4.4 幂函数教学教案

4.4幂函数教案（含一题多解、技巧解题、高考分析及应用拓展）一、教学目标通过实例感知幂函数的实际背景，准确掌握幂函数的概念，明确其解析式“y=xᵅ（α为常数）”的三大特点，能清晰区分幂函数与指数函数、一次函数、二次函数。结合图像系统梳理常见幂函数（α>1、0<α<1、α<0）的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质，熟练掌握第一象限内幂函数图像的分布规律，能根据α的取值快速判断函数图像特征。精通幂函数相关题型的解题技巧，能灵活运用幂函数的单调性比较函数值大小、求解定义域与奇偶性、分析复合函数单调性，高效解决实际应用问题，结合高考真题规律提升应试能力。培养数形结合、分类讨论的数学思想，提升抽象概括和逻辑推理能力，能将幂函数知识应用于实际情境和综合题型中。二、教学重难点（一）教学重点幂函数的概念辨析，解析式特点及与其他函数的区别。常见幂函数的图像特征与性质（定义域、值域、奇偶性、单调性）。幂函数单调性的应用（比较大小、求参数范围）及高考常考题型的解题思路。（二）教学难点不同取值范围内α对幂函数图像和性质的影响，分类讨论思想的灵活运用。幂函数与复合函数结合的单调性分析，抽象幂函数性质的推导与应用。高考中幂函数与指数函数、对数函数综合比较大小的题型建模与解答。三、教学过程（含例题、一题多解、技巧、高考分析）（一）知识回顾（5分钟）核心概念：幂函数：形如y=x解析式三大特点：①幂的系数为1；②底数为自变量x；③项数只有一项。与其他函数的区别：①一次函数y=kx+b（k≠0）仅当b=0且k=1时（即y=x）是幂函数；②二次函数中仅y=x2是幂函数；③与指数函数核心性质：共性：所有幂函数在0+∞个性：①α>0时，图像过原点，在0+∞上单调递增；②α<0时，在0奇偶性规律：设α=p（二）考点考频及常考题型1.幂函数概念辨析（考频：10年8考，近5年6考）①考频分析基础必考点，多在选择题第1-3题、填空题第1-2题出现，难度低，分值2-3分。核心考查幂函数的定义判断、解析式特征识别，常与指数函数、一次函数等混淆设置干扰项。②常考题型题型1：概念判断题（占比70%）示例：下列函数中，是幂函数的是（）A.y=2x2B.y=x2答案：C解题核心：紧扣幂函数“系数为1、底数为自变量、项数唯一”的特点，A系数为2，B含常数项，D是指数函数，均排除。题型2：解析式确定题（占比30%）示例：已知幂函数fx答案：3解题核心：代入点的坐标求解，2α2.幂函数的图像与性质（考频：10年10考，近5年全覆盖）①考频分析核心重点考点，覆盖选择、填空、解答题，分值3-6分，难度中低档。核心考查定义域、值域、奇偶性、单调性的判断，第一象限图像特征与α的关系。②常考题型题型1：性质综合判断题（占比50%）示例：下列关于幂函数y=xA.定义域为RB.是奇函数C.在0+∞答案：C解题核心：y=x12=x题型2：图像识别题（占比30%）示例：在同一平面直角坐标系中，函数y=x3、y=x（选项图像略，需结合α取值特征判断：y=x3过原点、在R上递增；y=x13过原点、奇函数、在R上递增且图像更平缓；y=答案：根据图像特征匹配对应的选项。题型3：定义域与奇偶性求解（占比20%）示例：求幂函数y=x答案：定义域为x|x≠0，偶函数。解题核心：化简解析式为y=13x3.幂函数的应用（比较大小、求参数范围）（考频：10年9考，近3年高频）①考频分析中档应用题考点，多在选择题、填空题中档题位置，分值3-4分，难度中档。核心考查利用幂函数单调性比较大小，结合复合函数单调性求参数范围。②常考题型题型1：函数值大小比较（占比60%）示例：比较下列各组值的大小：（1）2.312与2.512；（2）答案：（1）2.312<解题核心：利用幂函数单调性，（1）y=x12在0+∞上递增，2.3<2.5故值小；（2）y=x题型2：参数范围求解（占比40%）示例：若幂函数fx=x答案：m=1。