4.3 指数函数与对数函数的关系

4.3指数函数与对数函数的关系教案（含一题多解、技巧解题、高考分析及应用拓展）一、教学目标掌握反函数的定义及核心性质，明确指数函数y=ax（a>0，a≠1）与对数函数y=logax能够准确判断一个函数是否存在反函数，熟练掌握求简单函数反函数的步骤与方法。深刻理解互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称的性质，能结合图象解决相关问题。精通指数函数与对数函数反函数相关题目解题技巧，结合高考真题规律提升应试能力，培养数学抽象和逻辑推理能力。二、教学重难点（一）教学重点反函数的定义、性质及判定方法。指数函数与对数函数的反函数关系及图象特征。求函数反函数的步骤与高考常考题型的解题思路。（二）教学难点复杂函数反函数的存在性判断及求解。利用反函数图象对称性解决综合问题。高考中与反函数、指数函数、对数函数结合的综合应用问题建模与解答。三、教学过程（含例题、一题多解、技巧、高考分析）（一）知识回顾（5分钟）核心概念：反函数的定义：一般地，如果在函数y=fx中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y=fx的反函数，记作指数函数与对数函数的关系：y=ax（a>0，a≠1）与y=logax关键性质速记：定义域与值域关系：y=fx的定义域与y=f−1x的值域相同，图象对称性：互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称。单调性：单调函数一定存在反函数，且增函数的反函数仍是增函数，减函数的反函数仍是减函数。指数函数与对数函数性质对比：名称指数函数y=ax（a>0，对数函数y=logax（a>0定义域−∞0值域0−∞单调性a>1时为增函数；0<a<1时为减函数a>1时为增函数；0<a<1时为减函数联系图象关于直线y=x对称（二）考点考频及常考题型1.反函数的存在性判断（考频：10年8考，近5年高频覆盖）①考频分析基础必考点，多在选择题、填空题中出现，难度低-中档（分值2-3分）。核心考查函数反函数的存在条件，即函数是否为“一对一”对应（定义域中不同x对应值域中不同y）。②常考题型题型：存在性判断题（占比100%）示例：下列函数中，存在反函数的是（）A.fx=xB.fx=2C.fD.f答案：B解题核心：根据反函数存在的条件，单调函数或“一对一”对应函数存在反函数。A、C、D均为“多对一”函数，不存在反函数；B是指数函数，为增函数，存在反函数。2.求函数的反函数（考频：10年9考，近3年稳定考查）①考频分析核心基础考点，覆盖选择、填空、解答题，分值3-5分，难度中档。核心考查求反函数的基本步骤，常结合一次函数、指数函数、对数函数考查。②常考题型题型：解析式求解类（占比100%）示例：求函数y=3x+1答案：y=log3x−1解题核心：遵循“反解x→互换x与y→确定定义域”的步骤，先由y=3x+1得3x=y−13.反函数的图象与性质应用（考频：10年10考，近4年高频考查）①考频分析中档综合考点，多在选择题、填空题压轴或解答题基础问出现，分值3-6分，难度中档-高档。命题趋势：结合函数图象对称性、定义域值域关系、单调性考查，常与指数函数、对数函数综合。②常考题型题型：图象与性质综合题（占比100%）示例：若函数y=fx的反函数为y=f−1x，且A.1B.2C.3D.4答案：A解题核心：利用反函数性质，若fa=b，则f−1b=a。令log2x+3（三）经典例题解析（30分钟）例题1：反函数的存在性判断（基础题·一题多解）题目：判断下列函数是否存在反函数，若存在，说明理由；若不存在，举例说明。（1）fx=2x+1（x∈R）；（2）fx解法1：单调性判断法（常规法）步骤：a.分析（1）：fx=2x+1是一次函数，斜率k=2>0，在R上是增函数；根据“单调函数一定存在反函数”的性质，可知b.分析（2）：对fx=x2−2x进行配方，得fx=x−12−1；该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=1，在−∞1核心依据：单调函数的反函数存在性定理，以及反函数定义中“唯一x对应唯一y”的要求。解法2：定义验证法（拓展法）步骤：a.验证（1）：假设值域中任意一个y，由y=2x+1，解得x=y−12；对于任意给定的y，都有唯一的b.