初高中数学暑假衔接材料：第04讲 充分条件与必要条件（暑假预习讲义）（原卷版）

2/14第04讲充分条件与必要条件内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1命题真假的判定题型2四种条件的判断题型3由条件关系求参数取值范围题型4充要条件的证明04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航命题充分条件必要条件充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件理解推出符号的含义，掌握命题中若p则q的真假判断方法，初步区分条件与结论的逻辑关系；准确理解充分条件、必要条件的定义，能够依据命题推导关系，判断两个命题间的充分、必要关系；掌握充要条件的概念，能区分充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要四种条件关系；学会结合集合范围、不等式等知识，解决简单的条件判断问题，提升逻辑推理核心素养.学习重点：掌握充分条件、必要条件、充要条件的定义，能准确判断两个命题之间的逻辑条件关系.学习难点：区分四种不同的条件关系，能结合集合包含关系灵活判定和辨析复杂的充分与必要条件.知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01命题1、命题（1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．（2）分类：判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．2、命题结构若p，则q”，“如果p，那么q”等形式，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.即时即练下列语句是命题的是（

）A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180°C．这里的景色山真美啊! D．x>2【方法总结】（1）判断一个语句是命题的两个要素：①是陈述句；②可以判断真假；（2）判断一个命题为真命题时，需要通过证明；为假命题时，只需举出一个反例.知识点02充分条件与必要条件命题“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒qp⇏q条件关系p是q的充分条件（q的一个充分条件是p）；

q是p的必要条件（p的一个必要条件是q）p不是q的充分条件；

q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件；

性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件.知识点03四大条件1、定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件。如果p⇔q，那么p与q互为充要条件2、条件关系判定的常用结论条件p与结论q的关系结论（p是q的）等价结论（q是p的）p⇒q且q⇒p充要条件充要条件p⇒q且q⇏p充分不必要条件必要不充分条件p⇏q且q⇒p必要不充分条件充分不必要条件p⇏q且q⇏p既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件即时即练“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【方法总结】判断“p⇒q”与“q⇒p”两个命题的真假即可得出结论.知识点03从集合角度理解充分条件、必要条件记法A=关系A⊆BA⊇BA⫋BB⫋AA=BA⊈B且B⊈A图示或或结论p是q的充分条件p是q的必要条件p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件即时即练“−1<x<6”是“−1【方法总结】将命题等价转化为集合，判断集合之间的关系，根据集合关系得出结论.题型1命题的真假判定【例1】下列命题为真命题的是（

）A．有两边及一角对应相等的两个三角形全等B．方程x2C．面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比是1：4D．在平面内，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形【方法总结】1.判定为真命题：需要严谨证明.（1）依据：公理、定理、定义、已证结论、逻辑推理规则；（2）直接证明：从条件出发，通过推理直接推出结论成立；间接证明（反证法）：先假设结论不成立，推出矛盾，从而证明原结论为真.2.判定为假命题：只需举出一个反例反例要求：满足命题的所有条件，但不满足命题的结论.【变式1】（多选）下列命题中，不正确的有（

）A．对角线垂直的四边形是菱形B．若x>y，则xC．若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比D．若m>2，则方程x2题型2四种条件的判断【例2】（1）下列“若p,则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（

）个①若x,y是偶数,则x+y是偶数②若a<2，则方程x2③若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形④若ab=0，则a=0A．0 B．1 C．2 D．3（2）p：A∩B为空集，q：A、B至少一个是空集，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件（3）“x>2”是“(x+1)2>xA．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【方法总结】判断四种关系的三种方法：方法1：定义法①分清谁是条件p，谁是结论q；②判断p⇒q是否成立（看条件能不能推出结论）；判断q⇒p是否成立（看结论能不能推出条件）；其中判断为假命题时，常用举反例法.③根据两个推出关系，确定条件类型.方法2：集合法将命题p和命题q等价转化为集合P和Q，根据集合P与Q关系得出结论.【变式2-1】老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明“做容易题”是“做难题”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2-2】已知p:0<x<2，那么p的一个充分不必要条件是（

）．A．0<x<1 B．−1<x<1 C．0<x≤2 D．0<x<3题型3由条件关系求参数取值范围【例3】（1）已知集合A=x1<x≤3，集合B=xm−1<x<2m+1，且x∈A是x∈B的充分条件，则实数A．m≤1 B．m≤1或m>2 C．1<m<2 （2）若不等式1<x<3的必要不充分条件是m−2<x<m+2，则实数m的取值范围是（

）A．1,2 B．1,3 C．−1,2 D．1,3【方法总结】由条件关系求参数取值范围的方法：（1）分别解出条件p、q对应的解集（集合/区间）；（2）根据题意确定集合之间的包含关系；（3）列不等式组（注意空心/实心，端点取舍）；（4）解不等式组，得到参数范围.【变式3-1】“x=1”是“x∈{x|x≤a}”的充分条件，则实数a的取值范围为（

）A．a=12 B．a<12 C．【变式3-2】关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解的一个充分不必要条件的是（A．m<14 C．m<12 题型4充要条件的证明【例4】已知a，b是实数，求证：a4−b4【方法总结】充要条件的证明方法步骤：第一步：明确命题分清：条件p、结论q；第二步：证明充分性：已知p成立，经过推理、论证，推出q成立；第三步：证明必要性：已知q成立，经过推理、论证，推出p成立；第四步：下结论：由充分性、必要性均成立，得p是q的充要条件.【变式4-1】证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC=BD.一、单选题1．下列语句中是命题的个数为（

）①请起立！

②a2+1>0③明天天晴⑤中国是世界上人口最多的国家

⑥这道数学题有趣吗？⑦若x−y=a−b⑧任何无限小数都是无理数A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．“x>0”是“1<x<4”的（

）A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知a,b∈R，“a2=b2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件4．“x>3”的充分不必要条件是（

）A．x>2 B．x>3 C．x≥3 D．5．设命题p:x1>1,x2>1.命题q:xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知两个非空集合A=x|−2≤x≤5,B=x|m+1≤x≤2m−1，若B是AA．2,3 B．[2,3) C．−∞,3 二、多选题7．如果命题“若p则q”是真命题，那么下列说法一定正确的是（

）A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件C．q是p的必要条件 D．q是p的充分条件8．“2x2−3x−2<0A．x>−1 B．0<x<1 C．−12<x<9．下面命题正确的是（

）A．“x>3”是“x>5”的必要不充分条件B．“ac<0”是“一元二次方程axC．设x,y∈R，则“x+y≥4”是“x≥2且y≥2”的充分不必要条件D．“x≠1”是“x2三、填空题10．已知集合A=[a,+∞)、B=[3,+∞)．若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则11．设x∈R，写出“x>1”的一个充分条件：______．12．在下列所示电路图中，下列说法正确的是______.（填序号）.（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；（4）如图④所示，开关A闭合是奵泡B亮的必要不充分条件.四、解答题13．已知集合P