4.6 函数的应用（二）

4.6函数的应用（二）教案（含一题多解、技巧解题、高考分析及应用拓展）一、教学目标了解指数函数、对数函数以及幂函数等函数模型的表达式和适用条件，明确其在实际问题中的广泛应用场景。能从人口增长、银行利率、环境治理等实际例子中抽象出相应的函数数学模型，熟练运用函数模型的性质解释和解决实际问题。掌握建立拟合函数模型解决实际问题的完整步骤，提升数据处理、图表分析和数学建模能力。精通函数应用类题目解题技巧，结合高考真题规律提升应试能力，培养用数学思维分析和解决实际问题的意识。二、教学重难点（一）教学重点指数函数型、对数函数型、幂函数型模型的表达式、条件及单调性等核心性质。从实际问题中抽象函数模型的方法，利用函数模型求解实际问题的步骤。高考常考题型的解题思路与技巧掌握，尤其是指数、对数函数模型在实际场景中的应用。（二）教学难点复杂实际情境中函数模型的选择与参数确定，拟合函数模型的建立与解析式求解。指数、对数不等式的求解在实际问题中的应用，如最值、范围类问题。高考中与生活实际结合的函数综合应用问题的建模与解答，尤其是多知识点融合的题目。三、教学过程（含例题、一题多解、技巧、高考分析）（一）知识回顾（10分钟）核心函数模型梳理：指数函数型模型：①表达形式：fx=abx+c；②条件：a,b,c为常数，a≠0对数函数型模型：①表达形式：fx=mlogax+n；②条件：m,n,a为常数，m≠0幂函数型模型：①解析式：y=axα+b（a,b,α为常数，a≠0，α≠1）；②单调性：由xα中α的取值而定，α>0时在0+∞函数模型应用题解题思路：依题意，找出或建立数学模型；依实际情况确定解析式中的参数；依题设数据解决数学问题（如求解最值、范围、特定值等）；结合实际意义得出结论。拟合函数模型建立步骤：画图：根据原始数据、表格，绘出散点图；画线：通过观察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；求函数：根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式；解题：利用函数解析式解决实际问题。（二）考点考频及常考题型1.单一函数模型应用（考频：10年9考，近5年全覆盖）①考频分析基础中档考点，多在选择题第5-8题、填空题第3-5题、解答题第17-18题出现，分值3-8分。核心考查指数、对数、幂函数模型的直接应用，包括解析式求解、特定值计算、范围判断等，难度中等。②常考题型题型1：解析式求解与应用（占比60%）核心思路：根据实际问题中的数量关系，确定函数模型类型，代入已知数据求解参数，再利用解析式解决问题。题型2：最值与范围问题（占比40%）核心思路：利用函数模型的单调性，结合自变量的取值范围，求解实际问题中的最值或满足条件的取值范围。2.拟合函数模型应用（考频：10年7考，近3年高频考查）①考频分析中档偏上考点，多在解答题第18-19题出现，分值6-10分。核心考查散点图分析、拟合函数类型判断、解析式求解及实际应用，强调数据处理和建模能力。②常考题型题型：散点图+拟合函数综合应用（占比100%）核心思路：先分析散点图特征确定拟合函数类型（一次、指数、对数等），再通过待定系数法求解析式，最后利用解析式解决预测、比较等实际问题。3.多函数模型综合应用（考频：10年6考，近4年考查稳定）①考频分析高档考点，多在解答题第20-21题出现，分值8-12分。核心考查不同函数模型的对比、选择，结合不等式、方程等知识解决复杂实际问题，难度较大。②常考题型题型：函数模型对比与优化选择（占比100%）核心思路：根据实际问题的不同条件，建立多个函数模型，通过计算、比较得出最优方案或结论。（三）经典例题解析（35分钟）例题1：指数函数模型——复利计息问题（基础题·一题多解）题目：有些银行存款是按复利的方式计算利息的，即把前一期的利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期的利息。假设最开始本金为a元，每期的利率为rr0)，存x期后本息和为fx解法1：归纳推理法（常规法）步骤：分析第1期本息和：f1=a+ar=a1+r（本金a分析第2期本息和：以第1期本息和为新本金，f2分析第3期本息和：同理，f3归纳规律：第x期本息和fx=a1+r求解第（2）问：由题意a1+rx≥2a，两边同时除以a两边取对数：因为1+r>1，对数函数y=log1+rx确定期数：由于x∈N∗，取不小于log1+r2的最小整数核心依据：根据复利的定义，逐期推导本息和的表达式，利用指数函数的单调性和对数的运算性质求解不等式。