解题核心：由单调性得m2（三）经典例题解析（30分钟）例题1：幂函数概念与解析式求解（基础题·一题多解）题目：已知函数fx解法1：定义直接法（常规法）步骤：a.由幂函数定义，系数必须为1：m2−m−1=1，解得b.结合单调性：幂函数在0+∞上递减，需指数mc.验证m=2：指数=4-4-3=-3<0，符合条件；验证m=-1：指数=1+2-3=0，y=xd.结论：m=2。核心依据：幂函数定义（系数为1）+单调性性质（α<0），逐步验证求解。解法2：排除法（拓展法）步骤：a.先根据幂函数定义列方程m2b.分析指数特征：若m=-1，指数=0，函数为常函数，无单调性，排除。c.仅m=2符合所有条件，结论：m=2。核心依据：先缩小参数范围，再根据单调性排除不符合选项，快速求解。技巧解题：“定义先行+性质验证”技巧技巧：解决幂函数参数问题时，先紧扣“系数为1”的定义求出参数可能值，再根据单调性、奇偶性等性质筛选验证，避免漏解或多解。适用场景：幂函数解析式含参数的题型，高考填空题、选择题速解。例题2：幂函数单调性应用之比较大小（中档题·一题多解）题目：比较0.8−0.1、0.8−0.2、解法1：单一幂函数单调性法（常规法）步骤：a.分组比较：先比较0.8−0.1与0.8−0.2，二者底数相同，对应幂函数y=0.8x？不，实质是同一幂函数的不同自变量取值：令b.因为0.8<1.2，所以0.8−0.1>1.2−0.1；又因为-0.1>-0.2，对于函数c.综合得：0.8−0.2核心依据：分别利用幂函数和指数函数的单调性，分组比较后整合结果。解法2：中间量搭桥法（拓展法）步骤：a.引入中间量1：对于0.8−0.1=10.80.1=1.25b.比较前两者：0.8−0.2=0.8−0.12c.结论：0.8−0.2核心依据：利用中间量1区分大小关系，再比较同号的两个数，简化运算。技巧解题：“同函数比单调，不同函数找中间量”技巧技巧：比较多个幂函数值大小时，若底数相同或指数相同，直接利用对应函数单调性；若两者均不同，引入1、0等中间量搭桥，快速区分大小。适用场景：高考中函数值大小比较的选择题、填空题，高效避错。例题3：复合函数单调性与参数范围（中档题·一题多解）题目：已知幂函数y=xα与复合函数fx解法1：复合函数“同增异减”法（常规法）步骤：a.令u=2-3x，外层函数为y=ub.分析内层函数u=2-3x：在R上单调递减。c.复合函数f(x)单调递减，根据“同增异减”，外层函数需在u的取值范围内单调递增。d.求u的取值范围：x∈012，则u∈2−3×1e.幂函数y=uα在f.结论：α的取值范围是(0,+∞)。核心依据：复合函数单调性判定法则，结合幂函数的单调性与α的关系。解法2：特殊值验证法（拓展法）步骤：a.假设α=1：f(x)=2-3x，在01b.假设α=2：f(x)=(2-3x)²=9x²-12x+4，对称轴为x=23，在0c.假设α=-1：f(x)=(2-3x)⁻¹=12−3x，内层u=2-3x递减，外层y=d.假设α=0：f(x)=(2-3x)⁰=1（x≠23e.综上：α>0时符合条件，故取值范围为(0,+∞)。核心依据：通过特殊值代入验证，结合幂函数和复合函数的单调性特征，快速锁定参数范围。技巧解题：“内层分析+外层匹配”技巧技巧：解决幂函数复合问题时，先分析内层函数的单调性和取值范围，再根据“同增异减”确定外层幂函数的单调性，进而得出α的取值范围，无需复杂推导。适用场景：复合函数单调性与参数范围的高考题型，步骤清晰且不易出错。（四）高考真题解析（15分钟）（2024·天津卷）设a=4.2⁻⁰·²，b=4.2⁰·²，c=log₄.₂0.2，则a，b，c的大小关系为（）A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b答案：D解析：先分析幂函数相关性质，b=4.2⁰·²对应幂函数y=x0.2，在(0,+∞)上递增，故4.2⁰·²>1⁰·²=1；a=4.2⁻⁰·²=（2023·新高考Ⅰ卷）设函数f(x)=(1-2x)⁻¹⁰在区间[0,a]上单调递减，则a的取值范围是（）A.