2026年八年级数学人教版 专题03 平面直角坐标系(暑假复习讲义)

.Page专题03平面直角坐标系内容导航01复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标02知识重构

→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系03题型突破

→汇总常考题型，举一反三，方法提炼题型1有序数对的理解与生活应用题型2判断点所在象限、坐标轴题型3根据点所在象限，求字母参数取值范围题型4求点到坐标轴距离；已知距离反求坐标题型5平行坐标轴、象限角平分线上点的计算题型6根据坐标描点、连线绘制平面图形题型7利用坐标求线段长度、图形周长题型8网格多边形求面积（期末高频解答）题型9实际场景建立坐标系，用坐标表示地点题型10用方向角+距离描述物体位置题型11根据文字方位描述，作图确定点位置题型12求点沿x轴、y轴平移后的坐标（正向平移）题型13给出平移方式，直接计算点坐标题型14已知平移前后两点坐标，判断完整平移方式题型15已知图形整体平移，求各顶点对应坐标题型16已知平移后的点坐标，逆向求原始坐标题型17坐标系平移综合、平移动点问题04综合通关

→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官

05错题留痕

→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解常考考点命题风向模块一平面直角坐标系的概念有序数对的概念与生活应用坐标系组成：横轴x、纵轴y、原点、四象限四大象限、坐标轴上点的坐标符号特征已知点描点、根据位置写出对应坐标模块二用坐标描述简单几何图形网格中根据坐标描点、顺次连线画图形利用坐标求平行坐标轴线段长度网格多边形周长、面积计算（割补法）模块三用坐标表示地理位置实际场景中建立坐标系，用有序数对表示地点位置用方向角+距离两个条件确定物体位置根据文字方位描述，作图确定目标点位置模块四用坐标表示平移求点沿x轴、y轴平移后的新坐标给出平移方向距离，直接计算点坐标已知平移前后坐标，反向判断平移路线图形整体平移，求顶点对应坐标已知平移后坐标，逆向求原始点坐标6.坐标系平移综合、平移动点问题模块一平面直角坐标系的概念单元入门基础，选择、填空必考，难度偏低。命题常结合教室座位、棋盘、地图等生活场景考有序数对；高频概念陷阱：横纵坐标书写顺序颠倒、坐标轴上点误归象限、混淆象限正负符号；网格识图、简单找点是主要出题形式，属于基础送分板块。模块二用坐标描述简单几何图形期中期末中档简答必考，数形结合基础题型。常给网格顶点坐标，求三角形、四边形面积；易错点：分不清图形底和高、不会使用割补法；是衔接代数计算与平面几何的核心内容。模块三用坐标表示地理位置应用题高频考点，选择、简答均会出现。分两类考法：①地图建坐标定位；②航海/观测方位定位；核心陷阱：描述方位漏写观测点、只写角度不写距离，答题要素不全丢分。模块四用坐标表示平移全题型覆盖，单元拉分核心，也是一次函数图像平移铺垫基础。正向平移、逆向还原平移、图形平移三大考法；高频易错：平移左右、上下对应的加减记反；动点大题常结合面积、距离综合命题，区分度高。考情解码：基础必拿分：判断点所在象限、有序数对读写、基础单点平移、方位简单判断，试卷前几道小题必考。2.核心拉分点：网格图形面积计算、平移正反互推、方位坐标综合、坐标系动点解答题。3.高频易错汇总：横纵坐标顺序颠倒、距离忘记加绝对值、平移加减符号记反、方位描述缺少观测点/距离、求面积底高不垂直、逆向平移运算不变号。知识点一平面直角坐标系的概念有序数对定义：有固定先后顺序的一组数(a,b)，前数为横坐标（水平），后数为纵坐标（竖直），(a,b)≠(b,a)；用于座位、地图定位。坐标系构成：平面内两条互相垂直、原点重合的数轴：水平x轴（横轴，向右为正）；竖直y轴（纵轴，向上为正）；两轴交点O(0,0)为坐标原点。四象限符号（逆时针划分）：第一象限((+,+)；第二象限(-,+)；第三象限(-,-)；第四象限(+,-)⚠️坐标轴上所有点不属于任何象限坐标轴上点特征：x轴上点：纵坐标y=0，格式(x,0)；y轴上点：横坐标x=0，格式(0,y)。点到坐标轴距离公式：点P(x,y)：到x轴距离=|y|；到y轴距离=|x|（距离恒为非负数）特殊直线坐标规律：平行x轴直线：线上全部点纵坐标相等；平行y轴直线：线上全部点横坐标相等；三象限角平分线：x=y；二、四象限角平分线：x=-y【易错提醒】1.有序数对顺序不能颠倒，(a,b)与(b,a)表示不同位置。2.坐标轴上的点不属于任何象限。3.熟记各象限坐标符号，避免混淆正负。4.x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0。5.点到坐标轴的距离要取绝对值，距离一定为正数。即时即练下列说法不正确的是（）A．点在第一象限 B．点到y轴的距离为3C．已知点，点，则轴 D．若，则点一定在x轴上【答案】D【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，包括象限点的特征、点到坐标轴的距离、平行于坐标轴的直线的点的坐标特征、坐标轴上点的坐标特征，逐一判断各选项即可得到答案．【详解】解：A对于点，横坐标，纵坐标，该点在第一象限，说法正确，不符合题意；B点到轴的距离为，说法正确，不符合题意；C点和点的横坐标相同，轴，说法正确，不符合题意；D若，可得或，则点在轴上或轴上，不一定在轴上，说法错误，符合题意．知识点二用坐标描述简单几何图形网格作图步骤：建立坐标系→根据坐标逐个描顶点→按顺序连线，得到平面图形平行坐标轴两点距离：A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB∥x轴，长度|x1-x2|；AB∥y轴，长度|y1-y2|网格图形面积计算：直角三角形、矩形：直接用坐标找垂直的底、高，套用公式；不规则多边形：割补法（分割成多个规则图形相加/补成长方形减去多余三角形）【易错警示】描点连线务必按顶点顺序，防止图形变形。计算线段长度记得取绝对值，结果为正数。求面积时底和必须垂直，三角形面积勿忘乘。不规则图形用割补法，分割、补全不重不漏。平移、对称后的图形，周长和面积保持不变。即时即练如图，点A、B、C、D、E都在格点上，用表示A点的位置，用表示B点的位置，则点E的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查平面直角坐标系，熟练掌握平面直角坐标系的概念是解答本题的关键．根据点A，B的坐标建立平面直角坐标系，由图可得点E的坐标．【详解】解：∵A点坐标为，B点为，∴建立如图平面直角坐标系，∴点E的坐标为．故选：B．知识点三用坐标表示地理位置实际场景坐标定位四步法：选定参照物作为坐标原点；规定x轴向东、y轴向北为正方向；设定网格单位长度；写出每个地点的有序数对。方位定位双要素（缺一不可）：观测点+方向角（北偏东/北偏西/南偏东/南偏西）+距离；仅角度无法确定位置。由方位找点作图流程：以观测点为中心画十字方位线→用量角器画出指定角度射线→按单位长度截取对应距离，标记目标点。【易错警示】1.建立坐标系时，看清原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。2.有序数对牢记先横后纵，切勿颠倒顺序。3.方位描述必须包含观测点、方向角、距离三要素，少一项就出错。4.描述方位统一规范：优先说北/南，再说东/西，如北偏东，不说东偏北。5.同一场景下，全程保持坐标系规则不变，前后坐标不混用。即时即练2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点出发，按以下指令移动：指令1：向北移动4米到点；指令2：右转，向东移动3米到点；指令3：右转，向南移动2米到点；指令4：右转，向西移动5米到点．判断下列结论中不正确的是（