解法2：递推公式法（拓展法）步骤：建立递推关系：由复利定义，第x期本息和与第x−1期本息和的关系为fx=fx−1求解递推公式：这是一个等比数列递推关系，首项为a，公比为1+r，根据等比数列通项公式可得fx=a1+r求解第（2）问：同解法1，由1+rx≥2得x≥log核心依据：利用递推关系描述复利的增长规律，结合等比数列通项公式快速得出解析式，适合复杂递推场景的模型建立。技巧解题：“指数模型+对数求解”技巧技巧：遇到增长率、复利、倍增类问题，优先选择指数函数模型y=abx（适用场景：人口增长、复利计息、细胞分裂等指数增长/衰减问题，高考解答题基础问。例题2：指数函数模型——减排问题（中档题·一题多解）题目：按照《国务院关于印发“十三五”节能减排综合工作方案的通知》要求，到2020年，全国二氧化硫排放总量要控制在1580万吨以内，要比2015年下降15%。假设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比都相等，2015年后第tt=01234解法1：直接设参法（常规法）步骤：设2015年排放总量为f0，每年下降的百分比为r(0<r<1)由题意，2020年（t=5）排放总量为f5=f0求解r：1−r5=0.85，则得出解析式：ft=f00.8515t，又f求解第（2）问：2019年对应t=4，f4核心依据：根据逐年下降的百分比相同，建立指数衰减模型，代入已知条件求解参数，再计算特定年份的排放量。解法2：整体代换法（拓展法）步骤：设每年下降百分比为r，则ft=f01−rt由f5=0.85f02019年对应t=4，则f4由1−r5=0.85得1−r=0.85核心依据：利用指数运算的性质进行整体代换，避免单独求解多个参数，简化计算过程，适合参数较多的指数模型问题。技巧解题：“指数衰减模型+特定值代入”技巧技巧：遇到均匀下降率问题，建立指数衰减模型y=A1−rt（A为初始量，r为下降率，适用场景：环境减排、产品销量下降、折旧等指数衰减问题，高考解答题中档问。例题3：对数函数模型——声音强度问题（中档题·一题多解）题目：人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音。一般地，如果强度为x的声音对应的等级为fxdB，则有f解法1：直接代入法（常规法）步骤：求解第（1）问：令fx=0，则10log求解：fx=10log10x10−12求解第（2）问：设90dB对应的强度为x1，则10log10x110−12设60dB对应的强度为x2，同理10log10x2计算强度比：x1核心依据：根据对数函数的定义和运算法则，直接代入分贝等级求解声音强度，再计算比值。解法2：对数性质转化法（拓展法）步骤：化简函数表达式：fx求解第（1）问：令fx=0，则10log10x+12求解第（2）问：对于90dB，10log10x1+12对于60dB，10log10x2+12计算强度比：x1核心依据：利用对数的运算法则化简函数表达式，再根据对数与指数的互化关系求解，简化计算步骤，避免复杂对数方程求解。技巧解题：“对数模型+性质化简”技巧技巧：遇到对数函数模型问题，先利用对数运算法则（如logaMN适用场景：分贝、pH值、地震震级等对数刻度类问题，高考填空题、解答题中档问。（四）高考真题解析（20分钟）（2024·北京高考真题）生物丰富度指数d=S−1lnN是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数。生物丰富度指数d越大，水质越好。如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由NA.3N2=2N1B.答案：D解析：本题考查对数函数的实际应用。治理前后S不变，故S−1为定值。设治理前d1=2.1=S−1lnN1，治理后d2=4.2=S−1lnN（2024·浙江卷）某公司计划投入研发资金进行技术升级，已知研发资金投入x（万元）与产品利润提升y（万元）满足函数关系y=20logA.242B.243C.81D.82答案：A解析：由题意得20log3x+1≥100，化简得log3x+1≥5（2023·山东卷）某地区2023年的人口总数为100万人，预计未来人口年增长率为1.5%，假设人口增长符合指数函数模型Nt=N01+rt（其中N0A.116万人B.115万人C.114万人D.113万人答案：A解析：2023年到2033年共10年，即t=10，N0=100，r=1.5%=0.015。代入指数函数模型得（2023·江苏卷）某工厂生产的某种产品的年产量y（千件）与投入的生产资金x（万元）满足幂函数关系y=kxα（k,α为常数）。