初高中数学暑假衔接材料：第17讲 对数函数（原卷版及解析）

2/14第17讲对数函数内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1对数函数有关的定义域、值域问题题型2对数型函数过定点问题题型3解对数型不等式题型4反函数及其性质应用题型5对数函数性质的综合应用04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航对数函数反函数理解概念与图象：经历作图过程，掌握对数函数图象画法及对称作图法，发展直观想象素养.探究并掌握性质：通过图象观察与代数验证，归纳对数函数的定义域、值域、定点及单调性等核心性质.理解反函数概念：理解其定义域与值域互换及图象对称性.熟练应用性质：能利用单调性比较对数式大小，并解决简单的对数不等式及实际问题.提升核心素养：类比指数函数研究路径，体会数形结合与分类讨论思想，提升数学抽象与逻辑推理素养.学习重点：（1）图象与性质：掌握对数函数图象特征，准确理解其定义域、值域、定点及单调性.（2）性质的简单应用：能运用对数函数的单调性比较大小，解决简单的对数型函数问题.学习难点：（1）单调性的代数证明：学生用严谨的代数证明时，逻辑推理能力面临挑战.（2）底数

a的分类讨论：理解底数取值对图象和单调性的决定作用，在底数不确定时能自觉分类讨论.知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01对数函数的概念1.对数函数的概念：函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x2、判断一个函数是对数函数的依据（1）形如y=logax，且系数为1；（2）底数a满足a>0，且a≠1；（3）真数是x而不是x例如，y=log2x+1，y=23、两种特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数y=lg（2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数y=ln即时即练下列函数，其中为对数函数的是（

）A．y=log12(−x) B．y=2log4【方法总结】判断一个函数是对数函数的方法：“四个必须”（1）系数必须为1：对数符号logax（2）底数必须合规：底数a必须是一个大于0且不等于1的常数，不能含有自变量x.（3）真数必须纯粹：对数的真数位置只能有自变量x本身，不能是x的代数式（如x+1或x2）（4）定义域必须明确：函数的定义域必须是0+∞，即自变量x必须严格大于0知识点02对数函数的图象与性质1、对数函数的图象与性质如下表：a＞10＜a＜1图象定义域（0，＋∞）值域R过定点过定点（1，0），即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0单调性是（0，＋∞）上的增函数是（0，＋∞）上的减函数2、底数a对函数图象的影响(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，图象呈上升趋势；当0<a<1时，图象呈下降趋势；(2)函数y=logax与y=log1ax(a>0(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论a>1还是0<a<1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大.即时即练函数y=logax的图象如图所示，则aA．0.5 B．2 C．e D．π【方法总结】判断对数函数图象的方法：对数函数图象恒过点(1,0)，函数定义是(0,+∞)，即函数图象恒在y轴的右方，当知识点03反函数1.定义：例如对数函数y=logaxa>0,2.反函数的性质

