平分ABCEMEHACE34，CEH56HCE90CEH905634ACECE平分ACDENEHEMENAE平分CAF

AB8CD10AC6S△ABE16

1ABEM18EM16 EM4ENEHEM4S△

S△

1ACEN1CDEH164110432，故ACD 5角平分线+辅助线（作垂线）【例1】如图，在VABC中，C90，AD平分CAB，CD2cm，则点D到直线AB的距离 cmC90AD平分CABCD2cmDAB的距离CD2cm【例2】如图，OP平分AOB，PCOA于点C，点D在OB上，若PC3cm，OD8cm，则POD的面 cm2．P到OBPC的长，再根据三角形面积公式求解POD的PPEOBEOP平分AOBPCOAPEOBPEPC（角平分线上的点到角两边的距离相等∵PCPE3cm．OD8cm，S

1ODPE18312cm2 5-1】AB∥CDBE和CE分别平分ABC和BCDADEAB为线段BC上一动点，连接PE．若AD8，则PE的最小值 EEHBCHADCDAEEH，DEEH得到AEDE1AD4PEEHPE【详解】解:EEHBCH∵AB∥CD，ADAB∴ADCDBE和CE分别平分ABC和BCD∴AEEH，DEEH∴AEDE1AD4∴EH4∵PEEHPE的最小值为4【变式5-2如图，VABC的外角MBC和NCB的平分线BPCP相交于点P，PEBC于E且PE3cm，若VABC的周长为15cm，S 7.5cm2，则VABC的面积为 cm2．PPFANFPG^AMGAP，根据角平分线上的点到角的两边的距离相PFPGPESBPC7.5BCACAB，再根据SABCSACPSABPSBCPPPFANFPG^AMGAPMBC和NCBBP、CPPPEBC∴PFPGPE3∵SBPC7.5∴1BC37.5BC5∵VABC∴ABACBC15ABAC10S△ABCS△ACPS△ABP1ACPF1ABPG1BC 13ACABBC131057.5(cm2)61】如图ABCC90AD平分BACDEABEDCDE平分CDE；③DE平分ADB；④BEACAB；⑤BACBDE．其中正确的 RtACD≌RtAEDHL得到②ADCADE,ACAEBEACBEAEABC90AD平分BACDEABDCDE，故①正确；RtACDRtAED中，ADCD∴RtACD≌RtAEDHL∴ADCADE,ACAEDA平分CDEBEACBEAEAB∵BACB90,BDEBBACBDEADEBAD90，而BADB∴BDEADEDE平分ADB错误，故③错误；旋转的过程中，其两边分别与OA、OBM、NPMPNOMONPMONMN其中正确的个数为（ PEOAEPFOBFPEPFRtPEO≌RtPFOHL，得出OEOF，证明MPE≌NPFASAMEFNPMPNPEOAEPFOBF∴PEPF在Rt△PEO和Rt△PFOPEPOPO

∴OEOF∴MPNAOB180∴EPFMPN∴EPFEPNMPN∴MPENPF在△MPE和△NPFMPEPE PEM∴

MEFNPMPN，故（1）OMONOEMEOFNF2OE，即OMON的值不变，故（2）∵

∴SPOESPOF，SPMESPNFS四边形PMONSPOESPMESPOFSPNF2SPOEPMON的面积不变，故（3）∵PMPN∴PMNPN6-1】如图，在VABC与△ABDACADBCBD(2)PABPEACPFADE，FPEPF的数量关系，并(2PEPF【分析】（1）根据SSS证明△ABC≌△ABD（2）证明CABDABPEACPFAD可得结论【详解】（1）证明：在VABC和△ABDAC∵BCBDAB∴ABC≌ABDSSS（2）PEPF∴CABDAB∵PEAC，PFAD，∴PEPF6-2】E，F分别在VABCBABCABCEACBP交于点P，PMBE，PNBF，垂足分别为M，N．下列结论：①CP平分ACF；②APCMPNSPACSAMPSNCPEACFCA270．其中正确结论的个数是（A．4 B．3 C．2 D．1PPHACHPMPNPHP在ACF的内部P在ACF的平分线上，据此可对结论①进行判断；②依据HL”判定Rt△AMP和RtAHP全等，Rt△NCP和Rt△HCP全等得APMAPHCPNCPH，由此得APCAPMCPN，进而得MPN2APC，据此可对结论②进行判断；③根据Rt△AMP和RtAHPRt△NCP和Rt△HCPSPAMSPAH，SNCPSHCPSPACSPAMSNCPABC，则BACBCA180EAC180BACFCA180BCA，由此可得EACFCA360BACBCA180，进而得当ABC90EACFCA270依题意可知ABC不一定等于90PPHACHBP是ABCPMBEPNBFPMPNAP是EACPMBEPHACPMPHPNPH又P在ACFP在ACFCP平分ACFPMBE，PHACAMP和△AHP在Rt△AMP和RtAHPPMPAPA

APMAPH

CPNCPHAPCAPHCPHAPMCPNMPNAPCAPMCPN2APCAPC1MPN

AHP，

HCPSPAMSPAH，SNCPSHCPSPAMSNCPSPAHSHCP又SPACSPAHSHCPSPACSPAMSNCP④设ABC在VABCBACBCA180当90EACFCA270，即当ABC90EACFCA270，ABC不一定等于90，EACFCA不一定等于270，故结论④不正确，2个．7多角平分线组合计算角度1VABC中，ABBC2a，BAC和ABCADBE相交于点O，ADBCDBE交AC于点E，CEb，若ABO的面积为ac，则VABC的面积 【答案】2ac【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可知OEACAC2CE2b，根据角平分线的性质得到OFOEOG【详解】解：如图，连接OC，作OGBCOFAB，垂足分别为G，F∵ABO的面积为acABBC2a∴1ABOFac∴12aOFac∴OFcABBCBE平分ABC∴OEAC，AC2EC2b∵BAC和ABCAD，BEO，且OGBCOFAB∴OEOFOGc∴SABCSABOSACOS1ABOF1BCOG1AC ac12ac12b acac2acbc2acbc2】如图，ABC、EACBP、APPPMBEPNBF，则下列结论中正确的个数是（）①CP平分ACF ②ABC2APC③∠ACB2∠APB