(-∞,12]B.[12,+∞)C.(0,12答案：C解析：令u=1-2x，内层函数u在R上递减；外层函数y=u−10（幂函数，α=-10<0）在u∈(-∞,0)上递增，在u∈(0,+∞)上递减。复合函数递减需“异减”，即外层递增，故u<0不成立，外层递减时u>0，即1-2x>0→x<12。区间[0,a]需满足a≤1（2022·浙江卷）下列函数中，是幂函数且在(0,+∞)上单调递增的是（）A.y=2x²B.y=x⁻¹C.y=x³D.y=log₂x答案：C解析：A系数为2，不是幂函数；B是幂函数但在(0,+∞)上递减；C是幂函数，α=3>0，在(0,+∞)上递增；D是对数函数，不是幂函数。（2022·北京卷）比较大小：3⁰·⁷与2⁰·⁷（填“>”“<”或“=”）答案：>解析：对应幂函数y=x（2021·山东卷）已知幂函数f(x)=xᵏ（k∈Q）的图像过点(2,2)，则f(4)=______。答案：2解析：代入点(2,2)得2k=2=212（2021·江苏卷）若幂函数f(x)=xᵅ的图像过点(12,4)，则α=，f(x)在(0,+∞)上的单调性为答案：-2；单调递减解析：代入点得12（2020·全国卷Ⅰ）设a=log₃2，b=ln2，c=5⁻⁰·⁵，则（）A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a答案：C解析：c=5⁻⁰·⁵=15≈0.447；a=log₃2≈0.631，b=ln2≈0.693；也可结合幂函数性质，5⁻⁰·⁵是幂函数（2020·四川卷）函数y=x²与y=x^12A.(0,0)和(1,1)B.(0,0)和(-1,1)C.(1,1)D.(-1,1)和(1,1)答案：A解析：联立方程x2（2019·浙江卷）已知a>0，b>0，且a≠1，b≠1，若logₐb>1，则（）A.(a-1)(b-1)<0B.(a-1)(b-a)>0C.(b-1)(b-a)<0D.(a-1)(a-b)>0答案：B解析：可结合幂函数性质辅助判断，当a>1时，logₐb>1=logₐa→b>a>1，此时(a-1)(b-a)>0；当0<a<1时，logₐb>1=logₐa→0<b<a<1，此时(a-1)(b-a)=(负数)(负数)>0，综上选B。（2019·天津卷）已知函数f(x)=lnx，g(x)=x^12-1A.函数f(x)和g(x)的图像在x=1处的切线斜率相等B.函数f(x)和g(x)的图像有且只有一个交点C.函数f(x)和g(x)在定义域内均单调递增D.对任意x>0，f(x)≤g(x)恒成立答案：A解析：A选项，f’(x)=1x，f’(1)=1，g’(x)=12x四、高考命题规律总结（10分钟）考查题型：基础题（2-3分）：幂函数概念辨析、解析式求解、简单性质判断（选择/填空）。中档题（3-4分）：幂函数图像识别、函数值大小比较、定义域与奇偶性求解（选择/填空）。高档题（4-6分）：幂函数与复合函数单调性结合、与指数函数/对数函数综合比较大小、参数范围求解（选择/填空压轴或解答题基础问）。命题趋势：从“纯概念”到“综合应用”：单一考查幂函数概念的题目减少，多与复合函数、指数函数、对数函数结合考查，强调知识迁移能力。从“静态性质”到“动态分析”：不仅考查固定α的幂函数性质，还增加了含参数α的单调性、值域分析，突出分类讨论思想。情境化与实用性：部分题目结合实际情境（如增长率、体积计算等），但核心仍是幂函数的性质应用，注重数形结合能力。解题技巧总览：基础题：定义验证法（判断幂函数）、代入法（求解析式）、直接性质法（判断奇偶性、定义域）。中档题：单调性比较法（函数值大小）、图像特征法（识别图像）、复合函数“同增异减”法（单调性分析）。高档题：中间量搭桥法（综合比较大小）、分类讨论法（含参数问题）、转化法（复合函数转化为内外层函数分析）。