10.1 复数及其几何意义 教案

10.1复数及其几何意义教案（含一题多解、技巧解题、高考分析及应用拓展）一、教学目标了解数系扩充过程（自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系），理解引进复数的必要性。掌握复数的核心概念（代数形式z=a+bi、实部、虚部、虚数单位i、虚数、纯虚数），能准确对复数进行分类。熟练运用复数相等的充要条件（实部相等且虚部相等）解决相关问题，理解复平面、实轴、虚轴的概念。掌握复数的几何意义（与复平面内点、平面向量的一一对应关系）及复数模的定义与计算方法，结合高考真题规律提升应试能力。二、教学重难点（一）教学重点复数的概念与分类（实数、虚数、纯虚数的判定）。复数相等的充要条件及应用，复数的几何意义（点、向量对应）。复数模的计算，高考常考题型（概念辨析、复数相等、模的计算）的解题思路与技巧。（二）教学难点纯虚数与非纯虚数的区分，复数模的几何意义理解。复数与复平面内点、向量的综合对应应用。高考中结合复数相等、模的计算、几何意义的综合题建模。三、教学过程（含例题、一题多解、技巧、高考分析）（一）知识回顾（5分钟）核心概念与法则：￮复数的代数形式：z=a+bi（a,b∈ℝ），其中i为虚数单位，满足i￮复数的分类：①实数（b=0）；②虚数（b≠0），其中纯虚数满足a=0且b≠0。￮复数相等：若z1=a+bi，z2=c+di（a,b,c,d∈ℝ￮复平面：x轴为实轴（表示实数），y轴为虚轴（表示纯虚数），复数z=a+bi与复平面内点Zab、向量￮复数的模：|z|=|a+bi|=a2+关键注意事项：￮复数的虚部是b（实数），而非bi，避免混淆“虚部”与“虚数部分”。￮纯虚数的判定需同时满足“实部为0”和“虚部不为0”，缺一不可。￮复平面内虚轴不包含原点（原点对应复数0，为实数），实轴上的点均表示实数。（二）考点考频及常考题型1.复数的概念与分类（考频：10年10考，全覆盖）①考频分析基础必考点，多在选择题第1-2题、填空题第1题出现，难度低（分值2-3分）。核心考查复数的实部、虚部识别，实数、虚数、纯虚数的判定。②常考题型示例：复数z=m+2+m−6i（A．-2B．6C．2D．-6答案：A解题核心：纯虚数需满足“实部为0且虚部不为0”，即m+2=0且m−6≠0，解得m=−2。2.复数相等的充要条件（考频：10年9考，近5年全覆盖）①考频分析核心考点，覆盖选择、填空、解答题基础问，分值3-4分，难度低-中档。核心考查利用“实部相等、虚部相等”建立方程组求解参数。②常考题型示例：若x+y−3+x−y−1i=3+3i（x,y∈A．x=3,y=3B．x=4,y=0C．x=3,y=0D．x=4,y=3答案：C解题核心：列方程组x+y−3=3x−y−1=3，解得x=3,y=03.复数的几何意义与模（考频：10年8考，近3年高频）①考频分析中档考点，多在选择题、填空题出现，分值2-4分。核心考查复数与复平面内点的对应关系，复数模的计算。②常考题型示例：复数z=3+4i在复平面内对应的点坐标为（），模为（）A．(3,4)，5B．(3,4)，7C．(4,3)，5D．(4,3)，7答案：A解题核心：复数a+bi对应点ab，模为a（三）经典例题解析（30分钟）例题1：复数的分类问题（基础题·一题多解）题目：求实数m的取值，使复数z=m解法1：定义直接判定法（常规法）步骤：a.（1）为实数：虚部为0，即m2−3m+2=0，解得m=1或b.（2）为虚数：虚部不为0，即m2−3m+2≠0，解得m≠1且c.（3）为纯虚数：实部为0且虚部不为0，即m2−2m=0m核心依据：直接根据复数分类的定义，通过实部、虚部的取值条件列方程或不等式求解。解法2：因式分解简化法（技巧法）步骤：a.因式分解相关表达式：m2−3m+2=m−1b.（1）实数：(m−1)(m−2)=0⇒m=1或m=2；c.（2）虚数：(m−1)(m−2)≠0⇒m≠1且m≠2；d.（3）纯虚数：m(m−2)=0(m−1)(m−2)≠0⇒m=0核心依据：通过因式分解快速判断表达式的正负性，简化求解过程，适合参数次数较高的情况。技巧解题：“复数分类三步法”技巧技巧：第一步看虚部（判断实数/虚数），第二步看实部（判断纯虚数），第三步验证参数取值是否满足“不为0”的条件，避免漏解。适用场景：所有复数分类题，高考选择题、填空题速解。例题2：复数相等与模的综合计算（中档题·一题多解）题目：已知复数z1=x+y−3+x−y−1i，解法1：先求参数再算模（常规法）步骤：a.由复数相等得x+y−3=3x−y−1=3，解得x=4b.代入z1=3+3i，计算模核心依据：先利用复数相等求出参数，再代入模的公式计算，逻辑直接。解法2：直接利用z1=z步骤：a.