）A．直线与直线垂直B．直线与直线平行C．点位于点的北偏东方向D．点与点之间的距离大于3米【答案】C【分析】根据题意作出示意图，再逐项判断即可．【详解】解：如图，设与相交于点则直线与直线垂直，故A正确，不符合题意；直线与直线平行，故B正确，不符合题意；点位于点的正西方向，故C错误，符合题意；点与点之间的距离，故D正确，不符合题意．知识点四用坐标表示平移核心基础口诀：左减右加横坐标，上加下减纵坐标，设原始点P(x,y)正向单点平移（已知平移求新坐标）：右移a个单位：(x+a,y)；左移a个单位：(x-a,y)上移b个单位：(x,y+b)；下移b个单位：(x,y-b)逆向还原平移（已知平移后坐标求原坐标）：运算反向颠倒：向右平移得到的点，求原点向左平移；向上平移得到的点，求原点向下平移，加变减、减变加。判断平移方式：对比平移前后坐标：横坐标变大→右移，变小→左移；纵坐标变大→上移，变小→下移。图形平移规律：图形形状、大小不变，仅位置改变；全部顶点执行完全相同的平移规则，平移顶点后重新连线。平移综合与动点：设运动时间t，用含t代数式表达动点坐标；结合线段距离、图形面积列方程求解，分区间讨论动点位置。【易错警示】1.牢记平移口诀：左减右加横坐标，上加下减纵坐标，切勿记反加减规则。2.图形平移时，所有顶点遵循同一变化规律，不可单独改变个别点坐标。3.已知平移后坐标求原坐标，运算要反向，加变减、减变加。4.平移只改变图形位置，形状、大小、周长、面积均保持不变。5.区分平移方向，左右只改横坐标，上下只改纵坐标，不混淆两类坐标。即时即练已知点，点，将线段平移至．若点，点，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平移的性质可得，点到点的坐标变化规律与点到点的坐标变化规律相同，从而求出与的值．【详解】解：∵，，∴点向右平移1个单位，向下平移4个单位得到点，∵线段由线段平移得到，∴点向右平移1个单位，向下平移4个单位得到点，∵，，∴，，∴，∴．题型1有序数对的理解与生活应用例1．下列说法正确的是（

）A．坐标轴上的点可以用一个实数表示B．坐标平面内的点和表示同一个点C．坐标平面内的点由一对有序实数唯一确定D．纵坐标为a，横坐标为b的点的坐标可表示成【答案】C【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标表示方法．根据平面直角坐标系中点的坐标表示方法逐一判断其正确性，即可．【详解】解：选项A：坐标轴上的点（如x轴或y轴）需用形如或的坐标表示，包含两个实数，而非仅一个实数，故A错误．选项B：点与仅在时表示同一位置，否则位置不同（如与），故B错误．选项C：根据平面直角坐标系的定义，每个点由唯一的有序实数对确定，且每个有序实数对对应唯一的点，故C正确．选项D：坐标的规范写法为“横坐标在前，纵坐标在后”，即横坐标为、纵坐标为时应写作，而非，故D错误．故选：C．【技巧总结】1.书写规则：先写水平横坐标，后写竖直纵坐标，顺序不可逆；2.生活场景统一规则：座位（列，行）、地图（东，北）。避坑：(2,5)和(5,2)是两个完全不同的位置。【变式训练1-1】如图，在围棋棋盘上有3枚棋子，如果黑棋①的位置用有序数对表示，黑棋②的位置用有序数对表示，则白棋③的位置可用有序数对表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知两点的坐标可以画出坐标轴，进而求出③的坐标．【详解】解：根据已知两点的坐标画出坐标轴，③的坐标为，故选：C．【变式训练1-2】数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi(a，b为实数)的数叫做复数，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z(a，b)表示，如：z＝1+2i表示为Z(1，2)，则z＝2﹣i可表示为（

