2025-2026学年下学期河南名校联盟高二数学联考试卷（含答案）

高二数学试题注意事项：1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设复数z=1+3i1−i，其共轭复数为zA.2 B.2C.2 D.262.已知a、b∈R，则“a>A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要3.已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从点A出发，点P沿着直线l向右、点Q沿着圆周按逆时针以相同的速率运动.连接OA，OQ，OP，OP与圆O交于点B，如图所示，记图中两个阴影部分的面积分别为S1，S2.当点Q运动到点A时，点P也停止运动，在这个过程中，S1，S

A.S1B.SC.SD.先S1<S24.我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程f(x)=f'(x)的实数根x叫做函数f(x)的“躺平点”．若函数g(x)=ex+x+2，h(x)=A.a<c<C.a<b<5.已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，a4=10，S6A.−5,−103 C.−103,−6.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，F1，F2分别为左、右焦点，过F1且倾斜角为60°的直线A．3 B．1+3C．2+3 D．7.设随机变量X的分布列为P(X=k)=ak，k=1，2，A.数列{aB.PC.数列1anan+1D.E8.已知函数f(x)=sinx，将f(x)图象上点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再将所得图象向右平移π12个单位长度，得到函数g(x)的图象.若A．π4,π3C．π4,π3二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.下列选项中说法正确的是（

）A．函数f(x)=B．幂函数f(x)=mxC．函数y=f(x)的定义域为[1,2]，则函数D．若函数f(x)=lg(ax10.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，E，A．BB．三棱柱ABC−AC．若α交B1C1于M，则MD．α将三棱柱ABC−A11.如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第n行的第r个数可以表示为Cn−1r−1(们开展了数学探究，则下列命题正确的有（

）

A．第2026行共有2026个数B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为CC．第48行的所有数字之和被7除的余数为1D．去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则此数列前135项的和为2三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．若直线y=kx(k≠0)13．若α∈0,π2，tan14．某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”、“复变函数”、“微分几何”、“数值分析”、“拓扑学”五门选修学科，要求学院每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将五门选修学科选完，则每位同学的不同选修方式有