验证（2）：假设y=3，由x2−2x=3，即x2−2x−3=0，解得x=3或x=−1；存在两个不同的x对应同一个核心依据：直接根据反函数的定义，通过“给定y求x，判断x是否唯一”来验证。技巧解题：“单调优先，定义兜底”技巧技巧：判断反函数存在性时，优先判断函数是否单调（一次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数可直接根据单调性判断）；若函数不单调，再用定义验证，即找是否存在“多个x对应同一个y”的情况。适用场景：所有反函数存在性判断题目，高考选择、填空题速解。例题2：求函数的反函数（中档题·一题多解）题目：求函数y=2log3x+1解法1：常规步骤法步骤：a.反解x：由y=2log3x+1，移项得y−1=2log3b.互换x与y：将x和y互换，得到y=3c.确定定义域：原函数y=2log3x+1的值域为Rd.结论：反函数为y=3x−12核心依据：求反函数的“反解、互换、定域”三步法，严格遵循原函数与反函数的定义域、值域关系。解法2：整体换元法（拓展法）步骤：a.整体换元：令t=log3x（t∈R），则原函数可化为y=2t+1b.回代还原：将t=log3x回代，得logc.互换定域：互换x与y，结合原函数值域为R，得反函数y=3x−12核心依据：通过换元简化函数形式，降低反解难度，适用于含复合函数的反函数求解。技巧解题：“对数化指数，指数化对数”技巧技巧：求解指数函数、对数函数的反函数时，核心是利用“y=logax与x=ay适用场景：指数函数、对数函数及复合函数的反函数求解，高考解答题基础问。例题3：反函数图象对称性的应用（中档题·一题多解）题目：已知函数y=fx的图象过点23，且y=fx与y=f−1解法1：性质直接应用法（常规法）步骤：a.求f−13：根据反函数的性质，若fa=b，则f−1b.找定点：函数y=fx过点23，由于互为反函数的图象关于直线y=x对称，故y=f核心依据：反函数的核心性质“fa解法2：图象对称法（拓展法）步骤：a.绘制辅助图象：在平面直角坐标系中，点23关于直线y=x的对称点坐标为3b.分析定点：因为y=fx与y=f−1x的图象关于直线y=x对称，所以y=fx过2c.求f−13：由y=f−1x过32，可知当核心依据：关于直线y=x的点对称规律，通过图象对称关系推导反函数的相关性质。技巧解题：“点对称互换，性质直用”技巧技巧：涉及反函数图象定点问题时，直接将原函数图象上点的横、纵坐标互换，即可得到反函数图象上的定点；涉及f−1b的求解，直接根据“fa适用场景：反函数图象定点、特定值求解问题，高考选择、填空题速解。（四）高考真题解析（15分钟）（2024•广东，3分）下列函数中，存在反函数的是（）A.y=B.y=C.y=D.y=sinx（答案：B解析：A是二次函数，图象开口向上，存在多个x对应同一个y，无反函数；B是指数函数，在R上单调递增，存在反函数；C中x=±1时y=2，“多对一”，无反函数；D是正弦函数，周期变化，“多对一”，无反函数。（2024•浙江，4分）已知函数fx=logA.f−1x=B.f−1x=C.f−1x=D.f−1x=答案：A解析：由y=log2x+1，得x+1=2y，反解x=2y−1，互换x与（2023•山东，3分）若函数y=fx的反函数为y=f−1x，且A.0B.1C.-1D.不存在答案：B解析：根据反函数性质，若fa=b，则f−1b=a（2023•江苏，4分）函数y=3x−2（x∈R）的反函数为y=A.2B.3C.logD.log答案：A解析：令f−17=x，则fx=7，即3x−2=7（2022•湖北，3分）函数y=12x+1A.y=2x−2B.y=C.y=−2x+2D.y=−答案：A解析：原函数y=12x+1的反函数为y=2x−2；互为反函数的图象本身关于直线y=x（2022•湖南，4分）已知函数fx=ax（a>0，a≠1）的图象过点24答案：42解析：由f2=4，得a2=4，解得a=2（a>0），故fx=2（2021•河北，3分）下列关于函数y=log12A.它们的定义域相同B.它们的值域相同C.它们的图象关于x轴对称D.它们在各自定义域上都是增函数答案：B解析：y=log12x的定义域为0+∞，值域为R，在定义域上为减函数；y=12（2021•四川，4分）求函数y=2log4x+3答案：y=4x−32解析：由y=2log4x+3，得log4x=y−32，则x=4y−32=（2020•河南，3分）若函数fx存在反函数f−1x，且fx在A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.