）A．Z(2，﹣1) B．Z(﹣2，1) C．Z(2，1) D．Z(﹣1，2)【答案】A【分析】根据题目中的定义求解即可．【详解】解：由题意，得：z＝2﹣i可表示为Z（2，－1），故选A．

题型2判断点所在象限、坐标轴例1．点的坐标满足，且，则点P在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据判断和的符号关系，再结合确定、的正负，最后根据平面直角坐标系各象限的坐标特点判断点所在象限．【详解】解：∵，∴和同号，即同时为正或同时为负．又∵，∴，，∵平面直角坐标系中，横纵坐标都为负的点在第三象限，∴点在第三象限．【技巧总结】1.观察横、纵坐标正负，对照四象限符号快速判断；2.y=0在x轴，x=0在y轴，坐标轴点不属于任何象限。【变式训练2-1】小渝将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“科”在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】本题考查了判断点所在的象限，写出直角坐标系中点的坐标，解题关键是掌握上述知识点．先求出“科”的坐标，再根据坐标判断所在的象限．【详解】解：因为“创”“新”的坐标分别为，，所以可建立平面直角坐标系如图，所以“科”的坐标为，则“科”在第二象限，故选：B．【变式训练2-2】在平面直角坐标系中，点在第二象限，则点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】四个象限坐标符号特点为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，先根据点的位置判断的符号，再推导点横纵坐标的符号，即可判断所在象限．【详解】解：∵点在第二象限∴，∴∴点的横纵坐标符号为，符合第一象限点的坐标特征∴点在第一象限．题型3根据点所在象限，求字母参数取值范围例1．若点在轴上，则的值是（

）A．5 B． C．4 D．【答案】C【分析】本题考查平面直角坐标系中轴上点的坐标特征，利用y轴上点的横坐标为0列方程求解即可．【详解】解：∵点在轴上∴点的横坐标为即解得．【技巧总结】1.依据象限符号列出一元一次不等式组；2.解不等式组，得到字母取值区间。【变式训练3-1】在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，则的值为（

）A． B． C．1 D．3【答案】A【分析】利用x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0，求出的值，再计算即可得到结果．【详解】解：点在轴上，点的纵坐标为，即，解得；又点在轴上，点的横坐标为，即，解得；．【变式训练3-2】已知点在y轴的负半轴上，则点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】先根据y轴负半轴上点的坐标特征判断a的符号，再根据各象限内点的坐标符号特征判断点M的位置．【详解】解：∵点在轴的负半轴上，∴，∵点的坐标为，∴点的横坐标为负，纵坐标为正，∴点在第二象限．题型4求点到坐标轴距离；已知距离反求坐标例1．若在第四象限，且点到轴的距离为7，到轴的距离为4，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用性质求出横纵坐标即可得到点的坐标．【详解】解：∵点在第四象限，∴横坐标，纵坐标，∵点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，又∵点A到x轴距离为7，到y轴距离为4，∴，，∵，，∴，，∴点A的坐标为．【技巧总结】1.距离等于坐标绝对值，结果一定是正数；2.已知距离求坐标，横、纵坐标分正负讨论，存在多组解，不要漏写。【变式训练4-1】平面直角坐标系中，第二象限内的点到y轴的距离是5，则a的值为（

）A． B．8 C． D．3【答案】A【分析】点到y轴的距离等于点横坐标的绝对值，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，据此列式求解即可．【详解】解：∵点在第二象限，且到y轴的距离是5，∴，且，∴，解得，此时，符合题意．【变式训练4-2】已知点，若点到两坐标轴的距离相等，则的值为（

）A．5或 B．或 C．5或 D．或【答案】B【分析】根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，得到点横、纵坐标的绝对值相等，据此列方程求解即可．【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等，∴，分两种情况讨论：①当时，即，解得：；②当时，即，，解得；综上，的值为或．题型5平行坐标轴、象限角平分线上点的计算例1．已知点，点，且轴，则a的值为（