种．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）一个袋中装有6个同样大小的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从袋中随机取出3个小球，用X表示取出的3个小球中最大编号和最小编号的差．（1）求P(（2）求随机变量X的分布列和数学期望．16．（15分）在∆ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3（1）求角A；（2）D为∆ABC外一点，且与点B位于直线AC的同侧，∠ACD=5π6，CD=117.（15分）在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥AA1，AD⊥BC（1）证明：AC1∥（2）线段A1C1上是否存在一点M，使二面角M−AD18．（17分）已知抛物线C：y2=2px(p>0)与双曲线x2（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l与抛物线C交于A(x1,y1)，B（i）若|AB|=3，且AB的中点为Q，求Q到（ii）若已知直线l：y=nx−1(n∈ℕ∗)，且|FA19．（17分）已知函数f(x)=4x（1）求f(x（2）证明：∀x∈0,（3）设g(x)=lnx+sinx，若存在高二数学参考答案A复数z=1+3i1−i=(1+3A当a>b>2时，a−2>b−2>0，即a−2>|b−2|，所以，“a>b>2”⇒“a−2>|b−2|”，若a−2>|b.3.A解：因为直线l与圆O相切于点A，所以OA⊥AP，所以扇形AOQ的面积S扇形AOQ=12AQ⏜·r=1Ag'(x)=ex+1，则g(x)=g'(x)⇒ex+x+2=ex+1⇒x=−1，即a=−1，H(x)=1x5.A因为S6是{Sn}中的唯一最大项，所以a6>0且a7<0，即a4+2d6.C因为直线l的∠PF1F2=π3，由角平分线性质定理可知|PF1||F1F2|=|PQ||7.D因为P(X=k)=P(X≤k)=P(X≤k−1)+P(X=k)，代入得k+12ak=k2ak−1+ak，化简得8.B将f(x)图象上点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再将所得图象向右平移π12个单位长度，可得：g(x)=sin2x−π6，当α∈−5π12,−π4，可得2α−π69.BCD对A，函数f(x)=log2(x2−2x)，x2−2x>0，解得x<0或x>2。因为复合函数同增异减，外层y=log2t是增函数，内层t=x2−2x减区间为(−∞,1)，结合定义域得f(x)的单调减区间为(−∞,0)，不是(−∞,1)，因此A错误；对B，根据幂函数定义，形如y=xα的函数是幂函数，因此系数m=1，因为函数过1当a≠0时，真数为二次函数，需满足开口向上a>0，且判别式Δ=25−16a≥0综上a的取值范围是0,2510.BD以C为原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，A1(2,0,2)对于选项A：BC1→=(0,−2,2)，AB→=(−2,2,1)，则由{n⋅AB→=0n⋅AF→=0，即{−2法向量.因为BC1→·n对于选项B：直三棱柱ABC−A1B1可补为棱长为2的正方体，设外接球的半径为R，则外接球直径等于正方体体对角线，即2R=22+22(0,1,2)，AM→=(−2,1,2)，且A，E，F，M四点共面，则∃λ(−2,1,2)=λ(−1,0,2)+μ(−2,2,1)，所以{−2=−错误；对于选项D：设α与B1C1交点M(0,a(−2,a,2)=λ(−1,0,2)+μ(−2,2,1)，所以三棱柱总体积V总=1A−对四棱锥A−A1B1MF，顶点A(2,0,0)，底面四边形顶点A底面四边形面积SA2B2MF=SA2所以VA−A2MFB1(0,2,2)，M(0,底面三角形面积S∆B1BM=12×2所以体积较小部分的体积为89+29=11．BCD对于A，第2026行共有2027个数，故A错误，对于B，由题意可得C33+对于C，第48行的所有数字之和为C=1+7C16170+C之和被7除的余数为1，C正确，对于D，第n行的和为Cn0+Cn1+为2n−2，第0行为1，故前n行中去除为1的项的和为前17行中去除为1的项的和为218−36，去除所有为的每一行的个数为0，1，2，3，4，……，可以看成一个首项为0，公差为1的等差数列，前n行共有n(n−1)17×162因此前17行中，去掉为1的项，共有136项，且第17行中，去掉为1的项后，最后一项为C17则此数列前135项的和为S1712．155，1515设切点为(m,则{m>06m513．1515由tan2α=cosα2−sinα∴cosα≠0，则2sinα(2−sinα∴tanα14．210由题意可知三年修完5门学科，则每位同学每年所修课程数为3，2，0或3，1，1或1，2，2，1.将5门学科分成数量为3，2，0的三组共有C53C22种不同方式，再将这三组课程分配到三个学年，共有A2.将5门学科分成数量为3，1，1的三组共有C53C21C11A22所以每位同学的不同选修方式有60+60+90=210种．15．（1）15（2）分布列见解析，7（1）当X=5另一个为2或3或4或5，可得P(（2）随机变量X的取值分别为2，3，4，5，有P(X=2)=4C随机变量X的分布列为：X2345P1331则E(16．（1）A=π（1）解：因为3bsinA3sinCsinA−sinAcosC=2sinC−sinB，3所以3sinA+cosA=2，即sinA+π（2）解：因为∠ACD=5π6，b=3，CD=1，所以在∆ACD中，AD2=AC2sin∠BAD所以S17．（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.（1）法一：如图，连接A1C，交AC1于F，取B1C中点∵E，F为中点，∴EF∥A又∵AD∥A1B1且AD=12AAC1∥ED，∵ED⊂平面CDB1，A法二：如图，连接BC1，交B1C于E，连接ED．∵D，E分别为AB，BC1中点，∴DE∥AC1，∵DE（2）∵四边形ABB1A1为菱形，∴AA1=AB，又∵∠A1AB=60°，∴∆AA1B为等边三角形，∵D为AB∴A1D⊥AC，又∵AC⊥A1A，A1A如图，以D为原点，在平面ABC内过点D作AC的平行线为x轴，DB所在直线为y轴，DA1所在直线为得A1(0,0,23)，B(0,2,0)，B1(0,4,23)，A(0,−2,0)，C(4,−2,0)∵λA1C1→=(4λ,0,0)，∴M(4λ,0,23)，设平面MAD法向量m而设平面ADC法向量n→则|cos⟨m→，n→⟩|=|m→·n→||m→||18.（1）y2=4x（1）双曲线x29−y212=1中，a=3，b=23，渐近线方程为y=±233x，联立渐近线与抛物线y（2）（i）设直线l:x=my+t，联立y2弦长|AB|=1+m2·(y1+y2)xQ=m2+916(1+m2)=(1+m2)+916(1+m（ii）因为|FA|+|FB当n≥2时，4所以S=2n+8−4n<2n+8，即Sn19．（1）