④SPACSPAMSPCN PPDACD，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明

PAD根据全等三角形的性质得出APMAPD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性PPDACDPB平分ABCPA平分EACPMBEPNBFPDAC∴PMPN，PMPD∴PMPNPD∵PNBF,PDACP在ACF②∵PMBE,PNBF∴ABC90MPN90360ABCMPN180，在RtPAM和Rt△PAD中，PMPAPA

∴APMAPD

∴CPDCPN∴MPN2APCPA平分CAEBP平分ABC∴CAEABCACB2PAM∵PAM1ABCAPB∴ABCACB21ABCAPB ∴∠ACB2∠APB④由②可知RtPAM≌RtPADHLRtPCD≌RtPCNHL∴SAPDSAPM，S△CPDS△CPNSAPMSCPNSAPC7-1】如图，VABC中BAC60，再分别作VABCBE和CD，BE和CDP，APBPC120AP平分BACPDPEBDCEBC；其中正确的个数是（）个． BAC60∴ABCACB180∠BAC120∵VABCBE和CD∴PBCPBA1ABC，PCBPCA1ACB ∴PBCPCB1ABCACB60BPC180PBCPCB120PQABQPFBCFPHACBE平分ABCCD平分ACBBE与CD∴PQPF，PHPF∴PQPHP在BACAP平分BACBCBRBDPR在△PBR和△PBDBRPBRPBDBP∴

∴PRPD，BPRBPD∵BPDCPE180BPC∴BPRBPD60∴CPRBPCBPR∴CPRCPE在△PCR和PCECPRCP PCR∴

∴PRPE，CRCEPDPEBDCEBRCRBRCRBCBDCEBC7-2】如图，在Rt△ABCC90AC12BC9，CAB和ABCOMBC于点M，则OM的长 ∵C90，AC12，BC992∴AB92OAC、ABD、E，连接OC∵O是CAB和ABC∴OE=OD，OEOM∴OEODOM∵S△ABCS△ABCS△AOCS△BOC∴1129115OM112OM19OM 解得OM3如图，OC平分AOB，在OCPPFOB，已知OF5cm，POF的面积为5cm2是射线OAPE长度的最小值为（ PF2PPHOBHPHPF2cm，然后根据垂OF5cm△FOP的面积为5cm2PFOB∴15PF5，∴PF2PPHOAHOC平分AOBPHOAPFOB∴PFPH2cmE是射线OAPE的最小值为2cm如图，在VABCAB4AC6AD为BACSADC12，则VABC的面积为（ ABACSADC12AC边的垂线的长度，AB边的垂线的长度，再由三角形面积公式计算即可．DDEABABEDFACACFAD为BACDEABDFAC∴DEDF∵S

1ACDF1216DF12DF4∴DEDF4∴S

1ABDE1448 SABCSADCSADB12820故选：BAD是VABCDE，DF

ADC的高，则下列结论的是 DE

AE

=

S△ABD

S△ DEDF，证明Rt△ADE≌Rt△ADFHLAEAFSABDABS△ 【详解】解：A.AD是VABCDE，DF∴DEDF

ADCB.DE，DF分别是ADB,ADCAEDAFD90，ADAD，∴AEAFC.SABDSACDD.ADEDFDE，DF分别是ADB,ADC 1AB ∴ABD S

1AC Rt△ABCC90BCBABE、BDBEBD于点G．若CG1HAB上一动点，则GH的最小值为（

知，当GHAB时有最小值，再利用角平分线的性质求解即可．BG平分ABC，由垂线段最短可知，当GHAB时有最小值，C90，CGGHCG1，即GH1，如图，在ABC中，A90，BD平分ABC．如果BC5，AD2，那么BCD的面积 【答案】DDEBCEDEAD2DDEBCE∵A∴DABABD平分ABCAD2∴DEAD2∵BC5∴△DBC1BCDE1525 如图，在

ABC，ACB90，BACBCDC点作CGABGADEDDFABFCEDCDEADF2ECDSAEC∶SAEGAC∶AGS△CEDS△DFB；⑤CEDF．其中正确结论的序号 ．由ACB90，CGAB，得ACEB，再由三角形外角的性质得CEDCDE，得CECD；根据角平分线的性质，得CDDFSAEC∶SAEGAC∶AG；等量代换得CEDF，从而得出答案．∴CAEDAB∵ACB90，CGAB∴ACEBCG90，BBCG90∴ACEBCEDCAEACE，CDEBDAB，且CAEDABCEDCDE∴CECDAE平分CABACB90DFAB∴CDDF∵EACAG∵CECD，CDDFCEDF无法证明ADF2FDBS△CEDS△DFB．如图，在VABCACB90AC12BC5AB13BP平分ABCD、EBCBP上不与端点重合的动点，连接CE、DE，则CEDE的最小值 604 BABFBD，作CGAB，垂足为G，容易证明DBEFBESASCEDECEFE．由垂线段最短可得，点CEF都在垂线段CGCEDE最小，利用三角形的面积公式求出CG的值即可．BABFBD，作CGAB，垂足为GBP平分ABCDBEFBE，DBE和