）A．3 B．2 C．6 D．【答案】A【分析】利用平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等的性质求解即可．【详解】解：∵点，点，且轴，∴解得．【技巧总结】1.AB∥x轴⟺yA=yB；AB∥y轴⟺xA=xB2.一、三平分线：x=y；二、四平分线：x=-y，直接列方程求参数。【变式训练5-1】已知点坐标为，线段平行于轴，且，则点的坐标为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】利用平行于x轴的点的坐标特征，先确定B点的纵坐标，再根据线段长度分情况计算B点的横坐标，即可得到结果．【详解】解：∵线段平行于轴，，∴点的纵坐标为，∵，∴点B的横坐标为或，∴点的坐标为或．【变式训练5-2】在平面直角坐标系中，点，，且平行于轴，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相等，即可得解．【详解】解：平行于轴，点，，．题型6根据坐标描点、连线绘制平面图形例1．图中标明了李同学家附近的一些地方．某日早晨，李同学从家里出发，沿，的路线转了一下，又回到家里，如图，依次连接他经过的地方，你得到的图形是（）A．心形 B．鱼 C．帆船 D．箭头【答案】D【分析】本题考查坐标确定位置，在平面直角坐标系中，一定要理解点与坐标的对应关系，是解决此类问题的关键．由图形及其坐标得出具体的位置画出图形即可.【详解】解：如下图所示，得到一个“箭头”的图形，故选：D【技巧总结】网格内先找到横坐标对应竖线、纵坐标对应横线，标记顶点后顺次连接，不打乱顶点顺序。【变式训练6-1】如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别为，，．(1)在图中画出三角形；(2)将三角形先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，在图中画出平移后得到的三角形，并写出点，的坐标．【答案】(1)如图：三角形即为所求，(2)如图：三角形，即为所求，，【分析】（1）先描点，再连线即可得出三角形；（2）根据平移的性质作出图形即可．【详解】（1）略（2）略【变式训练6-2】在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，，．(1)在图中作出三角形；(2)把三角形向下平移6个单位长度，再向右平移4个单位长度，作出三角形平移后的三角形，并写出点的坐标．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据题意，先描点，再依次连接，即可画出三角形；（2）先根据平移的性质得出点，再依次连接，即可画出三角形，然后写出点的坐标，即可作答．【详解】（1）解：如图，三角形即为所求．（2）解：如图，三角形即为所求，点的坐标为．题型7利用坐标求线段长度、图形周长例1．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点在轴正半轴上，线段与线段交于点．若与面积相等，则到直线的距离是________．【答案】4【分析】本题考查平面直角坐标系中三角形面积的计算．画出相关图形，根据与面积相等，可得．进而可得点A到的距离．【详解】解：作于点M．∵，，∴，∴，∵与面积相等，∴．即．又∴，即：．解得：．故答案为：4【技巧总结】平行坐标轴线段直接坐标作差取绝对值；倾斜线段利用网格直角三角形勾股定理计算。【变式训练7-1】【问题情境】在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，小亮在学习中发现，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为；【知识应用】(1)若点，，则的长度为______．(2)已知点，若轴，且，求点D的坐标．【答案】(1)12(2)或【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于x轴及平行于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．（1）由和可得轴，根据题意即可解决问题．（2）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．【详解】（1）解：∵，，∴轴，∴．故答案为：12．（2）解：∵，且轴，∴点D的横坐标为．∵，∴或，∴点D的坐标为或．【变式训练7-2】已知点，，若直线与轴平行，则线段的长为________．【答案】5【分析】本题考查了点的坐标，掌握点坐标的特征是解题的关键．根据点坐标的特征求得，即可求解．【详解】解：∵直线与轴平行，∴，则，故，∴线段的长为，故答案为：5．题型8网格多边形求面积（期末高频解答）例1．阅读与思考利用面积法求直线上点的坐标如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，点，在直线上，求点的坐标．【问题探究】（1）请阅读并填空：第一步：过点作轴于点，由，两点的坐标，可直接得出三角形的面积为________；第二步：过点作轴于点，三角形的面积，三角形的面积为________．∵三角形的面积三角形的面积三角形的面积，∴可得关于的一元一次方程为________．解这个方程，可得点的坐标为________．【问题迁移】（2）连接，请仿照（1）中的方法，求点的坐标．【问题拓展】（3）若点在直线上，且在轴的左侧，三角形的面积为5，请直接写出点的坐标．【答案】（1）6；m；；；（2）；（3）【分析】本题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．（1）用两种不同的方法求出的面积，构建方程求解即可；（2）利用面积法，构建方程求解即可；（3）首先判断出点在轴下方，过点作轴于点，则，然后根据构建方程求解．【详解】解：（1）过点作轴于点，过点作轴于点，，，点，∴，，，，，∴，．，，解得，，点的坐标为；故答案为：，，，；（2）如图，连接，过点作于，于．依题意，直线与坐标轴交于，两点，点，在直线上，，，，点的坐标为；（3）∵点在直线上，且三角形的面积等于5，∵，∴点在轴下方，如图所示，过点作轴于点，则∴，∴，∴，解得：，，∴．【技巧总结】1.规则直角图形：直接读取底和高计算；2.不规则图形固定方法：割补法，分割求和或补大减多余。【变式训练8-1】综合与实践【问题背景】在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．（1）求的面积．【解决问题】（2）若，，，求四边形的面积．【深入探究】（3）在（2）的条件下，过中点作直线轴交于点，求点的坐标．【拓展延伸】（4）在（2）的条件下，点的坐标为，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的3倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）9；（3）（4）或．【分析】本题主要考查了坐标与图形，数量掌握图形面积与点的坐标之间的关系是解题的关键．（1）根据点的坐标可得轴，点B到的距离为，据此根据三角形面积计算公式求解即可；（2）根据（1）所求求出的面积，再求出A、B坐标，进而求出的面积即可得到答案；（3）先求出的长，则可得点N横坐标，根据列式求出的长即可得到答案；（4）求出的面积，进而得到四边形面积，则可得到三角形的面积，根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案．【详解】解：（1）∵点坐标为，点坐标为∴轴，∵点坐标为，∴点B到的距离为，∴；（2）当，，时，，，∴，∴，∴；（3）∵，点M是中点，∴，∵轴，∴轴，∴点N的横坐标为，∵，∴，∴，∴，∴；（4）∵，，∴，∴，∵三角形的面积等于四边形面积的3倍，∴，∴，∴，∴，∵，∴或．【变式训练8-2】在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，．(1)求四边形的面积；(2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标．【答案】(1)(2)或【分析】本题考查了坐标与图形综合，采用数形结合的思想是解此题的关键．（1）分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，结合题意可得，，，，，再由计算即可得解；（2）设，根据三角形的面积等于四边形面积的一半，，得出，求解即可．【详解】（1）解：如图，分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，．∵点，，，，∴，，，，，∴．（2）解：设，∵三角形的面积等于四边形面积的一半，，∴，解得：或，∴或．题型9实际场景建立坐标系，用坐标表示地点例1．如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，可建立平面直角坐标系如下：∴棋子“炮”的坐标为．【技巧总结】固定四步模板：定原点→定正负方向→定单位长度→书写各地点有序数对。【变式训练9-1】如图，在正方形网格中，标明了学校附近的一些地方，其中每一个小正方形网格的边长代表1个单位长度．已知学校的坐标为，体育馆的坐标为．(1)请在图中画出这个平面直角坐标系；(2)请直接写出超市和电影院所在位置的坐标．【答案】(1)(2)超市，电影院【分析】（1）根据学校和体育馆的坐标建立平面直角坐标系；（2）根据超市和电影院所在位置写出坐标．【详解】（1）略（2）解：超市所在位置的坐标为，电影院所在位置的坐标为．【变式训练9-2】瓮安欢乐谷坐落于草塘石林公园处，周末小星和小丽相约到欢乐谷游玩，游玩结束后，他们绘制了欢乐谷部分平面示意图，其中碰碰车的坐标为，大摆锤的坐标．(1)请你根据上述信息，在图中画出平面直角坐标系；(2)写出图中海盗船的坐标；(3)若在欢乐谷新建一个游客中心，请你在图中画出游客中心的位置．【答案】(1)如图，平面直角坐标系即为所求；(2)海盗船的坐标为(3)如图，点即为所求．【分析】（1）表示碰碰车的点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，就是原点位置，可以画出平面直角坐标系；（2）观察表示海盗船的点的位置，可得其坐标；（3）在图上找出游客中心，即可求解．【详解】（1）略（2）由图可得，海盗船的坐标为；（3）略题型10用方向角+距离描述物体位置例1．如图，在一次活动中，位于A处的佳佳准备前往相距的B处与琪琪会合．请你用方向和距离描述佳佳相对于琪琪的位置，其中描述正确的是（