不确定答案：B解析：根据反函数的单调性性质，单调函数的反函数与原函数单调性一致，原函数单调递减，故反函数也单调递减。（2020•安徽，4分）已知函数fx答案：不存在反函数解析：举例说明，当y=0.5时，若x≥0，则x+1=0.5，无解；若x<0，则−x+1=0.5，解得x=0.5，但0.5≥0，矛盾；再如y=2时，x≥0时x=1，x<0时x=−1，即两个不同的x（1和-1）对应同一个y（2），不满足“一对一”对应，故不存在反函数。四、高考命题规律总结（10分钟）考查题型：基础题（2-3分）：反函数的存在性判断、简单函数反函数的求解、反函数基本性质应用（选择/填空）。中档题（3-5分）：指数函数与对数函数的反函数求解、反函数图象对称性应用、结合单调性的反函数问题（填空/解答题基础问）。高档题（4-6分）：分段函数的反函数存在性判断与求解、反函数与函数图象、定义域值域的综合应用（解答题中档问）。命题趋势：从“单一知识点”到“综合应用”：越来越多地将反函数与指数函数、对数函数、分段函数、函数单调性、图象对称性等知识点结合考查。从“解析式求解”到“性质应用”：减少单纯求反函数解析式的题目，增加利用反函数性质（如定点、对称性、单调性）解决问题的题目。情境化与创新性：部分题目会结合实际问题（如增长模型、对数运算应用）转化为反函数问题，强调知识的实际应用。解题技巧总览：基础题：单调性判断法（快速判断反函数存在性）、三步法（求反函数的反解、互换、定域）、性质直用法（利用fa中档题：对称点互换法（图象定点问题）、互化法（指数与对数互化求反函数）、分类讨论法（分段函数反函数问题）。高档题：举例验证法（分段函数反函数存在性判断）、综合分析法（结合单调性、定义域值域综合求解）。五、课堂练习（高考真题，10分钟）（2024•福建，3分）下列函数中，存在反函数的是（）A.y=B.y=x（x≥0C.y=1x+1（D.y=cosx（答案：B（2023•江西，4分）函数y=5x+2（x∈R答案：y=log5x−2（2022•山西，3分）已知函数y=fx的图象过点−12，且y=fx与y=A.-1B.1C.2D.-2答案：A（2021•云南，4分）求函数y=log13答案：y=13x（2020•贵州，3分）若函数fx是奇函数，且存在反函数f−1xA.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.不确定答案：A六、课堂小结（5分钟）核心知识：反函数的定义、存在条件、性质；指数函数与对数函数互为反函数的关系；求反函数的基本步骤。解题方法：一题多解（单调性判断法与定义验证法、常规步骤法与整体换元法等）、技巧解题（性质直用法、对称点互换法、指数对数互化法）。高考策略：基础题保分（熟练掌握反函数定义与简单性质），中档题稳分（规范求反函数步骤，灵活运用图象对称性），高档题突破（分段函数分类讨论，综合性质分析）。七、课后作业（分层设计）基础层：完成教材习题4.3中所有反函数存在性判断和简单函数反函数求解题目；完成课堂练习中未讲解的高考真题。提高层：完成2021-2024高考反函数相关真题汇编（侧重指数函数、对数函数综合题型）；整理错题本，分析错误原因（如反函数定义域遗漏、单调性判断错误、对称点互换错误等）。拓展层：设计一个含指数函数或对数函数的复合函数，判断其是否存在反函数，若存在，用多种方法求其反函数，并结合图象对称性编写1道相关应用题及解答过程。八、教学反思需关注学生对反函数存在条件的理解，部分学生容易误认为所有函数都存在反函数，或仅通过“单调函数存在反函数”这一性质，忽略对非单调函数的定义验证，需通过更多实例（如二次函数、分段函数）强化认知。求反函数时，学生容易遗漏定义域的确定（反函数定义域为原函数值域），或在指数与对数互化过程中出现运算错误，需在例题和练习中反复强调“定域”的重要性，加强互化运算训练。反函数图象对称性的应用是难点，部分学生无法快速将原函数的点与反函数的点对应起来，可通过绘制简单函数图象（如一次函数、指数函数），直观展示对称关系，帮助学生建立直观认知。分段函数的反函数问题学生掌握较差，容易出现分类讨论不完整或反解错误的情况，需增加分段函数反函数的专项讲解与练习，强调“分段反解、分段互换、合并定义域”的步骤。课堂可增加更多结合实际情境的反函数问题（如人口增长模型、对数换算应用），提升学生的知识应用能力；课后可布置实践类作业（如收集生活中可转化为反函数问题的实例），深化对知识的理解与应用。