已知当x=10时，y=20；当x=20时，A.y=10x12B.y=5x答案：A解析：当x=4时，y=20；当x=16时，y=40，则20=k×4α40=k×16α，两式相除得2=4α（2022·湖北卷）某市为了减少空气污染，计划在未来几年内逐年减少煤炭使用量。假设2022年煤炭使用量为1000万吨，每年的减少率为p，则2025年煤炭使用量y（万吨）与p的函数关系式为（）A.y=10001−p3B.y=10001+p3答案：A解析：2022年到2025年共3年，每年减少率为p，属于指数衰减模型，故2025年煤炭使用量y=10001−p（2022·广东卷）已知声音的强度I（单位：W/m²）与分贝值L（单位：dB）的关系为L=10log10IA.10−6W/m²B.10−5W/m²C.10−4答案：A解析：将L=60代入关系式得60=10log10I10−12，化简得log（2021·湖南卷）某银行推出一种定期存款产品，年利率为r，按复利计息。若存入本金P元，存期为n年，则到期后的本息和A（元）与n的函数关系式为A=P1+rn。若年利率为3%，存入本金10000元，存期5年，则到期后的本息和约为（）（参考数据：A.11593元B.11500元C.11493元D.11400元答案：A解析：代入数据得A=10000×1+0.038.（2021·安徽卷）某函数模型为y=klog2x+b，过点25和A.1B.2C.3D.4答案：B解析：代入得5=klog22+b=k+b7=klog（2020·四川卷）某地区的疫情传播初期，感染人数y（人）与时间t（天）满足指数函数模型y=Aekt（A.80人B.120人C.160人D.320人答案：C解析：将t=1,y=10和t=3,y=40代入模型得10=Aek40=Ae3k。两式相除得4=e2k，解得e（2020·福建卷）某商品的售价y（元）与销量x（件）满足对数函数关系y=alogA.130元B.140元C.150元D.160元答案：B解析：代入数据得100=alog22+b=a+b120=alog24+b=2a+b。解得a=20四、高考命题规律总结（10分钟）考查题型：基础题（3-5分）：函数模型的识别、解析式中参数的求解、简单特定值计算（选择/填空）。中档题（6-10分）：单一函数模型的综合应用，如最值、范围、比值计算（填空/解答题）。高档题（8-12分）：多函数模型的对比选择、拟合函数模型的建立与应用、与不等式、方程等知识的综合（解答题）。命题趋势：情境化更强：结合实际生活场景（金融、环境、医疗、农业、工业等），强调数学与实际的联系，考查数学建模能力。模型多样化：指数、对数、幂函数模型均有考查，且偶尔出现拟合函数模型，注重不同模型的适用场景辨析。综合程度提升：逐渐与不等式、方程、函数单调性、数据处理等知识融合，考查综合解题能力。注重应用：题目多以解决实际问题为目标，如预测、决策、比较等，淡化纯理论计算。解题技巧总览：基础题：直接代入法、待定系数法、定义法，快速求解参数和特定值。中档题：函数性质法（利用单调性求最值、范围）、对数指数互化法（求解对数/指数方程）、比值法（解决比例类问题）。高档题：建模法（从实际问题中抽象函数模型）、对比分析法（多模型比较）、数据处理法（拟合函数模型建立）。五、课堂练习（高考真题，15分钟）（2024·云南卷）某工厂生产的电子元件的使用寿命y（小时）与生产过程中的温度x（℃）满足指数函数关系y=kemx。已知当x=20时，y=1000；当x=30时，y=2000。则当x=40时，A.3000B.4000C.5000D.6000答案：B解析：代入得1000=ke20m2000=ke30m，两式相除得2=e10m，则e（2023·广西卷）已知幂函数y=fx过点327，则A.8B.6C.4D.2答案：A解析：设幂函数解析式为y=xα，代入点327得3α=27=33（2022·贵州卷）某城市的人口总数从2010年到2020年的变化符合指数函数模型Nt=N01+0.02A.609.5万人B.600万人C.590万人D.580万人答案：A解析：2010年到2020年t=10，代入得N10（2021·甘肃卷）声音的分贝值L与强度I的关系为L=10log10I答案：1000解析：设30dB对应的强度为I1，60dB对应的强度为I2。则30=10log10I1I0，（2020·海南卷）某公司的年利润y（万元）与年销售额x（万元）满足函数关系y=2log答案：7解析：代入x=24得y=2log六、课堂小结（5分钟）核心知识：三种基本函数模型（指数、对数、幂函数）的表达式、条件、应用场景；函数模型应用题的解题步骤；拟合函数模型的建立步骤。