2027届新高考数学精准突破复习函数的单调性与最大(小)值

2027届新高考数学精准突破复习函数的单调性与最大(小)值

知识诊断自测011.函数的单调性(1)单调函数的定义

增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I当x1<x2时，都有____________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1<x2时，都有____________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)

增函数减函数图象描述自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上__________或__________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间.单调递增单调递减区间I2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D，都有_________;(2)∃x0∈D，使得__________(1)∀x∈D，都有______________;(2)∃x0∈D，使得________________结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M常用结论与微点提醒

(1)错误，应对任意的x1<x2，都有f(x1)<f(x2)成立才可以.(2)错误，反例:f(x)＝x在[1，＋∞)上为增函数，但f(x)＝x的单调递增区间是(－∞，＋∞).诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编×1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数.(

)(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(

)×(3)错误，此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).√×

2.(人教A必修一P86T7改编)函数f(x)＝x2－1的单调递增区间是

.

函数f(x)＝x2－1是开口向上的二次函数，对称轴为x＝0，因此单调递增区间为[0，＋∞).[0，＋∞)

144.(苏教必修一P122T4改编)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是

.

[－1，1)

考点聚焦突破02

C

考点一函数单调性的判断

(－∞，－6]

感悟提升1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.(1)函数单调性的判断方法:①定义法;②图象法;③利用已知函数的单调性;④导数法.(2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.易错警示函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.

AC

(2)函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为

.

考点二利用定义证明函数的单调性

感悟提升

训练2已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证:f(x)是R上的增函数.设x1，x2∈R，且x1<x2，则x2－x1>0，即f(x2－x1)>1，所以f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)是R上的增函数.

D

考点三由单调性求参数的取值范围感悟提升利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.

B因为函数f(x)在R上单调递增，且当x<0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0;当x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增.若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.综上，实数a的取值范围是[－1，0].故选B.

[5，＋∞)

课时对点精练03

C

2.(2026·重庆诊断)函数f(x)＝x2－4|x|＋3的单调递减区间是(

)A.(－∞，－2) B.(－∞，－2)和(0，2)C.(－2，2) D.(－2，0)和(2，＋∞)B

3.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1在(2，6)上不单调，则a的取值范围是(

)A.(2，6)

B.(－∞，2]∪[6，＋∞)C.(4，12)

D.(－∞，4]∪[12，＋∞)C

B

C

6.已知函数f(x)在定义域[－9，9]上单调递增，则函数y＝f(x2)的单调递增区间是(

)A.[－9，9] B.[0，9]C.[－3，3] D.[0，3]D因为函数f(x)的定义域为[－9，9]，所以函数y＝f(x2)的定义域满足－9≤x2≤9，即x∈[－3，3].令t＝x2，所以t＝x2在x∈[0，3]上单调递增，在x∈[－3，0)上单调递减，又y＝f(x)在x∈[－3，3]上单调递增，所以函数y＝f(x2)的单调递增区间为[0，3].故选D.

A

ABC

二、多选题如图所示，由图象可知，函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞，－1]，故C正确;由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得f(x)的单调递增区间为(－∞，1]，故D错误.

CD

由题意，知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，①③④在(0，＋∞)上均为增函数.三、填空题①③④11.已知函数f(x)＝|x＋a|在区间(－∞，－1)上是单调函数，则实数a的取值范围是

.

(－∞，1]作出f(x)的图象如图所示，由图可知－a≥－1，即a≤1.12.柯西(Cauchy，1789—1857)是著名的法国数学家.我们把函数方程f(x＋y)＝f(x)＋f(y)称为柯西方程，满足该方程的函数f(x)称为“加性函数”.请写出一个在R上单调递减的加性函数

.

f(x)＝－x(答案不唯一)设f(x)＝－x，在R上单调递减.f(x＋y)＝－x－y，f(x)＝－x，f(y)＝－y，满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y).所以函数f(x)＝－x是在R上单调递减的加性函数.

f(x)，g(x)的图象如图所示.四、解答题由(1)及M(x)的定义得，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，所以当a≤0时，M(x)在(－∞，a]上单调递减;当0<a≤2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，a]上单调递增;当a>2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，在[2，a]上单调递减.(2)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，试判断M(x)在区间