）A．佳佳在琪琪的北偏东，处B．佳佳在琪琪的北偏东，处C．佳佳在琪琪的南偏西，处D．佳佳在琪琪的南偏西，处【答案】B【详解】解：由题意可知：佳佳在琪琪的北偏东，处．【技巧总结】标准完整描述句式：以XX为观测点，北/南偏东/西XX°，距离XX单位；三个要素缺一不可。【变式训练10-1】如图是三艘军舰的位置示意图，已知C舰到A舰的图上距离为4cm，实际A舰在C舰的正东方向40千米处，B舰到C舰的图上距离为2cm，请通过计算，用方向和距离描述B舰相对于C舰的实际位置：______．【答案】北偏东方向，距离C舰20千米处【分析】根据题意可得之间的距离为千米，且在的北偏东方向，求解即可．【详解】解：根据已知C舰到A舰的图上距离为4cm，实际A舰在C舰的正东方向40千米处可得，代表的距离为千米，B舰到C舰的图上距离为2cm，则之间的距离为千米，根据图形可得，在的北偏东方向，则B舰相对于C舰的实际位置为北偏东方向，距离C舰20千米处．【变式训练10-2】如图，货轮与灯塔相距．(1)用方向和距离描述灯塔相对于货轮的位置：灯塔在货轮的南偏东__________°，处；(2)客轮在货轮的正南方向，在灯塔的南偏西方向，请你在图中标出客轮的位置．【答案】(1)50(2)见解析【分析】（1）利用方位角解题即可；（2）根据方位角和距离画出图形即可．【详解】（1）解：由图可知灯塔在货轮的南偏东，处；（2）解：如图即为客轮位置．题型11根据文字方位描述，作图确定点位置例1．根据下列表述，其中能确定具体目标位置的是（

）A．某市人民路 B．南偏西 C．电影院1号厅第2排 D．东经，北纬【答案】D【详解】解：A．某市人民路仅表示道路范围，无法确定具体位置，不符合题意；B．南偏西仅给出方向，缺少距离信息，无法确定具体位置，不符合题意；C．电影院号厅第排仅给出厅和排，缺少座位号信息，无法确定具体位置，不符合题意；D．东经，北纬给出两个确定的经纬度数据，可以确定唯一具体位置，符合题意．【技巧总结】十字方位定位中心→量角器画角度射线→截取对应长度标记目标点。【变式训练11-1】小明从A处出发向北偏东走了，到达B处；小刚也从A处出发、向南偏东走了，到达C处．(1)用表示，画图表示A、B、C三处的位置；(2)用表示方向的角和距离表示A处相对于C处的位置；(3)在图上量出B处和C处之间的距离、求出小明和小刚两人实际相距多少米．【答案】(1)见解析(2)A在C处北偏西方向，距离(3)50米【分析】（1）根据比例画图即可；（2）根据方位角的表示方法求解即可；（3）由图上测得距离约为，根据表示求解即可．【详解】（1）解：如图，点A、B、C即为所求；（2）解：∵小刚从A处出发、向南偏东走了，到达C处∴A在C处北偏西方向，距离；（3）解：由图上测得距离约为，∵图上表示，∴实际BC．答：B、C实际相距约50米．【变式训练11-2】春日的四子王旗草原，人影穿梭、一片繁忙，作为“三北”工程六期建设的核心攻坚区，四子王旗正通过灌草结合、封山育草、以工代赈等综合举措，让昔日的沙化草原重新披上绿装．以下能准确描述四子王旗位置的是（