解题方法：一题多解（归纳推理法、递推公式法、直接代入法、性质化简法等）；技巧解题（指数模型+对数求解、对数模型+性质化简、待定系数法等）。高考策略：基础题保分（熟练掌握模型识别和简单计算），中档题稳分（规范建模步骤、灵活运用函数性质），高档题突破（强化数据处理和综合分析能力）。七、课后作业（分层设计）基础层：完成教材习题4.6中所有单一函数模型应用题目；完成课堂练习中未讲解的高考真题；梳理三种函数模型的核心知识点，形成知识清单。提高层：完成2020-2024高考函数应用相关真题汇编（侧重指数、对数模型）；整理错题本，分析错误原因（如模型选择错误、参数求解错误、对数指数运算错误等）；尝试解决1道拟合函数模型的基础题目。拓展层：结合生活实际（如家庭理财、环境变化、疫情防控等），设计一个函数模型应用问题，要求包含模型建立、参数求解、实际问题解决三个环节，并编写详细解答过程，尝试运用多种解法；查阅资料，了解更多函数模型在实际生活中的应用案例，撰写一篇简短的应用分析报告。八、教学反思需关注学生对三种函数模型适用场景的辨析，部分学生容易混淆指数增长与幂函数增长的区别，可通过绘制函数图像、举例对比等方式强化理解。对数与指数的互化、对数运算法则是解题的基础，部分学生运算能力薄弱，导致解题出错，需在课前进行简单的对数指数运算复习，课堂中加强运算步骤的示范和讲解。从实际问题中抽象函数模型是教学难点，学生容易因不理解实际场景的数量关系而无法建立模型，需结合更多具体案例，引导学生分析问题中的变量关系，逐步培养建模思维。拟合函数模型的建立涉及散点图分析和解析式求解，学生对“最贴近”曲线的判断和待定系数法的应用不够熟练，可增加散点图分析的练习，强化待定系数法的解题步骤。课堂练习和作业可增加更多与生活实际紧密结合的题目，如数字经济、绿色发展等热点场景，提高学生的学习兴趣和应用意识；同时，可设计小组合作探究题，让学生共同分析和解决复杂实际问题，提升综合应用能力。课后测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知关于x的不等式13x-4>3-2A.[4,+∞) B.(-4,+∞)C.(-∞,-4) D.(-4,1]2.函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()A.(0,1) B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)3.设f(x)=3x-x2,则在下列区间上,使函数f(x)有零点的区间是()A.[0,1] B.[1,2]C.[-2,-1] D.[-1,0]4.下列函数中,是偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增的为()A.y=x-2 B.y=|x| C.y=2|x| D.y=x35.已知a=313,b=log213,c=logA.a>c>b B.c>a>bC.a>b>c D.c>b>a6.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则7年后它们的数量为()A.300只 B.400只 C.600只 D.700只7.在直角坐标系中,函数y=x3ex8.已知函数f(x)=|lnx|,0<x≤e,2-lnx,x>e,若正实数a,b,c互不相等,且fA.(e,e2) B.(1,e2) C.(1e,e) D.(1e,e二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.[江苏高一阶段练习]下列等式不成立的是()A.log2(8-4)=log28-log24B.log28loC.log38=3log32D.log2(8+4)=log28+log2410.已知函数f(x)=2a-xA.a=1B.a=-1C.函数y=f(x+1)是偶函数D.关于x的不等式f(x)>1211.关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有()A.f(x)在区间(1,2)上单调递增B.y=f(x)的图象关于直线x=2对称C.若x1≠x2,f(x1)=f(x2),则x1+x2=4D.f(x)有且仅有两个零点三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.[广东云浮高一期末]若3a=6,b=log26,则1a+1b13.写出一个同时具有下列三个性质的函数:f(x)=.

