2025-2026学年下学期湖南师大附中高一数学2026年6月阶段检测试卷（含答案）

湖南师范大学附属中学2025－2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题★祝大家学习生活愉快★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求1.若(1−2i)(aA.−3 B.−2C.2 D.32.如图，正方形O'

A.42 B.82C.22 D.3.已知一组数据x1，x2，⋯，xn的平均数为x¯，方差为s2，则数据3x1A.3x¯+2，9s2 C.3x¯，9s2+44.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥A.存在无数条直线与α，β都平行B.存在无数个平面与α，β都垂直C.存在两条平行直线a，b，a⊆α，b⊆βD.存在两条异面直线a，b，a⊆α，b⊆β5.从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于10的概率为A.15 B.3C.25 D.6.如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段AB=8，C，O，D为线段AB

A.733π B.C.533π7.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)+f(−x)=0，f(=A.1 B.2 C.3 D.48.已知平面向量a，b，c，且|c|=2，向量a与c所成的角为60°，且|a|2tA.43 B.2C.45 D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知事件A，B满足P(A)=0.4A.若A与B互斥，则P(B.若B⊆AC.若A与B相互独立，则P(D.若P(A∪B)=0.5210.已知函数f(xA.f(B.fC.不等式f(x)≥D.将f(x)的图象向右平移−711.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等。“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现。如图是一个圆柱容球，O1，O2为圆柱下、上底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O1

