高中数学解题思想方法技巧：瞄准“0”定单调性- （解答题技法） 解析版

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瞄准“0”定单调性（解答题技法）瞄准“0”定单调性，速破函数最值或范围是指通过判断函数的导数大于0或小于0，得出函数的单调性，进而求出函数的最值或范围．这种方法几乎适用于所有类型的函数（包括含参与不含参函数）的最值或范围问题（只要易于求导）．非二次型导函数求出函数的导函数，化简后的导函数不是二次函数或者分子不是二次函数，这样的导函数我们将称之为非二次型导函数.对于非二次型导函数，我们可以从函数的平移与伸缩的角度进行解读，由此确定导函数的零点是否存在.【母题1】（24-25高三·山东聊城·期末）设函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性．【解析】（1）当时，，则，则曲线在点处的切线斜率为，因为，所以曲线在点处的切线方程为．（2）【先求定义域，再求导】的定义域为．当时，，令，则在上单调递减，在上单调递增，因此，的最小值为．【瞄准“0”：瞄准最小值，得到，分，讨论导数符号】当时，，则，此时，在上单调递增．当时，令，得．当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增．综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减．【母题2】［2025福建福州7月联考，17分］已知函数．（1）当时，求函数的最小值．（2）若，求a的取值范围．解析（1）由题意知，当时，．【求定义域】求函数的单调区间，要在函数的定义域内讨论，为了加快解题速度，不用写“函数的定义域为”，直接在函数解析式后面加括号，指出自变量的范围即可则．【定单调性】接下未定单调性，发现一阶导的正负不易判断，需构造函数，对新构造的函数再次求导令，则．令，则，则在上单调递增．，，所以，当且仅当时取等号，所以，所以在上单调递增，且．当时，；当时，．【瞄准“0”】瞄准“”，讨论的单调性，所在在上单调递减，在上单调递增，所以，即的最小值为．（2）等价于，即．令，则．令，则，所以当时，，当时，，所以，因为，，，所以在上存在唯一的使得，在上存在唯一的使得，故要满足题意，有或恒成立．由，得．①若，则，单调递减．当时，；当时，．不满足题意．②若，则在上单调递减，在上单调递增，当时，，所以不存在恒成立的情形，故，即，得．综上所述，a的取值范围为．【母题3】［2025浙江浙东联盟8月联考，17分］设函数，其中．（1）求的单调区间．（2）若存在极值点，且，其中，求证：．（3）若，函数，求在上的最大值．解析（1），，①当时，恒成立，在R上单调递增．②当时，在，上单调递增，在上单调递减．综上，当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为．（2）由（1）知，，即，即，即，即，又，所以．（3）当时，，，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．当时，，，所以在上单调递增［瞄准“0”：瞄准“”，得到的单调性，分类讨论求解最大值］．①当即时，在上单调递增，；②当即时，在上单调递增，在上单调递减，在上，；③当即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由于，，当即时，在上，，当即时，在上，．综上，在上，【母题4】（24-25高三·北京·开学考试）已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数是增函数，求实数a的取值范围；（3）若，求的最大值.【解析】（1）当时，则，，可得，，即切点坐标为，切线斜率为0，所以曲线在处的切线方程为.（2）由题意得，且在定义域内恒成立，则，【转化问题，分离参数使问题“去参数化”】令，显然时，，即此时单调递减，时，，即此时单调递增，所以，则，实数a的取值范围为.（3）若，则，令，则，【瞄准“0”，由对参数进行分类讨论】若，则，此时在R上单调递增，当时，，不符合题意；当，则时，，此时单调递增，时，，此时单调递减，即，即，所以，令，易知当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，即，所以，当且仅当时，，所以的最大值为.（24-25高三·广东湛江·期末）1．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性.【答案】(1)（或）(2)答案见解析【分析】（1）把代入得，利用导数的几何意义求出切线方程；（2）求出函数的导数，再分类讨论求出函数的单调性.【详解】（1）当时，，则，从而，故所求切线方程为，即（或）.（2）由题意可得的定义域为.当，即时，由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增.当，即时，由，得或，由，得，则在上单调递减，在和上单调递增.当，即时，恒成立，则在上单调递增.当，即时，由，得或，由，得，则在上单调递减，在和上单调递增.综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增.（24-25高三·山西晋城·期末）2．设函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，讨论的单调性．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式求出切线方程；（2）求的导数，根据的范围讨论导数的正负，从而得到的单调区间.【详解】（1）当时，，则，则曲线在点处的切线斜率为，因为，所以曲线在点处的切线方程为．（2）的定义域为．当时，．令，则在上单调递减，在上单调递增，因此，的最小值为当时，则，此时，在上单调递增，当时，令，得．当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减．（24-25高三·甘肃白银·阶段练习）3．已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为(2)【分析】（1）把代入，利用导数，结合不等式的性质求出函数的单调区间.（2）利用特值判断可得，将函数视为函数，证明即可.【详解】（1）当时，函数的定义域为R，求导得，，当时，，则，当时，，当时，，则当时，，函数在上递增，在上递减，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）若，恒成立，则，且，因此，下面证当时，，令，，则问题转化为证，由在上单调递增，得，令，，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，因此，则，对恒成立，所以实数a的取值范围是.（24-25高三·河北邢台·期末）4．已知函数．