安徽合肥市第四十五中学等校2025－2026学年八年级第二学期期末测试数学试题卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页安徽合肥市第四十五中学等校2025－2026学年八年级第二学期期末测试数学试题卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列计算正确的是（）A. B. C. D.2.下列等式正确的是()A. B. C. D.3.函数的自变量x的取值范围是（）A. B. C. D.4.下列式子中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.5.如图，在▱ABCD中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AD，AB于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G.作射线AG交DC于点H，若CH=2，BC=3.则AB=（）A.4 B.4.5 C.5 D.66.如图，在矩形中，，点和是边上的两点，连接、，将和沿、折叠后，点和点重合于点，则的长是（

）

A.3 B.5 C.6 D.87.如图，在▱ABCD中，F是BC边上一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAF.若BF=6，CF=2，则AF的长为（）A.8

B.10

C.12

D.148.已知一次函数的图象与直线y＝-x+1平行，且过点(8，2)，那么此一次函数的解析式为（

）A.y＝-x-2 B.y＝-x-6 C.y＝-x+10 D.y＝-x-19.如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是(

)

A. B. C. D.10.如图1，在面积为4的正方形中，E为边的中点，动点F从点D出发，在正方形的边上沿匀速运动，运动到点B时停止．设点F的运动路程为x，线段的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点P的坐标为（

）

A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，共21分。11.如图，在中，，点在边上，且，过点作，交的延长线于点，若，则的长为

．

12.如图，在中，，过点作于点，，．

(1)的长为

．(2)点在线段上，过点作于点，若，则的长为

．13.如图，在▱ABCD中，AB＝9，AD＝6，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F．

(1)EF的长为

．(2)把“问题”中的条件“AB＝9，AD＝6”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值为

．14.如图，矩形中，，．点N是边上一动点，将沿折叠，使点B落在点M处，延长交矩形的一边与点E，

(1)当为的角平分线时，的度数为

；(2)当点E为中点时，则的长为

．三、解答题：本题共9小题，共99分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知平行四边形中，，，，过点作交边于点．

(1)如图1，为边上一点，当时，求线段的长；(2)如图2，为平行四边形所在平面内一点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，为线段的中点，连接，，探究并证明线段和之间的数量关系；(3)如图3，为直线上一动点，连接并将绕点逆时针旋转到，连接，，当取得最小值时，过点作于点，将线段在直线上平移得到，连接，，直接写出的最小值．16.(本小题8分)下面是小乐设计的“利用已知矩形作一个菱形和一个平行四边形”的尺规作图过程．已知：矩形．求作：菱形，平行四边形．作法：①过点作射线交线段于点；②以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点；③分别以点、为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点（不同于点），连接、．则四边形即为所求作的菱形．连接、，则四边形即为所求作的平行四边形．

(1)请你用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成以下证明：，四边形是菱形．（①

）（填推理的依据）四边形为矩形，，．四边形是菱形，，，，，四边形是平行四边形．（②

）（填推理的依据）17.(本小题12分)

你能找出规律吗(1)计算：=

，=

.=

，=

.(2)请按找到的规律计算：①；②；(3)已知：a=，b=，则=

(用含a、b的式子表示).18.(本小题12分)如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点(P与B、C不重合)，连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．

(1)试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；(2)当AB=3，BP=2PC，求QM的长；(3)当BP=m，PC=n时，求AM的长．19.(本小题12分)【问题探究】如图，正方形中，是对角线，现有较大的直角三角板，一边始终经过点．直角顶点在射线上移动，另一边交于．

(1)如图1，当点在边上时，探究与所满足的数量关系；小明同学探究此问题的方法是：过点作于点，于点，根据正方形的性质和角平分线的性质很容易证明，得出结论，请你帮他写出完整的证明过程(2)【类比思考】如图2，当点落在的延长线上时，猜想并写出与满足的数量关系，并证明你的猜想．(3)【拓展应用】如图3，过点作于点，若正方形的边长为2，则在点运动的过程中，发现的长度不发生变化，请直接写出这个不变的值为

．20.(本小题8分)根据所给素材，完成相应任务．玩转三角尺活动背景在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角尺，如图1所示．其中，为直角，，把两直角顶点重合（点A与点F重合于点O），旋转三角尺进行探究活动素材1小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上．素材2小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形的对边．素材3李老师提出问题：如图4，在上述操作过程（），与的面积比是否为定值？解决问题任务1（1）根据图2，直接写出线段的长为______．任务2（2）根据图3帮助小聪同学写出的推导过程．任务3（3）请你解答李老师的问题，并说明理由．21.(本小题12分)【问题提出】如图，在中，，，是的中线，是边上一点，连接，以为边作等边，且点在的内部，连接，．

(1)求证：；(2)试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；(3)【问题解决】如图，是某小区的健身场地，，，为了让住户们有更多的健身空间，物业计划对进行扩建，以小路为边作等边为儿童活动区，以为边作等边为成人健身区，沿线段铺设一条健身步道，步道与小路相交于点，且小路米，现需要翻修小路，求小路的长．

22.(本小题8分)如图，平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴上，，将矩形沿直线折叠使点与点重合，直线与、、的交点分别为，，．