A.球与圆柱的表面积之比为2:3B.平面DEF截得球的截面面积最小值为16C.四面体CDEF的体积的取值范围为0,D.若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE+PF三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知向量a=(3,1)，b=(1,2)，c=ka−13.某校组织了“人工智能知识”测试，现随机抽取了100名学生的测试成绩(单位：分)，这100名学生的成绩都分布在区间[40，100]内，绘制成如图所示的频率分布直方图.则这100名学生成绩的61%分位数为____.14.在∆ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2B=sinA·sinC四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.已知集合A={x∣|（1）若a=2，求A，B及A（2）若“x∈B”是“x∈16.已知奇函数f(x)=a（1）求实数a，b的值；（2）当x∈[2,3]时，2+mf(17.在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sinC+3（1）求角B；（2）若∆ABC的面积为34，求（3）若∆ABC为锐角三角形，求∆18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PB=PD，PC=3，PA⊥PC，M，N分别为PA，BC的中点，底面四边形ABCD是边长为2的菱形且∠DAB=60°（1）求证：MN∥平面PCD（2）求证：平面PAC⊥平面ABCD（3）求二面角B−19.设P，Q是两个非空数集，若定义在ℝ上的函数f(x)对任意a,b∈ℝ，当a−b∈（1）设P=[2,3]，Q=[9,18]，（i）证明：当k=6时，f(x)是P（ii）若f(x)是P到Q的双界函数，求实数（2）若P={3}，Q={4}，f(x)是P到Q的双界函数，当x∈[0,3)时，f(（3）设集合A=B=n·12m∣其中m∈ℝ,n∈参考答案1.D(1−2i由(1−2i)(a+6i2.B在直观图中，O'A'=2，O'B'=22所以原图形的面积为OA×3.A因为一组数据x1，x2，⋯，xn的平均数为x所以数据3x1+2，3x2+2，⋯，4.DA，如图，作长方体ABCD−A1B1C1D1因为α∩β=DC，且A1B1∥DC显然可作无数条与A1B1平行且不在平面α，β内的直线，即存在无数条直线与α，β都平行，但αB，因为平面BCC1B1与平面α，β均垂直，且显然可作无数个与平面BCC1B1平行的平面，即存在无数个平面与C，若α与β相交，可在α内取a平行于交线，在β内取b也平行于交线，满足a∥b，a∥β，D，异面直线a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，可在可得a'，b是β内的相交直线，a，b'是根据面面平行判定定理可推出α∥5.C从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种情况，其中三个数之积为偶数且它们之和大于等于10的有(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共4种情况，所以这三个数之积为偶数且它们之和大于等于10的概率为410=26.A由圆台的侧面展开图可求得圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，从而圆台的高为3，所以圆台的体积V=7.B因为函数f(x+1)为偶函数，所以f(x又因为f(−x)=−f(x)，所以所以函数f(x由f(x)+f(−x)=0中，令所以f(2025)=f(4×506+1)=f(1)=2，f(2028)=f(4×507)=f(0)=0，故f(2025)−f(2028)=2−0=2.8.B由题意得，a·c=|a|·|即a2+4t令f(t)=16t则Δ=16|a|又|2|2a−c|=49.CD对于A，若A与B互斥，则P(对于B，若B⊆A，则对于C，若A与B相互独立，则A¯与B所以P(对于D，P(A∪所以P(AB)=P(10.AC对于A，由图象可知，最小正周期T=4(11π因为图象过点(5π4,3)，所以3=3sin所以f(x)=3sin对于B，f(3π4对于C，令f(x)≥32，则sin(所以不等式f(x)≥32的解集为6kπ对于D，将f(x)的图象向右平移π12个单位长度后，得到y=3sin此时函数y=3sin111.ABD对于A，由球的半径为r，可知圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2r则球的表面积为4πr2，圆柱的表面积为2对于B，矩形ABCD所在截面如图所示，过点O作OG⊥DO1于点设点O到平面DEF的距离为d1，平面DEF截得球的截面圆的半径为r则d1≤OG，r12对于C，由题可知四面体CDEF的体积等于2VE−DCO1，点又SDCO1对于D，由题可知点P在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P在底面的投影为P'，则PP'=2，PE=P'E2+P'F所以(PE所以PE+12.0因为向量a=(3,1)，b=(1,2)，所以又b∥c，则2×(3k13.82设这100名学生成绩的61%分位数为x，因为前4组频率之和为10×(0.005+0.01+0.015+0.025)=0.55<0.61，前5组频率之和为10×(0.005+0.01+0.015+0.025+0.03)=0.85>0.61，所以这100名学生成绩的61%分位数落在第5组[80,90)内，所以x−8010=14.−22在∆ABC中，由正弦定理及sin2B由余弦定理，得cosB=a2+c记m=2sinB+因为0<B⩽π3，所以则(x+1+sin即x2+2m化简得t2m2⩽1，即t2可得t2⩽1所以实数t的取值范围为−215.（1）当a=2时，由|x−2|<2，解得0<由x−1x+2⩽0⇒{(所以∁RB=(−∞,−2]∪(1,+∞)（2）由|x−a|<2，解得又“x∈B”是“x∈已知B=(−2,1]，可得{a−2⩽−2所以实数a的取值范围为(−1,0]。16.（1）因为函数f(x)=a所以f(−x)=−f(x所以a−2x+12因为函数的定义域为[−a−2,b]，则所以a=2，b（2）由（1）可知f(x当x∈[2,3]时，2+mf(可得−m<(2x所以，−m令t=2x−1，令g(t)=t2+3所以g(t)max=g(3)=5则实数m的取值范围为(−5,+∞)。17.（1）由正弦定理得a=由sinC+3cosC=a即sinBsinC+因为sinA=所以sinBsinC+所以sinBsinC=3cosBsinC。因为C所以sinB=3cosB因为B∈(0,π)（2）由余弦定理得b2=a2+又∆ABC的面积为S=1所以(a+c（3）由（1）知B=π3，b所以a=2sinA，c=由{0<A<所以2A+π3∈所以∆ABC面积的取值范围是318.（1）取PD的中点E，连接ME，CE，如图。∵M为PA∴ME=1∵N为BC的中点且四边形ABCD∴NC∥AD∴NC∥ME∴四边形MNCE为平行四边形，∴MN又∵MN⊄平面PCD，CE⊂∴MN∥（2）如图，连接PO，∵PB=PD，O∴PO由菱形ABCD知AC⊥BD，又PO∩AC=O，∴BD⊥平面∵BD⊂平面∴平面PAC⊥平面（3）如图，过点B作BF⊥PC于点F，连接DF∵BD⊥平面PAC，PC⊂∴∵BF⊥PC，BD，BF⊂∴PC⊥平面∴PC⊥∴∠BFD为二面角B∵PC⊥OF，PA⊥PC，PC∴OF∵O是AC∴F是PC又∵BF∴PB=BC∴∵F是PC的中点，又DF∴DF∴cos∴二面角B−PC.（1）（ⅰ）当k=6时，f(x)=6x当a−b∈P，即2⩽a显然[12,18]⊆[9,18]，因此f(a所以当k=6时，f(x)是P（ⅱ）f(a)−f(b)=k(a则当a−b∈P，即由9⩽f(a)−f(b)⩽18，得{k由k⩾9a−b恒成立，得k⩾9所以实数k的取值范围为92（2）依题意，当a−b=3时，f(a)−f(而函数y=x+ex在[0,3)上单调递增，则当k当x∈[3k,3k+3)当x∈[2