）A．乌兰察布市的西北方向 B．距离包头249公里C．北纬，东经 D．与武川县相邻【答案】C【详解】解：A选项仅给出方向，缺少其他数据，无法确定准确位置；B选项仅给出距离，缺少其他数据，无法确定准确位置；C选项给出北纬和东经两个确定的数据，可以准确确定四子王旗的位置；D选项仅说明相邻关系，无法确定准确位置．题型12求点沿x轴、y轴平移后的坐标（正向平移）例1．将点水平平移5个单位长度到达点B，则点B的坐标为________【答案】或【分析】根据水平平移只改变点的横坐标，纵坐标不变，需分向右平移和向左平移两种情况讨论求解．【详解】解：已知点的坐标为，将点水平平移个单位长度，平移后纵坐标不变，分两种情况讨论：当点向右平移个单位长度时，点的横坐标为，纵坐标为，可得点坐标为；当点向左平移个单位长度时，点的横坐标为，纵坐标为，可得点坐标为，所以点B的坐标为或．【技巧总结】直接套用口诀分步计算，横坐标只管左右，纵坐标只管上下，分开计算不跳步。【变式训练12-1】将点向左平移3个单位长度后落在轴上，则的值为________．【答案】【分析】根据点平移的坐标变化规律得到平移后点的横坐标，再利用轴上点的横坐标为列方程求解即可．【详解】解：根据点平移的坐标规律，向左平移时横坐标减，纵坐标不变，可得平移后点的横坐标为，因为平移后点落在轴上，轴上所有点的横坐标为，因此列方程得，解得．【变式训练12-2】将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是，即．题型13给出平移方式，直接计算点坐标例1．在平面直角坐标系中，点P先向左移动5个单位，再向上移动7个单位，到达点，则原来P点的坐标为___________．【答案】【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律，等式求解即可．【详解】解：设原来点的坐标为．根据点的平移规则，向左平移个单位后，横坐标变为，再向上平移个单位后，纵坐标变为，得到平移后坐标为．由题意得平移后点的坐标为，因此：，解得，．因此原来点的坐标为．【技巧总结】同上正向平移题型，分别修改横、纵坐标数值。【变式训练13-1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，为第三象限内一点．(1)若点到两坐标轴的距离相等①求点的坐标；