由复数相等知z1b.直接计算|z2|=核心依据：复数相等则模相等，跳过求参数步骤，快速得出结果，适合参数无关的模计算。技巧解题：“复数相等速用技巧”技巧：遇到复数相等且求模的问题，若已知其中一个复数的模，可直接利用“相等复数模相等”直接求解，无需单独求参数。适用场景：高考复数相等与模结合的选择题、填空题。（四）高考真题解析（15分钟）（2025·全国一卷，3分）1+5iiA．-1B．0C．1D．6答案：C解析：展开得i+5i2=−5+i（2021·浙江，3分）已知a∈ℝ，1+aii=3+i，则A．-1B．1C．-3D．3答案：C解析：展开左边得i+ai2=−a+i（2024·江苏苏州，3分）复数z=−2+3i的实部和虚部分别是（）A．-2，3B．-2，3iC．2，3D．2，3i答案：A解析：复数a+bi的实部为a，虚部为b，故实部-2，虚部3。（2023·山东青岛，3分）若复数z=m−1+m+2A．1B．-2C．-1D．2答案：A解析：纯虚数满足实部为0、虚部不为0，即m−1=0且m+2≠0⇒m=1。（2022·云南昆明，3分）复数z=4−3i在复平面内对应的点坐标为（）A．(4,3)B．(4,-3)C．(-4,3)D．(-4,-3)答案：B解析：复数a+bi对应复平面内点ab（2020·广西南宁，3分）复数z=1+i的模为（）A．1B．2C．2D．2答案：B解析：|z|=1（2024·河北，3分）若x+2y−i=6x+x−yi（x,y∈A．2B．3C．4D．5答案：C（2023·四川成都，3分）复平面内表示复数z=−3+2i的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B解析：对应点(-3,2)，横坐标负、纵坐标正，位于第二象限。（2021·黑龙江大庆，4分）已知复数z=1−i，则z（共轭复数）的模为（）A．1B．2C．2D．3答案：B解析：共轭复数z=1+i，模为1（2020·海南海口，3分）下列复数中为纯虚数的是（）A．3+2iB．3−2iC．−2iD．3答案：C解析：纯虚数满足实部为0、虚部不为0，只有−2i符合。四、高考命题规律总结（10分钟）考查题型：￮基础题（2-3分）：复数的概念（实部、虚部）、分类（实数、虚数、纯虚数）、复数相等、模的计算（选择/填空）。￮中档题（3-4分）：复数的几何意义（复平面内点的位置）、共轭复数的模、复数与向量的对应（填空/解答题基础问）。￮高档题（4-6分）：复数与模的几何意义、向量的综合应用（解答题中档问）。命题趋势：￮从“纯概念”到“简单应用”：高考题逐渐侧重复数相等、模的计算、几何意义的基础应用。￮强调“基础核心”：重点考查复数的基本概念和运算，避免复杂推导，注重基础得分。￮结合“数形结合”：复数的几何意义（点、向量对应）成为高频考点，体现数形结合思想。解题技巧总览：￮基础题：定义验证法（复数分类）、方程组法（复数相等）、公式法（模的计算）。￮中档题：坐标对应法（复数与复平面内点）、向量转化法（复数与向量）。￮高档题：几何意义法（模的几何意义）、综合对应法（复数-点-向量联动）。五、课堂练习（高考真题，10分钟）（2024·云南昆明，3分）复数z=5−4i的虚部是（）A．-4B．4C．-4iD．4i答案：A（2023·广西南宁，3分）若复数z=m+3+m−1A．1B．-3C．-1D．3答案：A（2022·贵州贵阳，3分）复数z=2+3i的模为（）A．5B．13C．5D．13答案：B（2021·甘肃兰州，4分）若x+y+1−x−y+2i=0（x,y∈ℝ），则答案：−3/2；1/2（2020·海南海口，3分）复平面内表示复数z=1−2i的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D六、课堂小结（5分钟）核心知识：复数的概念与分类、复数相等的充要条件、复数的几何意义（点、向量对应）、复数模的计算。解题方法：一题多解（常规法+技巧法）、技巧解题（定义验证、方程组求解、模的速算）。高考策略：基础题保分（熟练掌握概念和基础运算），中档题稳分（规范列方程组、准确对应坐标），高档题突破（灵活运用几何意义）。七、课后作业（分层设计）基础层：完成教材习题10.1中所有概念辨析、复数分类、模的计算题目；完成课堂练习中未讲解的真题。提高层：完成2021-2024高考复数及其几何意义相关真题汇编（侧重综合型题型）；整理错题本，分析错误原因（如虚部概念混淆、复数相等条件遗漏）。拓展层：编写3道复数综合题（含分类、相等、模的计算），附上解答过程；尝试用向量知识解释复数模的几何意义。八、教学反思需关注学生对“虚部”概念的理解偏差，部分学生易将虚部误认为“bi”，需通过对比练习（如复数3+2i的虚部是2而非2i）强化。