2025-2026学年下学期河南名校高一数学联考试卷（含答案）

高一数学注意事项：1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足zi=−1+i，则A.1 B.−1C.i D.−2.已知A，B，C是同一平面内不同的三点，且AB→=2BC→A.13 B.C.2 D.33.已知一组数据5，9，3，x，4，7的极差为6，则A.x的最小值为1B.x的最小值为4C.x的最大值为9D.x的最大值为154.在正四面体A−BCD中，E，F，G分别为AB，AC，AD的中点，则异面直线EF与A.13 B.C.24 D.5.已知两个随机事件A，B相互独立，P(AA.0.68 B.0.76C.0.88 D.0.986.在∆ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c。若b=5，c=3A.(1,3) B.(2,3)C.(1,4) D.(2,4)7.已知球O与正四棱锥P−ABCD的四条侧棱和底面均相切，若PA=2BCA.8π3 C.4π3 8.已知O是∆ABC所在平面内一点，且OB→·(OB→−OA→)=1A.56π C.23π 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知向量a=(2,1)，bA.|B.若a∥bC.若a⊥bD.若2|a|=|10.已知a，b为异面直线，α，β为两个不同的平面，且a⊂α，A.对于任意一点O，都存在过点O的平面与a，b都平行B.对于任意一点O，都存在过点O的直线与a，b都垂直C.若a∥β，bD.若a⊥b11.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=4，AB=2，E，F分别为棱BA.2B.α截长方体ABCD−C.α截长方体ABCD−D.α与平面ABCD所成的锐二面角的正切值为5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某新能源科技公司研发团队共有36名成员，其中女性成员12人。现按比例采用分层随机抽样的方法抽取6人参加国际清洁能源峰会，则被选中的男性成员人数为

。13.已知复数z满足|z+3|=1，则|z14.若对任意的x∈A，都有1x∈A，则称A四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上一点，且AC=6，PA（1）求证：BC⊥（2）求点A到平面PBC的距离。16.（15分）在一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有3个红球（分别标有数字1，2，3），2个黄球（分别标有数字1，2），1个白球（标有数字1）。现从袋中随机一次性摸出3个小球，记事件A=“3个小球的颜色均不相同”，B=“取出的小球上的数字分别为1，2，3”，（1）求P(（2）判断事件A，B是否相互独立，并说明理由。17.(15分)某市组织数学建模大赛，从参加比赛的800名学生中随机抽取100名学生的成绩进行样本分析(满分为150分，按照[90，100)，[100，110)，…，[140，150]分成六组)，并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中a=2（1）求图中a的值，并估计样本数据的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（2）根据成绩，准备给成绩较高的15%的学生颁发一等奖，估计获得一等奖学生的最低分；(3)若落在[100，110)中的样本数据的平均数是105，方差是5，落在[110，120)中的样本数据的平均数是117，方差是2，求落在[100，120)中的样本数据的平均数x¯和方差s18.(17分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2csin(1)求C.（2）c=2(ⅰ)若△ABC的周长为4+2(ⅱ)若△ABC为锐角三角形，AE19.(17分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为梯形，BC∥AD，CD⊥AD，CD⊥AP，（1）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值.（2）若M为棱AP上一点，且BM∥（ⅰ）试确定点M的位置；（ⅱ）求平面PCD与平面PAB所成锐二面角的正弦值.高一数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.D3.C4.B5.C6.C7.A8.D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.ABC10.BC11.ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.413.214.72四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）因为点C在底面圆周上，AB是圆O的直径，所以∠ACB=90°，即因为PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥又PA∩AC=又PC⊂平面PAC，所以BC（2）方法一：如图，过点A作AH⊥由（1）知BC⊥平面PAC，所以BC又PC∩BC=在∆PAC中，PC由12·PC解得AH=245方法二：由题可得PC=PA2+AC2=82+62=10 （6分）设点A到平面PBC的距离为h，由题意知VP-ABC=VA-PBC，即13S∆ABC×PA=13S∆PBC×h， （9分）即13×1即点A到平面PBC的距离为245 (13分)16.不妨记标有数字1，2，3的3个红球分别为R1，R2，R3，标有数字1，2的2个黄球分别为Y1，Y2，标有数字1则一次性摸出3个小球的情形有(R1,R2,R3)，(R1,R2,Y1)，(R1,R2,Y2)，(R1,R2,W1)，(R1,R3,Y1)，(R1,R3,Y2)，(R1,R3,W1)，(R1,Y1,Y2)，(R1,Y1,W1)，(R1,Y2,W1)，(R2,R3,Y1)，(R2,R3,Y2)，(R2,R3,W1)，(R2,Y1,Y2)，(R2,Y1,W1)，(R2,Y2,W1)，(R3,Y1,Y2)，(R3,Y1,W1)，(R3,Y2,W1)，(Y1,Y2,W1)，即样本空间Ω包含的基本事件共有20个 （3分）（1）事件C包含的基本事件有(R1,R2,R3)，(R1,R所以P(C)=720 (6分)（2）事件A包含的基本事件有(R1,Y1,W1)，(R1,Y2,W1)，(R2,Y1,W1)，(R2,Y2,W1)，(R3,Y1,W1)，(R3,Y2,W1)，共有6个，所以P(A)=620=310 （9分）事件B包含的基本事件有(R1,R2,R3)，(R1,R3,Y2)，(R2,R3,Y1)，(R2,R3,Y2)，(R2,R3,W1)，(R3,Y1,Y2)，(R3,Y2,W1)，共有6个，所以P(B)=620=310， （11分）事件A∩B包含的基本事件为(R3,Y2,W1)，则P(A∩B)=P(AB)=120， （13分）而P(A)·P(B)=310×310=9100, (14分)所以P(AB)≠P(A)·P(B),故事件A，B不相互独立 (15分)17.（1）依题意可知，(0.005+2b又a=2b,解得a=0.020 (3分)估计样本数据的众数为125 (4分)（2）由（1）可知b=0.010，即成绩落在[140,150]中的频率为10成绩落在[130,140)中的频率为0.25，则获得一等奖学生的最低分应落在[130,140)中 （7分）设获得一等奖学生的最低分为x，则有0.025×(140−x解得x=138，即估计获得一等奖学生的最低分约为138分.…………（10分）（3）x¯s218.（1）2csinA+由正弦定理可得sinCsinA+又sinB=所以sinCsinA=因为A∈(0,π)所以sinC=3cosC又C∈(0,π)（2）（ⅰ）因为c=23，∆ABC的周长为4+2由余弦定理可得cos∠ACB=即(a+b所以∆ABC的面积为S则12所以CD=（ⅱ）因为AE→=EB→，所以E是则CE→又(a+b由正弦定理可得asinA所以a=4sinA，所以ab=4(3sin因为△ABC为锐角三角形，所以{0<A所以2A−所以ab∈(8,12]，所以CE→2∈(7,9]，则9.（1）因为CD⊥AD，CD⊥AP，AD∩AP=A，所以CD⊥平面PAD，…………………………（2分）又CD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAD.………………（3分）如图1，取AD的中点E，连接PE，CE，则PE⊥AD，又平面ABCD∩平面PAD=AD，所以PE⊥平面ABCD，所以∠PCE即为直线PC与平面ABCD所成的角，…………………（5分）因为BC=1，AD=3，CD=2，所以CE=CD2+则sin∠即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为339（2）（ⅰ）M为棱AP上靠近点P的一个三等分点.证明：如图2，过点M作MN∥AD交PD于点N，连接CN，因为BC∥AD，所以MN∥BC，又BM∥平面PCD，所以BM∥CN，所以四边形BCNM为平行四边形，MN=BC=1，故M为棱AP上靠近点P的一个三等分点时满足题意 （10分）（ⅱ）如图2，过点M作MO∥PD交AD于点O，连接则OD=PM=1，AO又BO⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以BO∥同理可证MO∥平面PCD又BO∩MO=O,所以平面BOM∥平面PCD (12分)过点A作AH⊥MO于点