五、课堂练习（高考真题，10分钟）（2024·云南昆明）下列函数中，是幂函数的是（）A.y=3xB.y=x³+1C.y=x^{-2}D.y=log₃x答案：C（2023·广西南宁）幂函数y=x^23A.R，奇函数B.R，偶函数C.[0,+∞)，非奇非偶函数D.{x|x≠0}，偶函数答案：B（2022·贵州贵阳）比较大小：0.7⁰·³与0.8⁰·³（填“>”“<”）答案：<（2021·甘肃兰州）已知幂函数f(x)=xᵅ的图像过点(3,13答案：1（2020·海南海口）若函数f(x)=(m²-2m-2)x^{m+1}是幂函数，且在(0,+∞)上单调递增，则m的值为（）A.3B.-1C.3或-1D.1答案：A（2024·四川成都）设a=2⁻⁰·⁵，b=3⁻⁰·⁵，c=2⁻⁰·³，则a，b，c的大小关系为（）A.b<a<cB.a<b<cC.c<a<bD.b<c<a答案：A六、课堂小结（5分钟）核心知识：幂函数的定义（y=xᵅ，系数为1、底数为自变量、项数唯一）、图像特征（第一象限必过(1,1)，α决定图像形状）、性质（单调性、奇偶性、定义域与α的关系）。解题方法：一题多解（定义法与排除法、单调法与中间量法）、技巧解题（定义先行、同增异减、中间量搭桥）。高考策略：基础题保分（熟练掌握概念和简单性质），中档题稳分（灵活运用单调性比较大小、图像识别），高档题突破（复合函数分析、分类讨论参数）。七、课后作业（分层设计）基础层：完成教材习题4.4中所有概念辨析、解析式求解、性质判断题目；完成课堂练习中未讲解的高考真题。提高层：完成2021-2024高考幂函数相关真题汇编（侧重综合比较大小、参数范围题型）；整理错题本，分析错误原因（如概念混淆、单调性判断错误、复合函数法则应用失误等）。拓展层：设计一个含幂函数的实际应用场景（如物体体积与边长的关系、增长率模型等），编写2道相关题目（含1道基础题、1道中档综合题）及解答过程，尝试运用多种解法。八、教学反思需关注学生对幂函数与指数函数的区分，部分学生易混淆两者的自变量位置，可通过对比表格、实例强化记忆，明确“幂函数底数是自变量，指数函数指数是自变量”的核心差异。不同α取值对幂函数图像和性质的影响是难点，学生容易在α<0、0<α<1、α>1的分类讨论中遗漏情况，可通过多媒体展示不同α的图像，结合实例让学生直观感受规律，再总结归纳性质。复合函数单调性的应用中，学生对“同增异减”法则的理解不够透彻，尤其是内层函数取值范围对於外层幂函数的限制容易忽略，需通过分步演示、错题讲解强化“先分析内层，再匹配外层”的思路。高考中综合比较大小的题型，学生容易在幂函数、指数函数、对数函数的混合比较中出错，需加强中间量（0、1）的应用训练，帮助学生建立快速区分大小的思维模式。课堂可增加更多生活实例，如幂函数在物理中的应用（功率与速度的关系）、经济中的应用（收益与产量的关系），让学生体会数学的实用性，提升学习兴趣；课后可布置实践类作业（如收集生活中幂函数的实例并分析其性质），深化知识应用。课后测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知关于x的不等式13x-4>3-2A.[4,+∞) B.(-4,+∞)C.(-∞,-4) D.(-4,1]2.函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()A.(0,1) B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)3.设f(x)=3x-x2,则在下列区间上,使函数f(x)有零点的区间是()A.[0,1] B.[1,2]C.[-2,-1] D.[-1,0]4.下列函数中,是偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增的为()A.y=x-2 B.y=|x| C.y=2|x| D.y=x35.