②若且，求点的坐标．(2)若点为，连接，将沿轴方向向右平移得到（点的对应点分别为点），若的周长为，四边形的周长为，求点的坐标（用含的式子表示）．【答案】(1)①；②或(2)【分析】（1）①根据点到两坐标轴的距离相等，据此列方程求解的值即可解答；②利用，可知平行于轴，从而确定点的纵坐标；利用确定线段长度，结合点的坐标，分点在点左侧和右侧两种情况讨论即可求解；（2）利用平移的性质（对应线段相等，对应点连线平行且相等）将四边形的周长转化为的周长与平移距离的关系，从而求出平移距离，最后根据平移规律即可写出点的坐标．【详解】（1）解：①到两坐标轴的距离相等，且在第三象限，，，；②，，且，，或；（2）沿轴方向向右平移得到，，，的周长为，，四边形的周长为，，，，点为，点的坐标为．【变式训练13-2】如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点坐标分别为，，．把三角形先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，点的对应点分别是点，请你在平面直角坐标系中画出三角形，并写出点的坐标．【答案】，【分析】先根据平移作出点，依次连接即可得到三角形，根据所画的图形写出点的坐标即可解答．【详解】解：如图，三角形即为所求，点的坐标为．题型14已知平移前后两点坐标，判断完整平移方式例1．如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，点，的坐标分别为，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据点、平移后横纵坐标的变化可得线段向右平移个单位，向上平移了个单位得到线段，然后再确定、的值，进而可得答案．【详解】解：点，的坐标分别为，，点，的坐标分别为，，线段向右平移个单位，向上平移了个单位得到线段，点，的坐标分别为，，，，，故选：A．【技巧总结】计算横坐标差值x后-x前，正数右移、负数左移；纵坐标差值y后-y前，正数上移、负数下移，合并描述平移路线。【变式训练14-1】在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示．(1)分别写出A，的坐标：A，；(2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到；(3)若是三角形内部的一点，经过平移后，点M在三角形中的对应点的坐标为，求m和n的值．【答案】(1)，(2)向左平移2个单位长度，再向下移动3个单位长度(3)，【分析】（1）观察A，在坐标系中的位置即可；（2）根据A，的坐标可确定平移方式；（3）根据平移方式确定对应点的坐标，结合给出的坐标列方程，即可求解．【详解】（1）解：由图可得，；（2）解：由的对应点为，得点A向左平移2个单位长度，再向下移动3个单位长度得到点，三角形是由三角形向左平移2个单位长度，再向下移动3个单位长度得到的；（3）解：平移后对应点的坐标为，即，又的坐标为，，，解得，．【变式训练14-2】如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，．将三角形平移，得到三角形，其中任意一点平移后的对应点为．(1)画出三角形，并写出点的坐标为______；(2)写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式．【答案】(1)三角形如图所示．(2)将三角形先向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到三角形．（答案不唯一）【分析】（1）根据点P平移前后的坐标得出平移的方式，然后画出，然后写出直角坐标系中的坐标即可．（2）由（1）可写出答案（答案不唯一）【详解】（1）解：任意一点平移后的对应点为．则平移方式为：向右平移7个单位，向下平移4个单位．则如下图所示：∴（2）解：如（1）将三角形先向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到三角形．（答案不唯一）题型15已知图形整体平移，求各顶点对应坐标例1．如图，，，，将三角形向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，得到三角形，请你画出三角形，并写出，，的坐标．【答案】画图见解析，，，【详解】解：如图，三角形即为所求．，，【技巧总结】提取图形全部顶点，每个顶点统一使用同一平移规则计算新坐标，最后描点连线。【变式训练15-1】已知三角形是由三角形经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如表所示：三角形三角形(__________)(1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：①________，________；②(__________)；(2)在平面直角坐标系中画出三角形(3)若点是三角形ABC内部一点，则经过平移后得到的对应点的坐标为，求的平方根．【答案】(1)①，；②，；(2)图见解析；(3)．【分析】（1）①由题意可得三角形向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到三角形，进而可得的值；②根据平移的性质可得答案．（2）根据点的坐标描点再连线即可；（3）根据图形平移的性质即可解决问题．【详解】（1）①∵，和，，∴三角形是由三角形向下平移个单位长度，向左平移个单位长度，∴，，②∵，∴，即；（2）如图，三角形即为所求．（3）∵点是三角形ABC内部一点，经过平移后得到的对应点，又∵由（1）得三角形是由三角形向下平移个单位长度，向左平移个单位长度，∴，∵，∴，解得：，∴，∴的平方根为【变式训练15-2】如图，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度．请回答下列问题：(1)平移后的三个顶点坐标分别为：（，），（，），（，）；(2)画出平移后三角形；(3)若平移后的三角形内部有任意一点，则平移前对应点的坐标为：P（，）．【答案】(1)；；(2)见解析(3)【分析】（1）在平面直角坐标系中得到三角形三个顶点的坐标，再由图形的平移方式即可得到平移后图形的坐标；（2）由（1）中的坐标直接描点连线即可得到答案；（3）根据点的平移规律作答即可．【详解】（1）解：由图可知、、，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，、、；（2）解：如图所示：即为所求；（3）解：∵将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，平移后的三角形内部有任意一点，∴平移前对应点的坐标为：．题型16已知平移后的点坐标，逆向求原始坐标例1．在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段，若点的对应点为，点B的对应点为，则点B的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，且，将线段向右平移2个单位，向下平移4个单位得到线段，∵点B的对应点为，∴，点的坐标为．【技巧总结】平移操作全部反向，正向加则逆向减，正向减则逆向加。【变式训练16-1】如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度．已知三角形的顶点，，，将三角形平移得到三角形，三角形中任意一点经平移后对应点为．(1)画出三角形，并写出顶点坐标：，，．(2)若三角形外有一点经过同样的平移后得到点，则点的坐标为．连接线段，则这两条线段之间的数量关系是．【答案】(1)见解析，，，(2)，【分析】（1）根据点P找出平移规律，进而画出三角形，根据平面直角坐标系可知顶点坐标；（2）根据平移规律得到点的坐标，根据平移的性质作答即可．【详解】（1）解：∵点经平移后对应点为，∴平移规律为向右平移3个单位，再向下平移2个单位，三角形如图，可知，，（2）解：∵点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，∴连接线段，由平移规律可知．【变式训练16-2】小明和小亮在玩“你来说，我来猜”的游戏．小明经过思考给出了正确答案，这个游戏的谜底是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】平面直角坐标系中一点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，据此可确定点P的纵坐标，在y轴上的点的横坐标为0，结合向右平移时横坐标加上平移距离可得点P的横坐标．【详解】解：∵点P到x轴的距离为3个单位长度，∴点P的纵坐标的绝对值为3，即点P的纵坐标为3或，∵点P向右平移4个单位长度后落在y轴上，∴点P的横坐标为，∴点P的坐标为或．题型17坐标系平移综合、平移动点问题例1．已知，为4的算术平方根，在平面直角坐标系中，点，，，且．(1)直接写出______，______，______；(2)如图①，当点在直线上时，连接，求三角形的面积；(3)平移线段，使点的对应点在轴的正半轴上，点的对应点恰好在轴的负半轴上，点以每秒3个单位长度从点向轴负半轴运动，同时点以每秒2个单位长度从点向轴正半轴运动，直线、交于点，设点、运动的时间为（秒）．①如图②，当时，探究三角形的面积和三角形的面积的数量关系，并说明理由；②若三角形的面积为10，直接写出点的坐标．【答案】(1)5，，2(2)(3)①，理由见解析；②点D的坐标为或【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性得到，，求出，，然后根据算术平方根的定义求出；（2）根据题意得到，然后三角形面积公式求解；（3）①首先表示出，由平移的性质得到，，表示出，，，，，，然后得到，进而求解即可；②根据题意分三种情况讨论，分别判断求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，，解得，，∵为4的算术平方根，∴；（2）解：由（1）得，，∴，，∴，∴三角形的面积；（3）解：①，理由如下：∵，，∴，∵平移后点的对应点M在y轴的正半轴上，点的对应点N在x轴的负半轴上，且，∴平移方式为向下平移2个单位，向左平移a个单位，∴，，∴，，由题意得，，，，，，，，即；②当时，，，∴，，∴，，∵，，∴PQ可以看作由向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到，此时，点D不存在；当，如图1，点D在三角形内部或和点O重合，此时，不符合题意；当时，如图2，点D在第四象限，连接，设，由①得，，，，，，，，；当时，如图3，点D在第二象限，连接，，，，，，，，，，综上，点D的坐标为或．【技巧总结】设运动时间t，写出动点含t的坐标代数式；根据距离、面积、象限条件列方程，分情况讨论动点在线段不同区间的取值。【变式训练17-1】如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现将线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点A对应点为C，点B对应点为D，连接，．(1)直接写出A，B，C，D四个点的坐标．(2)如图2，点M是线段上的一个动点，点N是线段上的一个定点，连接，，当点M在线段上移动时（不与A，C重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由．(3)在y轴上存在点P，使的面积与的面积相等，直接写出点P的坐标．【答案】(1)点，点，点，点(2)，理由见解析(3)或【分析】（1）先由绝对值的非负性与算术平方根的非负性求解a，b的值，由此可得点A，B的坐标，再根据平移的性质可得点C，D的坐标．（2）添加辅助线，过点M作，由平行线的性质可得，再由平角的定义即可得．（3）先求解出的面积，再表示出的面积求解即可．【详解】（1）解：∵a，b满足，∴且，解得，，∴点，点，∵先将点A向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到点C，∴点，即点，∵将点B向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到点D，∴点，即点．（2）解：，理由如下：过点M作，如图，则有，由平移的性质可得，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，即．（3）解：由（1）可知，点，点，点，点，∴，∴，设点，∴，∴，即，则有，当时，；当时，，∴点P的坐标为或．【变式训练17-2】在平面直角坐标系中，已知长方形，其中点，点．(1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______；(2)若点是轴上的动点，连接．①如图1，当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由；②当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标．【答案】(1)，(2)①，理由见解析；②【分析】（1）根据长方形的性质，结合坐标系，即可求解；（2）①先求出，再用三角形的面积公式得出，，即可得出结论；②当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合，连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则，根据①得出，则，设，则，得出，解方程，即可求解．【详解】（1）解：∵已知长方形，其中点，点．∴∴，；（2）①，理由如下：如图1，过点作于，由平移知，轴，∵，∴，∵，∴，，∴，即：；②如图，∵四边形是长方形，∴当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合，连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则，∵设∴由①可得∴∴即解得：∴1．如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按“向上、向右、向下、向右”的方向依次不断移动，每次移动2个单位长度，得到点，，，，…，按此规律移动下去，则点的坐标为．（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】观察可得，每4个点为一个循环，纵坐标依次为2，2，0，0，每个循环横坐标增加4，计算出的商和余数即可得到答案．【详解】解：点，，，，，，，，，…，∴每4个点为一个循环，纵坐标依次为2，2，0，0，每个循环横坐标增加4，∵，∴点纵坐标为2，横坐标为，点的坐标为．2．在平面直角坐标系中，已知，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直线轴且过，可得直线上点的纵坐标均为；根据垂线段最短，最短时，结合轴推出轴，可得点横坐标与横坐标相同，即可求解．【详解】解：∵直线轴，且过点，∴直线上所有点的纵坐标均为，设点，∵当线段长度最短时，，又轴，∴轴，∴点与点横坐标相同，∵，∴，∴点坐标为．3．已知点，下列说法正确的是（