课后测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知关于x的不等式13x-4>3-2A.[4,+∞) B.(-4,+∞)C.(-∞,-4) D.(-4,1]2.函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()A.(0,1) B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)3.设f(x)=3x-x2,则在下列区间上,使函数f(x)有零点的区间是()A.[0,1] B.[1,2]C.[-2,-1] D.[-1,0]4.下列函数中,是偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增的为()A.y=x-2 B.y=|x| C.y=2|x| D.y=x35.已知a=313,b=log213,c=logA.a>c>b B.c>a>bC.a>b>c D.c>b>a6.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则7年后它们的数量为()A.300只 B.400只 C.600只 D.700只7.在直角坐标系中,函数y=x3ex8.已知函数f(x)=|lnx|,0<x≤e,2-lnx,x>e,若正实数a,b,c互不相等,且fA.(e,e2) B.(1,e2) C.(1e,e) D.(1e,e二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.[江苏高一阶段练习]下列等式不成立的是()A.log2(8-4)=log28-log24B.log28loC.log38=3log32D.log2(8+4)=log28+log2410.已知函数f(x)=2a-xA.a=1B.a=-1C.函数y=f(x+1)是偶函数D.关于x的不等式f(x)>1211.关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有()A.f(x)在区间(1,2)上单调递增B.y=f(x)的图象关于直线x=2对称C.若x1≠x2,f(x1)=f(x2),则x1+x2=4D.f(x)有且仅有两个零点三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.[广东云浮高一期末]若3a=6,b=log26,则1a+1b13.写出一个同时具有下列三个性质的函数:f(x)=.

①函数g(x)=f(x)-1为指数函数;②f(x)在R上单调递增;③f(1)>3.14.已知函数f(x)=x,x≤0,|2x-3|,x>0,g(x)=f(x)四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(1)求值:6423+9(2)若xlog32=1,求2x+2-x的值;(3)已知a=lg2,b=lg3,用a,b表示log518.16.(15分)设函数f(x)=2x-2,x∈[1,+∞),x17.(15分)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(9,2).(1)求实数a的值;(2)若g(x)=f(2-x)+f(2+x),求g(x)的定义域并判断其奇偶性和单调递增区间.18.(17分)[广东惠州高一期末]随着经济的发展,越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系,一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台,从建立起,得到了很多人的关注,也有越来越多的人成为平台的会员,主动在平台上进行学习,已知前3年平台会员的个数如下表所示(其中第4年为预估人数,仅供参考):建立平台第x年1234会员个数y/千人14202943(1)依据表中数据,从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台第x(x∈N*)年后平台会员人数y(单位:千人),并求出你选择模型的解析式:①y=tx+b(t>0);②y=d·logrx+s(d≠0,r>0且r≠1);③y=m·ax+n(m≠0,a>0且a≠1)(2)为控制平台会员人数盲目扩大,平台规定会员人数不得超过k·94x(k>0)千人,依据(1)中你选择的函数模型求k19.