求曲线的图片题目及答案

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文档简介

求曲线的图片题目及答案考试时间：120分钟总分：100分年级/班级：高一/数学

求曲线的图片题目及答案

一、选择题

1.曲线y=2x^2-4x+1的顶点坐标是

A.(1,-1)B.(2,-3)C.(1,3)D.(2,1)

2.抛物线y=ax^2+bx+c经过点(1,0)，(2,-3)，(3,0)，则a的值是

A.-1B.1C.-2D.2

3.曲线y=x^3-3x+2的极值点是

A.(0,2)B.(1,0)C.(1,2)D.(0,0)

4.曲线y=ln(x+1)在x=0处的切线斜率是

A.1B.0C.-1D.不存在

5.曲线y=e^x与y=x^2在第一象限的交点个数是

A.0B.1C.2D.无数个

6.曲线y=1/x在x=1处的曲率是

A.1B.2C.1/2D.0

7.曲线y=sin(x)在x=π/2处的曲率半径是

A.1B.πC.2D.π/2

8.曲线y=√x在x=4处的曲率半径是

A.2B.4C.8D.16

9.曲线y=x^2在x=1处的法线方程是

A.x+y=2B.x-y=0C.x-y=1D.x+y=1

10.曲线y=cos(x)在x=π处的法线方程是

A.x+y=πB.x-y=πC.x+y=-πD.x-y=-π

二、填空题

1.曲线y=x^3-3x+2的凹区间是___________。

2.曲线y=e^x的渐近线是___________。

3.曲线y=ln(x+1)在x=0处的二阶导数是___________。

4.曲线y=x^2在x=1处的曲率是___________。

5.曲线y=sin(x)在x=π/2处的曲率半径是___________。

6.曲线y=√x在x=4处的曲率半径是___________。

7.曲线y=x^2在x=1处的法线斜率是___________。

8.曲线y=cos(x)在x=π处的法线斜率是___________。

9.曲线y=x^3的拐点是___________。

10.曲线y=1/x的渐近线是___________。

三、多选题

1.下列曲线中，在x=0处有极值点的是

A.y=x^2B.y=x^3C.y=1/xD.y=ln(x+1)

2.下列曲线中，在x=1处曲率为1的是

A.y=x^2B.y=x^3C.y=1/xD.y=sin(x)

3.下列曲线中，有渐近线的是

A.y=x^2B.y=e^xC.y=ln(x+1)D.y=1/x

4.下列曲线中，在x=0处曲率半径为1的是

A.y=x^2B.y=x^3C.y=1/xD.y=ln(x+1)

5.下列曲线中，在x=1处法线斜率为-1的是

A.y=x^2B.y=x^3C.y=1/xD.y=ln(x+1)

四、判断题

1.曲线y=x^3的拐点是(0,0)。

2.曲线y=ln(x+1)在x=-1处有垂直渐近线。

3.曲线y=e^x的曲率在任意点都大于0。

4.曲线y=x^2在x=1处的法线方程是x+y=2。

5.曲线y=1/x在x=1处的曲率半径是1。

6.曲线y=sin(x)在x=π/2处的曲率是1。

7.曲线y=x^3-3x+2在x=1处有极值点。

8.曲线y=e^x的渐近线是y=0。

9.曲线y=cos(x)在x=π处的法线斜率是1。

10.曲线y=x^2的凹区间是(0,+∞)。

五、问答题

1.求曲线y=x^3-3x^2+2的极值点及对应的极值。

2.求曲线y=e^x在x=0处的切线方程。

3.求曲线y=ln(x+1)的凹区间及拐点。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A.(1,-1)

解析：抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。对于y=2x^2-4x+1，a=2,b=-4，顶点横坐标为-(-4)/(2*2)=1，纵坐标为2*(1)^2-4*1+1=2-4+1=-1，故顶点坐标为(1,-1)。

2.C.-2

解析：将点(1,0),(2,-3),(3,0)代入y=ax^2+bx+c，得：

a+b+c=0

4a+2b+c=-3

9a+3b+c=0

解此方程组，得a=-2,b=3,c=2，故a=-2。

3.B.(1,0)

解析：y=x^3-3x+2，y'=3x^2-3，令y'=0，得x=±1。

y''=6x，当x=1时，y''=6>0，故x=1为极小值点；当x=-1时，y''=-6<0，故x=-1为极大值点。

将x=1代入y=x^3-3x+2，得y=1-3+2=0，故极值点为(1,0)。

4.A.1

解析：y=ln(x+1)，y'=1/(x+1)，当x=0时，y'=1/(0+1)=1，故切线斜率为1。

5.C.2

解析：令e^x=x^2，即e^x-x^2=0。考虑函数f(x)=e^x-x^2，f(0)=1-0=1>0，f(1)=e-1>0，f(2)=e^2-4>0，f(3)=e^3-9<0，f(4)=e^4-16>0。

又f'(x)=e^x-2x，f'(1)=e-2>0，f'(2)=e^2-4<0，f'(3)=e^3-6>0。

故f(x)在(1,2)内有一根，在(2,3)内有一根。

又f(x)在(0,1)内单调递增，在(1,2)内单调递减，在(2,3)内单调递增，

在(3,+∞)内单调递增，故交点个数为2。

6.A.1

解析：y=1/x，y'=-1/x^2，y''=2/x^3，

曲率k=|y''|/（1+y'^2）^(3/2)=|2/x^3|/（1+(-1/x^2)^2）^(3/2)=2/x^3/（1+1/x^4）^(3/2)=2/x^3/（(x^4+1)^(3/2))/x^6=2x^3/（x^4+1）^(3/2)。

当x=1时，k=2/(1+1)^(3/2)=2/2^(3/2)=2/2√2=√2/2=1。

7.A.1

解析：y=sin(x)，y'=cos(x)，y''=-sin(x)，

曲率半径R=1/k=1/|y''|/（1+y'^2）^(3/2)=1/|-sin(x)|/（1+cos^2(x)）^(3/2)。

当x=π/2时，sin(π/2)=1,cos(π/2)=0，

R=1/1/（1+0）^(3/2)=1/1=1。

8.B.4

解析：y=√x=x^(1/2)，y'=1/(2√x)，y''=-1/(4x^(3/2))，

曲率半径R=1/k=1/|y''|/（1+y'^2）^(3/2)=1/|-1/(4x^(3/2))|/（1+(1/(2√x))^2）^(3/2)=4x^(3/2)/（1/(4x)）^(3/2)=4x^(3/2)/(1/(8x^(3/2)))=4x^(3/2)*8x^(3/2)=32x^3。

当x=4时，R=32*4^3=32*64=2048。

R=4x^(3/2)/(1/(8x^(3/2)))=4x^(3/2)*8x^(3/2)=32x^3

更正：

R=4x^(3/2)/(1/(8x^(3/2)))=4x^(3/2)*8x^(3/2)=32x^(3/2)

当x=4时，R=32*4^(3/2)=32*8=256

再更正：