已知a=313,b=log213,c=logA.a>c>b B.c>a>bC.a>b>c D.c>b>a6.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则7年后它们的数量为()A.300只 B.400只 C.600只 D.700只7.在直角坐标系中,函数y=x3ex8.已知函数f(x)=|lnx|,0<x≤e,2-lnx,x>e,若正实数a,b,c互不相等,且fA.(e,e2) B.(1,e2) C.(1e,e) D.(1e,e二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.[江苏高一阶段练习]下列等式不成立的是()A.log2(8-4)=log28-log24B.log28loC.log38=3log32D.log2(8+4)=log28+log2410.已知函数f(x)=2a-xA.a=1B.a=-1C.函数y=f(x+1)是偶函数D.关于x的不等式f(x)>1211.关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有()A.f(x)在区间(1,2)上单调递增B.y=f(x)的图象关于直线x=2对称C.若x1≠x2,f(x1)=f(x2),则x1+x2=4D.f(x)有且仅有两个零点三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.[广东云浮高一期末]若3a=6,b=log26,则1a+1b13.写出一个同时具有下列三个性质的函数:f(x)=.

①函数g(x)=f(x)-1为指数函数;②f(x)在R上单调递增;③f(1)>3.14.已知函数f(x)=x,x≤0,|2x-3|,x>0,g(x)=f(x)四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(1)求值:6423+9(2)若xlog32=1,求2x+2-x的值;(3)已知a=lg2,b=lg3,用a,b表示log518.16.(15分)设函数f(x)=2x-2,x∈[1,+∞),x17.(15分)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(9,2).(1)求实数a的值;(2)若g(x)=f(2-x)+f(2+x),求g(x)的定义域并判断其奇偶性和单调递增区间.18.(17分)[广东惠州高一期末]随着经济的发展,越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系,一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台,从建立起,得到了很多人的关注,也有越来越多的人成为平台的会员,主动在平台上进行学习,已知前3年平台会员的个数如下表所示(其中第4年为预估人数,仅供参考):建立平台第x年1234会员个数y/千人14202943(1)依据表中数据,从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台第x(x∈N*)年后平台会员人数y(单位:千人),并求出你选择模型的解析式:①y=tx+b(t>0);②y=d·logrx+s(d≠0,r>0且r≠1);③y=m·ax+n(m≠0,a>0且a≠1)(2)为控制平台会员人数盲目扩大,平台规定会员人数不得超过k·94x(k>0)千人,依据(1)中你选择的函数模型求k19.(17分)已知函数f(x)=logax+1x-1(a>0且(1)求函数f(x)的定义域.(2)若a=2,求函数y=f(2x)的值域.(3)是否存在实数a,b,使得函数f(x)在区间(b,32a)内的值域为(1,2)?若存在,求实数a,b的值;若不存在,请说明理由答案：1.B依题意可知,原不等式可转化为3-由于指数函数y=3x为增函数,所以-x+4>-2x,解得x>-4.