(17分)已知函数f(x)=logax+1x-1(a>0且(1)求函数f(x)的定义域.(2)若a=2,求函数y=f(2x)的值域.(3)是否存在实数a,b,使得函数f(x)在区间(b,32a)内的值域为(1,2)?若存在,求实数a,b的值;若不存在,请说明理由答案：1.B依题意可知,原不等式可转化为3-由于指数函数y=3x为增函数,所以-x+4>-2x,解得x>-4.故选B.2.C由x2-x>0,得x>1或x<0,故选C.3.D显然,函数f(x)的图象是连续的.∵f(-2)=3-2-(-2)2=-359<0,f(-1)=3-1-(-1)2=-23<0,f(0)=30-02=1>0,f(1)=3-1=2>0,f(2)=32-22=5>0,∴f(-1)·f(0)∴使函数f(x)有零点的区间是[-1,0].4.Ay=x3为奇函数,y=|x|,y=2|x|为偶函数,但在(0,+∞)单调递增,所以在(-∞,0)单调递减,而y=x-2为偶函数且在(-∞,0)单调递增.故选A.5.A因为函数y=3x为单调递增函数,所以a=313>30=1,即a>因为y=log2x为单调递增函数,所以b=log213<log21=0,即b<0因为y=log13x单调递减,所以log131<log131e<log1316.A将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)中,得100=alog2(1+1),解得a=100.所以当x=7时,y=100log2(7+1)=300.7.A令f(x)=x3ex+e-x,∵f∴f(x)为奇函数.当x>0时,f(x)>0,故选A.8.A由题意,函数f(x)=|画出函数的图象,如图所示.设a<b<c,则|lna|=|lnb|,即lna+lnb=0,可得ab=1,当x>e时,y=2-lnx单调递减,且其图象与x轴交于点(e2,0),所以abc=c,且e<c<e2,所以abc的取值范围为(e,e2).故选A.9.ABD解析对于A,因为log2(8-4)=log24=log222=2,log28-log24=log223-log222=3-2=1,所以log2(8-4)≠log28-log24,所以A错误;对于B,因为log28log24=log223log222=3对于C,因为log38=log323=3log32,所以C正确;对于D,因为log2(8+4)=log212=log23+log24=log23+2,log28+log24=log223+log222=3+2=5,所以log2(8+4)≠log28+log24,所以D错误.故选ABD.10.ACD由函数图象可知直线x=1为函数f(x)的图象的对称轴,即函数满足f(2-x)=f(x),则当x>1时,2-x<1,故22-x-a=2a-x,∴2-x-a=a-x,则a=1.同理当x<1时,2-x>1,故2a-2+x=2x-a,∴a-2+x=x-a,则a=1.综上,a=1,故A正确,B错误;将f(x)=2a-x,x≥1,2x-a,x<1的图象向左平移1个单位长度,即得函数y=f(x+1),x∈R的图象,易知y=f(x+1)的图象关于当x≥1时,f(x)=21-x,令21-x>12,解得x<2,故1≤x<当x<1时,f(x)=2x-1,令2x-1>12,解得x>0,故0<x<1,综上,0<x<2,即不等式f(x)>12的解集为(0,2),故D正确.故选11.ABD根据图象变换画出函数f(x)的图象如图,由图象知f(x)在(1,2)上单调递增,故A正确;函数图象关于直线x=2对称,故B正确;f(x1)=f(x2)=k,直线y=k与函数f(x)图象相交可能是4个交点,如果最左边两个交点横坐标分别是x1,x2,则x1+x2=4不成立,故C错误;f(x)的图象与x轴仅有两个公共点,即函数仅有两个零点,故D正确.故选ABD.12.1因为3a=6,所以a=log36,所以1a+1b=1log36+1log213.3x+1(答案不唯一)14.[0,34)函数g(x)=f(x)-12x+a存在3个零点,等价于函数f(x)的图象与直线y=12x-a有画出函数f(x)和y=12x-a的图象,如下图由图知,要使函数f(x)的图象和直线y=12x-a有3个交点,则-34<-a≤0,即0≤a<15.解(1)6423+9-12+(27125)

-13=(43)23+(32(2)∵xlog32=1,∴x=log23,∴2x+2-x=2log23+(3)∵a=lg2,b=lg3,∴log518=lg18lg516.