(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称；

(2)若函数y=fx的图象上有一点ab，则点ba必在其反函数的图象上，反之也成立；

(3)互为反函数的两个函数的单调性相同；

(4)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；题型1对数型函数有关的定义域、值域【例1】（1）函数f(x)=log2xA．(0,+∞) B．(1,+∞) C．（2）函数fx=log2xA．1,2+log25 B．1,2 C．2,【方法总结】1、求定义域：条件1：对数的真数恒大于0；条件2：a>02、求值域：对于形如y=loga（1）分解成y＝loga（2）求fx（3）求u的取值范围；（4）利用y＝logau【变式1-1】函数f(x)=ln(4−x)x−3【变式1-2】已知函数f(x)=log24x−2⋅2题型2对数型函数过定点问题【例2】函数f(x)=loga(2x−3)+5（a>0，a≠1）的图象过定点A，则AA．(1,0) B．(1,5) C．(2,5) D．(2,6)【方法总结】对数型函数y=m⋅①令真数为1，即令fx=1，解方程得出定点的横坐标x②将横坐标x0代入函数，求出定点的纵坐标的值n③下结论：所求定点坐标为x0【变式2-1】已知曲线y=loga(x−2)+1（a>0且a≠1）过定点(s,t)，若m+n=s−t且m>0，n>0，则9A．16 B．10 C．8 D．4题型3解对数型不等式【例3】不等式log22−x【方法总结】（1）形如logax>logab的不等式，借助y＝loga（2）形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式（b＝log（3）形如logf注意：fx与gx均大于0且【变式3-1】已知指数函数y=1ax，当x∈(0,+∞)时，有y>1A．72,+∞C．1,72 题型4反函数及其性质应用【例4】已知对数函数fx=logaxa>0,且a≠1，且图象过点9,2，fx【方法总结】反函数的性质（1）同底数的指数函数与对数函数互为反函数；（2）互为反函数的两个函数的定义域与值域互换；（3）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.【变式4-1】若函数y=fx是y=ax(a>0且a≠1)的反函数，则函数A．12,4 B．1,4 C．12题型5对数函数性质的综合应用【例5】若函数fx=ax−3,x≤0lgx+1A．−3,0 B．−3,0 C．−4,0 D．−4,0【方法总结】解决对数函数性质的综合问题的注意点（1）注意代数式的变形，如分式通分，因式分解、配方法、分母（或分子）有理化等变形技巧；（2）解答问题时应注意定义域优先的原则；（3）由于对数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需分类讨论.【变式5-1】已知函数fx=−log2x2+3A．0,14∪4,+∞ B．0,4 一、单选题1．函数y=log12A．[−1,0] B．[0,1]C．[1,+∞) 2．若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(27)=A．−1 B．1 C．2 D．33．若lg2x−4≤1，则A．−∞，7 B．2，7 C．7，+∞ D．（2，+∞）4．若函数y=axa>0, 且a≠1的图象过点A．B．C．D．5．已知a=0.52026，b=log20252026A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a6．定义在R上的偶函数fx在0,+∞上单调递增，定义在−∞,0∪0,+∞上的奇函数gx满足当x>0时，A．−5,−1∪1,5 C．−5,−1∪0,1∪二、多选题7．下列函数中既是偶函数，又在0,+∞A．y=elnx B．y=x−4 8．下列说法正确的是（

）A．若函数f1−x的定义域为0,2，则函数fxB．y=1C．fx=D．“a=2”是“函数fx=x−a9．下列说法正确的是（

）A．若函数fx为奇函数，则B．函数fx=C．若函数fx+1D．函数y=fx的定义域为−8,3，则函数y=f三、填空题10．函数fx=2x+111．函数fx=log12．已知∀x∈[−2,0]，∀t∈[−2,0]，不等式|log2(4x四、解答题13．已知函数f(x)=log21+ax(1)求a的值与函数f(x)的定义域．(2)若对任意的x∈[53,3]时，都有f(x)<2m−114．已知函数fx(1)当x∈1,64(2)若fx≤mlog4x

第17讲对数函数内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1对数函数有关的定义域、值域问题题型2对数型函数过定点问题题型3解对数型不等式题型4反函数及其性质应用题型5对数函数性质的综合应用04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航对数函数反函数理解概念与图象：经历作图过程，掌握对数函数图象画法及对称作图法，发展直观想象素养.探究并掌握性质：通过图象观察与代数验证，归纳对数函数的定义域、值域、定点及单调性等核心性质.理解反函数概念：理解其定义域与值域互换及图象对称性.熟练应用性质：能利用单调性比较对数式大小，并解决简单的对数不等式及实际问题.提升核心素养：类比指数函数研究路径，体会数形结合与分类讨论思想，提升数学抽象与逻辑推理素养.学习重点：（1）图象与性质：掌握对数函数图象特征，准确理解其定义域、值域、定点及单调性.（2）性质的简单应用：能运用对数函数的单调性比较大小，解决简单的对数型函数问题.学习难点：（1）单调性的代数证明：学生用严谨的代数证明时，逻辑推理能力面临挑战.（2）底数

a的分类讨论：理解底数取值对图象和单调性的决定作用，在底数不确定时能自觉分类讨论.知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01对数函数的概念1.对数函数的概念：函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x2、判断一个函数是对数函数的依据（1）形如y=logax，且系数为1；（2）底数a满足a>0，且a≠1；（3）真数是x而不是x例如，y=log2x+1，y=23、两种特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数y=lg（2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数y=ln即时即练下列函数，其中为对数函数的是（