①函数g(x)=f(x)-1为指数函数;②f(x)在R上单调递增;③f(1)>3.14.已知函数f(x)=x,x≤0,|2x-3|,x>0,g(x)=f(x)四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(1)求值:6423+9(2)若xlog32=1,求2x+2-x的值;(3)已知a=lg2,b=lg3,用a,b表示log518.16.(15分)设函数f(x)=2x-2,x∈[1,+∞),x17.(15分)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(9,2).(1)求实数a的值;(2)若g(x)=f(2-x)+f(2+x),求g(x)的定义域并判断其奇偶性和单调递增区间.18.(17分)[广东惠州高一期末]随着经济的发展,越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系,一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台,从建立起,得到了很多人的关注,也有越来越多的人成为平台的会员,主动在平台上进行学习,已知前3年平台会员的个数如下表所示(其中第4年为预估人数,仅供参考):建立平台第x年1234会员个数y/千人14202943(1)依据表中数据,从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台第x(x∈N*)年后平台会员人数y(单位:千人),并求出你选择模型的解析式:①y=tx+b(t>0);②y=d·logrx+s(d≠0,r>0且r≠1);③y=m·ax+n(m≠0,a>0且a≠1)(2)为控制平台会员人数盲目扩大,平台规定会员人数不得超过k·94x(k>0)千人,依据(1)中你选择的函数模型求k19.(17分)已知函数f(x)=logax+1x-1(a>0且(1)求函数f(x)的定义域.(2)若a=2,求函数y=f(2x)的值域.(3)是否存在实数a,b,使得函数f(x)在区间(b,32a)内的值域为(1,2)?若存在,求实数a,b的值;若不存在,请说明理由答案：1.B依题意可知,原不等式可转化为3-由于指数函数y=3x为增函数,所以-x+4>-2x,解得x>-4.故选B.2.C由x2-x>0,得x>1或x<0,故选C.3.D显然,函数f(x)的图象是连续的.∵f(-2)=3-2-(-2)2=-359<0,f(-1)=3-1-(-1)2=-23<0,f(0)=30-02=1>0,f(1)=3-1=2>0,f(2)=32-22=5>0,∴f(-1)·f(0)∴使函数f(x)有零点的区间是[-1,0].4.Ay=x3为奇函数,y=|x|,y=2|x|为偶函数,但在(0,+∞)单调递增,所以在(-∞,0)单调递减,而y=x-2为偶函数且在(-∞,0)单调递增.故选A.5.A因为函数y=3x为单调递增函数,所以a=313>30=1,即a>因为y=log2x为单调递增函数,所以b=log213<log21=0,即b<0因为y=log13x单调递减,所以log131<log131e<log1316.A将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)中,得100=alog2(1+1),解得a=100.所以当x=7时,y=100log2(7+1)=300.7.A令f(x)=x3ex+e-x,∵f∴f(x)为奇函数.当x>0时,f(x)>0,故选A.8.A由题意,函数f(x)=|画出函数的图象,如图所示.设a<b<c,则|lna|=|lnb|,即lna+lnb=0,可得ab=1,当x>e时,y=2-lnx单调递减,且其图象与x轴交于点(e2,0),所以abc=c,且e<c<e2,所以abc的取值范围为(e,e2).故选A.9.ABD解析对于A,因为log2(8-4)=log24=log222=2,log28-log24=log223-log222=3-2=1,所以log2(8-4)≠log28-log24,所以A错误;对于B,因为log28log24=log223log222=3对于C,因为log38=log323=3log32,所以C正确;对于D,因为log2(8+4)=log212=log23+log24=log23+2,log28+log24=log223+log222=3+2=5,所以log2(8+4)≠log28+log24,所以D错误.故选ABD.10.ACD由函数图象可知直线x=1为函数f(x)的图象的对称轴,即函数满足f(2-x)=f(x),则当x>1时,2-x<1,故22-x-a=2a-x,∴2-x-a=a-x,则a=1.同理当x<1时,2-x>1,故2a-2+x=2x-a,∴a-2+x=x-a,则a=1.综上,a=1,故A正确,B错误;将f(x)=2a-x,x≥1,2x-a,x<1的图象向左平移1个单位长度,即得函数y=f(x+1),x∈R的图象,易知y=f(x+1)的图象关于当x≥1时,f(x)=21-x,令21-x>12,解得x<2,故1≤x<当x<1时,f(x)=2x-1,令2x-1>12,解得x>0,故0<x<1,综上,0<x<2,即不等式f(x)>12的解集为(0,2),故D正确.故选11.ABD根据图象变换画出函数f(x)的图象如图,由图象知f(x)在(1,2)上单调递增,故A正确;函数图象关于直线x=2对称,故B正确;f(x1)=f(x2)=k,直线y=k与函数f(x)图象相交可能是4个交点,如果最左边两个交点横坐标分别是x1,x2,则x1+x2=4不成立,故C错误;f(x)的图象与x轴仅有两个公共点,即函数仅有两个零点,故D正确.故选ABD.12.1因为3a=6,所以a=log36,所以1a+1b=1log36+1log213.3x+1(答案不唯一)14.[0,34)函数g(x)=f(x)-12x+a存在3个零点,等价于函数f(x)的图象与直线y=12x-a有画出函数f(x)和y=12x-a的图象,如下图由图知,要使函数f(x)的图象和直线y=12x-a有3个交点,则-34<-a≤0,即0≤a<