）A．点M到x轴的距离是4 B．点N在第二象限C．轴 D．【答案】D【分析】根据点的坐标特征，结合点到坐标轴的距离，象限的划分，平行坐标轴的直线的坐标特征，两点距离的计算方法，逐一判断选项即可．【详解】解：对于选项A：∵点，点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，∴点M到x轴的距离是，A错误．对于选项B：∵点的横坐标为正，纵坐标为负，∴点N在第四象限，B错误．对于选项C：∵点M和点N的纵坐标相同，∴轴，C错误．对于选项D：∵，，纵坐标相同，线段的长度为横坐标差的绝对值，∴，D正确．4．若点满足，则点P在（

）A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限C．第一象限或第三象限或原点上 D．第二象限或第四象限或原点上【答案】C【分析】根据的条件分情况讨论，结合各象限点的坐标符号判断即可.【详解】解：∵点满足，分情况讨论：当时，点P横纵坐标均为正，点P在第一象限；当时，点P横纵坐标均为负，点P在第三象限；当时，点P为坐标原点；∴点在第一象限或第三象限或原点上.5．在平面直角坐标系中，点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先判断点M横纵坐标的正负，即可确定点M所在象限．【详解】解：∵，∴，又∵点的纵坐标，∴点在第一象限．6．A，B两点的坐标分别为，，点P是x轴上一点，且三角形的面积为8，则点P的坐标为____．【答案】或/或【分析】设点坐标为．利用点的纵坐标可得三角形的高为．再根据三角形的面积为列含绝对值的方程，求解得到的值，即可得到点的坐标．【详解】解：设点坐标为．点坐标为，点在轴上，的长度为．点坐标为，三角形中，边上的高为点纵坐标的绝对值，即高为．根据三角形面积公式可得：，化简得．即或．解得或．点坐标为或．7．已知点的坐标为，且点到轴的距离为，则的值为________．【答案】或【分析】根据点到轴的距离等于点纵坐标的绝对值，解绝对值方程即可得到的值．【详解】解：∵点到轴的距离为，∴，∴或，解得：或．∴的值为或．8．在平面直角坐标系中，若点，点，点在轴上，且三角形的面积为，则点的坐标为____________．【答案】或【分析】设点的坐标为，由，都在轴上，可得线段的长度为，点到轴的距离是中边上的高，长度为，根据三角形面积公式列方程求解即可得到点的坐标．【详解】解：设点坐标为，点在轴上，点的坐标为，，点的坐标为，点到轴的距离为，即中边上的高为，，，整理得，或，解得或，点的坐标为或．9．2026年是红军长征胜利90周年，伟大的长征精