）A．y=log12(−x) B．y=2log4【答案】C【详解】函数y=log12函数y=ln函数y=log(a2+a)x的底数含有参数【方法总结】判断一个函数是对数函数的方法：“四个必须”（1）系数必须为1：对数符号logax（2）底数必须合规：底数a必须是一个大于0且不等于1的常数，不能含有自变量x.（3）真数必须纯粹：对数的真数位置只能有自变量x本身，不能是x的代数式（如x+1或x2）（4）定义域必须明确：函数的定义域必须是0+∞，即自变量x必须严格大于0知识点02对数函数的图象与性质1、对数函数的图象与性质如下表：a＞10＜a＜1图象定义域（0，＋∞）值域R过定点过定点（1，0），即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0单调性是（0，＋∞）上的增函数是（0，＋∞）上的减函数2、底数a对函数图象的影响(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，图象呈上升趋势；当0<a<1时，图象呈下降趋势；(2)函数y=logax与y=log1ax(a>0(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论a>1还是0<a<1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大.即时即练函数y=logax的图象如图所示，则aA．0.5 B．2 C．e D．π【答案】A【详解】因为函数y=logax【方法总结】判断对数函数图象的方法：对数函数图象恒过点(1,0)，函数定义是(0,+∞)，即函数图象恒在y轴的右方，当知识点03反函数1.定义：例如对数函数y=logaxa>02.反函数的性质