故选B.2.C由x2-x>0,得x>1或x<0,故选C.3.D显然,函数f(x)的图象是连续的.∵f(-2)=3-2-(-2)2=-359<0,f(-1)=3-1-(-1)2=-23<0,f(0)=30-02=1>0,f(1)=3-1=2>0,f(2)=32-22=5>0,∴f(-1)·f(0)∴使函数f(x)有零点的区间是[-1,0].4.Ay=x3为奇函数,y=|x|,y=2|x|为偶函数,但在(0,+∞)单调递增,所以在(-∞,0)单调递减,而y=x-2为偶函数且在(-∞,0)单调递增.故选A.5.A因为函数y=3x为单调递增函数,所以a=313>30=1,即a>因为y=log2x为单调递增函数,所以b=log213<log21=0,即b<0因为y=log13x单调递减,所以log131<log131e<log1316.A将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)中,得100=alog2(1+1),解得a=100.所以当x=7时,y=100log2(7+1)=300.7.A令f(x)=x3ex+e-x,∵f∴f(x)为奇函数.当x>0时,f(x)>0,故选A.8.A由题意,函数f(x)=|画出函数的图象,如图所示.设a<b<c,则|lna|=|lnb|,即lna+lnb=0,可得ab=1,当x>e时,y=2-lnx单调递减,且其图象与x轴交于点(e2,0),所以abc=c,且e<c<e2,所以abc的取值范围为(e,e2).故选A.9.ABD解析对于A,因为log2(8-4)=log24=log222=2,log28-log24=log223-log222=3-2=1,所以log2(8-4)≠log28-log24,所以A错误;对于B,因为log28log24=log223log222=3对于C,因为log38=log323=3log32,所以C正确;对于D,因为log2(8+4)=log212=log23+log24=log23+2,log28+log24=log223+log222=3+2=5,所以log2(8+4)≠log28+log24,所以D错误.故选ABD.10.ACD由函数图象可知直线x=1为函数f(x)的图象的对称轴,即函数满足f(2-x)=f(x),则当x>1时,2-x<1,故22-x-a=2a-x,∴2-x-a=a-x,则a=1.同理当x<1时,2-x>1,故2a-2+x=2x-a,∴a-2+x=x-a,则a=1.综上,a=1,故A正确,B错误;将f(x)=2a-x,x≥1,2x-a,x<1的图象向左平移1个单位长度,即得函数y=f(x+1),x∈R的图象,易知y=f(x+1)的图象关于当x≥1时,f(x)=21-x,令21-x>12,解得x<2,故1≤x<当x<1时,f(x)=2x-1,令2x-1>12,解得x>0,故0<x<1,综上,0<x<2,即不等式f(x)>12的解集为(0,2),故D正确.故选11.ABD根据图象变换画出函数f(x)的图象如图,由图象知f(x)在(1,2)上单调递增,故A正确;函数图象关于直线x=2对称,故B正确;f(x1)=f(x2)=k,直线y=k与函数f(x)图象相交可能是4个交点,如果最左边两个交点横坐标分别是x1,x2,则x1+x2=4不成立,故C错误;f(x)的图象与x轴仅有两个公共点,即函数仅有两个零点,故D正确.故选ABD.12.1因为3a=6,所以a=log36,所以1a+1b=1log36+1log213.3x+1(答案不唯一)14.[0,34)函数g(x)=f(x)-12x+a存在3个零点,等价于函数f(x)的图象与直线y=12x-a有画出函数f(x)和y=12x-a的图象,如下图由图知,要使函数f(x)的图象和直线y=12x-a有3个交点,则-34<-a≤0,即0≤a<15.解(1)6423+9-12+(27125)

-13=(