(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；(2)若在上单调递增，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由条件可得切线的斜率为，利用导数的几何意义列方程求；（2）条件可转化为在上恒成立，再分离变量，结合基本不等式求结论.【详解】（1）设曲线在点处的切线的斜率，直线的斜率为，因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，即，又的导函数，所以，所以，所以，（2）由若在上单调递增，可得在上恒成立，由（1）可得在上恒成立，所以在上恒成立，所以，其中，又当时，，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以的取值范围为.（24-25高三·辽宁葫芦岛·期末）5．已知函数．(1)当时，求的单调递增区间；(2)若有两个极值点．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：．【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析【分析】（1）求导，令导函数大于0，可求函数的增区间.（2）（ⅰ）求导，结合换元法，把问题转化成二次函数有两个不等正根可求参数的取值范围.（ⅱ）利用（ⅰ）中的有关结论，把化成，设，问题转化成证明.利用导数，分析函数单调性，即可证明结论.【详解】（1）当时，，由，所以.故单调递增区间为.（2）（ⅰ），令，即令，，则是方程的两个正根，则，即，有，，即.所以的取值范围为：.（ⅱ）令则．令，则，则在上单调递减，又故存在，使，即，则当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减则，又，故即.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用换元的思想，利用换元转化为其他函数，利用导数，转化为隐零点问题求解.（24-25高三·吉林长春·开学考试）6．已知函数，.(1)求函数的单调区间；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)当时，函数在单调递减，当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增；(2)【分析】（1）对函数求导，讨论和两种情况导数的符号，进而可求函数的单调区间；（2）将已知条件转化为恒成立，构造函数，求出，转化为成立，然后构造函数，借助导数判断的单调性，从而得出满足条件的的取值范围.【详解】（1）因为函数，所以，当时，，所以函数在单调递减，当时，令，得，当时，，所以函数单调递减，当时，，所以函数单调递增，综上所述，当时，函数在单调递减，当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增；（2）若不等式恒成立，又则有恒成立设函数，则，当时，，函数在上单调递减，又，不合题意当时，令，解得当时，，所以函数单调递减，当时，，所以函数单调递增，所以，由恒成立，则成立，即成立令，则所以函数在上单调递增，又，，所以当时，成立.综上所述，实数的取值范围为【点睛】关键点：第（1）问的关键是分和讨论；第（2）问的关键是构造两个函数和，借助导数求出最值和单调性，即可得解.（24-25高三·黑龙江·期末）7．已知函数．(1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值；(2)讨论函数的单调性；(3)当时，令函数，证明：．【答案】(1)或(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义求解；（2）利用导数判断函数单调性；（3）利用导数证明一些不等式作为准备工作，然后根据已知条件得到的表达式，即可证明相应结论.【详解】（1）由于，故，解得或.（2）首先有.若，则在上递减；若，则对有，对有.所以在上递减，在上递增；若，则对有，对有.所以在上递减，在上递增.综上，当时，在上递减；当时，在上递减，在上递增；当时，在上递减，在上递增.（3）为使有意义，需要，下面的讨论默认为正数.先证明一些结论作为准备工作：①设，则对有，对有.所以在上递减，在上递增，从而，.②设，则.所以对有，对有.从而在上递减，在上递增，故.③设，则对有，对有.从而在上递减，在上递增，故.④由于，故，所以.由于，，故.所以，即，从而.将和结合，即得.最后，由于，故.所以.从而原命题得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构造的恰当的函数以证明相应不等式.（24-25高三·浙江宁波·期末）8．已知函数（）.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）令（），按的取值分类讨论，利用导数求的单调性，进而可得最值，只需即可.【详解】（1）当时，，，所以，又，所以，即，所以曲线在点处的切线方程为.（2）令（），则，（ⅰ）当时，，所以在上单调递增，但当时，，所以此时不满足题意；（ⅱ）当时，令解得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以只需，若，则显然成立；若，令，则，所以在上单调递减，又，所以；综上所述，.（2025·河南郑州·模拟预测）9．已知函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)证明：在上恒成立；(3)讨论方程在上的根的个数.【答案】(1)当时，单调递减；当时，单调递增(2)证明见解析(3)答案见解析【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断函数的单调性即可；（2）令，先利用导数证明恒成立，即可证明在上恒成立；（3）由（2）可知在上的根的个数即方程的根的个数，令，利用导数求的单调性进而得到的范围即可求解.【详解】（1）由题意当时，则，令解得，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．（2）先证明对任意，，令，，令解得，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以，即，故对任意成立，且当且仅当时取等号，所以，当且仅当时等号成立，所以在上恒成立．（3）由（2），在上恒成立，当且仅当时等号成立，也即的根为的根，下讨论方程的根的个数，化简得，令，则，令解得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，又，且当时，，时，，故当时，方程无实根；当时，方程有一个实根；当时，方程有两个实根；当时，方程有一个实根，综上所述当时，方程无实根；当时，方程有一个实根；当时，方程有两个实根；当时，方程有一个实根．（24-25高三·全国·开学考试）10．已知函数有三个零点.(1)求的取值范围；(2)证明:中任意两个之积的绝对值不小于1.【答案】(1)或.(2)证明见解析【分析】（1）先有三个解，构造函数令，再求导函数分讨论函数的单调性即可求参；（2）把证明函数的三