(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称；

(2)若函数y=fx的图象上有一点ab，则点ba必在其反函数的图象上，反之也成立；

(3)互为反函数的两个函数的单调性相同；

(4)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；题型1对数型函数有关的定义域、值域【例1】（1）函数f(x)=log2xA．(0,+∞) B．(1,+∞) C．【答案】D【详解】由函数f(x)=log2x2x−1有意义，则满足x>02x−1≠0所以函数fx的定义域为0,（2）函数fx=log2xA．1,2+log25 B．1,2 C．2,【答案】A【详解】解：令gx=x2−x，x∈又g2=2，g5又y=log2x所以fx∈log【方法总结】1、求定义域：条件1：对数的真数恒大于0；条件2：a>02、求值域：对于形如y=loga（1）分解成y＝loga（2）求fx（3）求u的取值范围；（4）利用y＝logau【变式1-1】函数f(x)=ln(4−x)x−3【答案】−【详解】要使函数f(x)=ln只需4−x>0x−3≠0，解得x<4且x≠3所以函数的定义域为−∞【变式1-2】已知函数f(x)=log24x−2⋅2【答案】1,【详解】令t=2x，当x∈0,2故y=log2t2−2t+3故ℎt由复合函数单调性可知，y=log2t故y=log题型2对数型函数过定点问题【例2】函数f(x)=loga(2x−3)+5（a>0，a≠1）的图象过定点A，则AA．(1,0) B．(1,5) C．(2,5) D．(2,6)【答案】C【详解】令2x−3=1，则x=2，此时f(x)=loga1+5=5，故定点A【方法总结】对数型函数y=m⋅①令真数为1，即令fx=1，解方程得出定点的横坐标x②将横坐标x0代入函数，求出定点的纵坐标的值n③下结论：所求定点坐标为x0【变式2-1】已知曲线y=loga(x−2)+1（a>0且a≠1）过定点(s,t)，若m+n=s−t且m>0，n>0，则9A．16 B．10 C．8 D．4【答案】C【详解】对于y=loga(x−2)+1，令x−2=1，即x=3即曲线y=loga(x−2)+1（a>0且a≠1）过定点(3,1)故m+n=2，又m>0，n>0，则9m当且仅当9nm=mn，结合m+n=2题型3解对数型不等式【例3】不等式log22−x【答案】2【详解】不等式log22−x因为y=log2x所以不等式log22−x2所以不等式的解集为(【方法总结】（1）形如logax>logab的不等式，借助y＝loga（2）形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式（b＝log（3）形如logf注意：fx与gx均大于0且【变式3-1】已知指数函数y=1ax，当x∈(0,+∞)时，有y>1A．72,+∞C．1,72 【答案】D【详解】∵y=1ax在x∈(0,+∞)时，有y>1于是由loga(x−1)≤loga(6−x)∴原不等式的集为x∣7题型4反函数及其性质应用【例4】已知对数函数fx=logaxa>0,且a≠1，且图象过点9,2，fx【答案】g【详解】因为对数函数fx=logax所以2=loga9，所以a=3所以其反函数为gx故答案为：g【方法总结】反函数的性质（1）同底数的指数函数与对数函数互为反函数；（2）互为反函数的两个函数的定义域与值域互换；（3）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.【变式4-1】若函数y=fx是y=ax(a>0且a≠1)的反函数，则函数A．12,4 B．1,4 C．12【答案】D【详解】因为函数y=fx是y=ax所以y=fx=logax令gx因为g1所以函数y=f2x−1+3图象必过定点题型5对数函数性质的综合应用【例5】若函数fx=ax−3,x≤0lgx+1A．−3,0 B．−3,0 C．−4,0 D．−4,0【答案】B【详解】当x>0时，fx=lg当x≤0时，fx显然当a>0时，fx=ax−3在因此有fx此时函数没有最小值，不合题意；当a=0时，函数f(x)=−3,x≤0lg(x+1),x>0当a<0时，fx在−∞,0fx在0,+∞上值域为a,+∞则只需要−3≤a<0.综上可得：实数a的取值范围为−3,0.【方法总结】解决对数函数性质的综合问题的注意点（1）注意代数式的变形，如分式通分，因式分解、配方法、分母（或分子）有理化等变形技巧；（2）解答问题时应注意定义域优先的原则；（3）由于对数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需分类讨论.【变式5-1】已知函数fx=−log2x2+3A．0,14∪4,+∞ B．0,4 【答案】A【详解】因为fx=−log2x当x≥0时，令u=x2+3其为单调递增函数，而y=−log2根据对称性知，函数fx=−log所以函数fx=−log因为flog2m<f2，所以log当log2m>2=log24时m>4所以实数m的取值范围为0,1一、单选题1．函数y=log12A．[−1,0] B．[0,1]C．[1,+∞) 【答案】A【详解】∵y=log12∴−1≤log122．若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(27)=A．−1 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】函数f(x)=logax(a>0,a≠1)已知反函数的图象过点(1,3)，则有a1=3，解得因此原函数为f(x)=log3x3．若lg2x−4≤1，则A．−∞，7 B．2，7 C．7，+∞ D．（2，+∞）【答案】B【详解】lg2x−4≤1=lg10，则满足：2x−4≤104．若函数y=axa>0, 且a≠1的图象过点1A．B．C．D．【答案】C【详解】由函数y=axa>0, 且a≠1的图象过点1函数y=logax，即f(x)=f(−x)=log19当x>0时，y=log195．已知a=0.52026，b=log20252026A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a【答案】C【详解】由指数函数的性质，可得a=0.52026>0且a=又由对数函数的性质，可得b=log且c=log20262025<log所以b>c>a.6．定义在R上的偶函数fx在0,+∞上单调递增，定义在−∞,0∪0,+∞上的奇函数gx满足当x>0时，A．−5,−1∪1,5 C．−5,−1∪0,1∪【答案】D【详解】根据题意可得fx在(−∞,0)因为gx为奇函数，所以g画出gx的大致图象，如图所示，不妨设f易得gx与fx的函数值异号的区间为−∞,−5，所以不等式gxfx二、多选题7．下列函数中既是偶函数，又在0,+∞A．y=elnx B．y=x−4 【答案】BC【详解】对于选项AD：当x∈0,+∞时，则且y=ex在定义域R内单调递增，可知y=e对于B：因为y=x−4=1x4的定义域为由幂函数性质可知y=x−4在对于C：因为y=3−x的定义域为R，且3−−x=3−当x∈0,+∞时，则8．下列说法正确的是（

）A．若函数f1−x的定义域为0,2，则函数fxB．y=1C．fx=D．“a=2”是“函数fx=x−a【答案】AD【详解】对于A：因为f1−x的定义域为0,2，即0≤x≤2，所以−1≤1−x≤1所以函数fx的定义域为−1,1对于B：y=fx=1x的定义域为所以y=1对于C：令x2+x−6>0，解得x>2或x<−3，所以fx因为x2+x−6能取到所有的正数，所以fx对于D：当a=2时，fx则函数fx在区间2,+若函数fx=x−a=x−a,x≥a综上所述，“a=2”是“函数fx=x−a9．下列说法正确的是（

）A．若函数fx为奇函数，则B．函数fx=C．若函数fx+1D．函数y=fx的定义域为−8,3，则函数y=f【答案】BD【详解】对于A，若fx=1对于B，函数f2=loga2−1对于C，令t=x+1，又x≥0，则t≥1即则函