(1)直接写出点和点的坐标为：

；

；(2)若点在轴上，点为平面直角坐标系中任意一点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，求满足上述条件的点的坐标．23.(本小题15分)在等腰中，，，点D为上一点，连接．

(1)如图1，若平分，，求的长；(2)如图2，过点D作，交于点E，交延长线于点F，连接，，用等式表示线段，的数量关系并证明；(3)如图3，，P为上的点，且，连接，当取最小值时，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，在的延长线上取一点M，且，连接，若，为锐角，请直接写出的值．

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】A

10.【答案】D

11.【答案】

12.【答案】【小题1】

【小题2】

13.【答案】【小题1】3

【小题2】2或或

14.【答案】【小题1】

【小题2】

15.【答案】【小题1】解：如图所示，过点作于点，∵，，∴，是等腰直角三角形，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴在中，，∴；【小题2】解：，理由如下：如图，延长到点，使，连接，，延长交的延长线于点，在和中，，∴，∴，，∴，∴，由旋转知，，∴，∴，又∵，∴，即，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴；【小题3】解：取中点，将绕点逆时针旋转，得，连接，，由旋转得，，，∴，∴，∴，∵平行四边形中，，，为中点，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴点、、共线，∵，∴，∴点的轨迹为过线段中点且平行于的直线上，如图，过点作直线的对称点，连接，由对称得，∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时点位置如图，过点作于点，过点作于点，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，由对称得，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，∵，，∴，∴，，作点关于的对称点，在上取点，使，设交于点，过点作于点，∴，，，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，由两点之间最短距离得，当且仅当、、依次共线时取得最小值，由（1）知与间的距离为，∴，∴，∵，平行四边形中，，∴，，∴四边形是矩形，∴，∴，∴，∴的最小值为．

16.【答案】【小题1】解：图形如图所示：【小题2】四条边相等的四边形是菱形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

17.【答案】【小题1】662020【小题2】由（1）中的计算结果可知：当时，，∴①；②；【小题3】​​​​​​​

18.【答案】【小题1】解：AP=BQ．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，∴∠ABQ+∠CBQ=90°．∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA=90°，∴∠PAB=∠CBQ．在△PBA和△QCB中，，∴△PBA≌△QCB，∴AP=BQ；【小题2】过点Q作QH⊥AB于H，如图．∵四边形ABCD是正方形，∴QH=BC=AB=3．∵BP=2PC，∴BP=2，PC=1，∴BQ=AP===，∴BH===2．∵四边形ABCD是正方形，∴DC//AB，∴∠CQB=∠QBA．由折叠可得∠C′QB=∠CQB，∴∠QBA=∠C′QB，∴MQ=MB．设QM=x，则有MB=x，MH=x-2．在Rt△MHQ中，根据勾股定理可得x2=(x-2)2+32，解得x=．∴QM的长为；【小题3】过点Q作QH⊥AB于H，如图．∵四边形ABCD是正方形，BP=m，PC=n，∴QH=BC=AB=m+n．∴BQ2=AP2=AB2+PB2，∴BH2=BQ2-QH2=AB2+PB2-AB2=PB2，∴BH=PB=m．设QM=x，则有MB=QM=x，MH=x-m．在Rt△MHQ中，根据勾股定理可得x2=(x-m)2+(m+n)2，解得x=m+n+，∴AM=MB-AB=m+n+-m-n=．∴AM的长为．

19.【答案】【小题1】证明：过P作，如图所示：∵P，C为正方形对角线上的点，∴平分，，∴，∴四边形为正方形，∵，∴，在和中，∴，∴．【小题2】解：，理由如下，过P作，∴∵P，C为正方形对角线上的点，∴平分，，∴，∴四边形为正方形，∵，∴，∴，∴．【小题3】​​​​​​​

20.【答案】解：（）在中，，，，∴，在中，，，，∴，∴，∴，∴，故答案为：；（）∵（已知），（已知），∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴（）与的面积比是定值，理由：作于，交延长线于，如图，

​​​​​​​∵，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴与的面积比是定值．

21.【答案】【小题1】证明：∵是的中线，∴，∵，，∴，，∴，∴是等边三角形，∴；【小题2】解：，理由，∵，，∴，∵是等边三角形，∴，，∴，∴，∴，由（）得，，∴，∴，∵，∴是的垂直平分线，∴；【小题3】解：∵是等边三角形，∴∵，∴，∴，如图，过点作中线，∵是等边三角形，点是中点，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，同理可得：，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∵，，∴，∴米，∵是中点，∴（米），∴米，∴小路的长为米．

22.【答案】【小题1】

​​​​​​​【小题2】解：∵，，∴，①如图所示，当，为菱形的邻边时，，∵轴，，∴轴，当点在位置，当点在位置时，，∴；当点在位置，当点在位置时，，∴；②如图所示，当，为菱形的邻边时，由，点得点在轴负半轴上，，∴；③如图所示，当，为菱形的邻边时，，，，设，则，在中，由勾股定理，得，∴，解得：，∴，∴；综上的坐标为：，，，．

23.【答案】【小题1】解：过点D作，交于点H．∵在等