纯虚数的判定是易错点，学生容易忽略“虚部不为0”的条件，需反复强调“实部为0且虚部不为0”的双重要求。复数与复平面内点、向量的对应关系需通过图形辅助理解，可借助坐标系画图演示，帮助学生建立数形结合思想。部分学生对复数模的几何意义理解不足，需结合向量长度强化记忆，明确“模是点到原点的距离”。课堂可增加小组讨论环节（辨析易混概念），提升学生参与度；课后可布置实践类作业（在复平面内画出指定复数对应的点），深化知识应用。课后测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.[福建三明三元月考]已知复数z=(1-i)+λ(1+i)是纯虚数,则实数λ=()A.-2 B.-1C.0 D.12.[新高考Ⅰ卷,2]若i(1-z)=1,则z+z=()A.-2 B.-1C.1 D.23.[福建宁德蕉城模拟]设a∈R,若复数1-i2023A.-13 B.-3 C.134.复平面内的平行四边形OABC的顶点A和C(O是坐标原点)对应的复数分别为4+2i和-2+6i,则点B对应的复数为()A.2+6i B.2+8iC.6+2i D.8+2i5.[福建漳州期末]已知z1=a+i,z2=1+i,a∈R,若z1z2是纯虚数,则z1z2+z1z22+z1z23+…+A.1 B.-1 C.i D.-i6.已知复数z满足|z-i|=1,则|z-3-5i|的最大值是()A.8 B.7 C.6 D.57.定义复数的一种运算z1*z2=|z1|+|z2|2(等式右边为普通运算),若复数z=a+bi,且正实数a,A.92 B.322 C.38.已知z的共轭复数z=1+3i,且z1-i-z0=|z-i|,则|z0|的最大值为(A.5+17 C.217 D.25二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知i为虚数单位,复数z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,则实数a的值为()A.0 B.1 C.-1 D.210.[湖北荆州期中]已知复数z1=1-i,z2=2-i,z3=2+2i在复平面内对应的点分别为A,B,C,且O为复平面内的原点,则()A.z1+z2的虚部为-2iB.z2-z3为纯虚数C.OA⊥OCD.以|OA|,|OB|,|OC|为三边长的三角形为钝角三角形11.已知z1,z2是复数,则下列结论正确的是()A.若z12+z2B.|z1-z2|=(z1+z2)2-4z1z2C.|z12|=|zD.非零复数z3,满足z1z3=z2z3,则z1=z212.已知实数x,a,b和虚数单位i,定义:复数z0=cosx+isinx为单位复数,复数z1=a+bi为伴随复数,复数z=z0z1=f(x)+g(x)i为目标复数,目标复数的实部f(x)和虚部g(x)分别为实部函数f(x)和虚部函数g(x),则下列说法正确的有()A.f(x)=acosx-bsinxB.g(x)=asinx-bcosxC.若f(x)=2sinπ3-x,则a=3,b=-1D.若a=3,b=-1且g(x)=65,则锐角x的正弦值sinx=三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.[陕西西安长安期末](1-i14.在复平面内,复数6-5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是.

15.[重庆开州期末]若3+2i是方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c∈R且a≠0)的一个根,则b+ca16.复平面上两个点Z1,Z2分别对应两个复数z1,z2,它们满足下列两个条件:①OZ1⊥OZ2且z2=z1·2i;②两点Z1,Z2连线的中点对应的复数为3+4i,则△Z四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知复数z=m-3m+3+(m2-(1)若复数z是纯虚数,求实数m的值;(2)若z在复平面上对应的点位于第四象限,求实数m的取值范围.18.(12分)已知z为复数,z+2i和z2-(1)求复数z和|z|;(2)若z1=z+1m-19.(12分)已知复数z满足|z|+z-8-4i=0(i为虚数单位).(1)求复数z;(2)若m∈R,ω=zi+m,求|ω|的取值范围.20.(12分)[江西赣州赣县期末]已知复数z=a+i(a∈R),i为虚数单位.(1)若|z|=1,求a的值;(2)若z1+i为实数,求a(3)若z是关于x的实系数方程x2+bx+2=0的一个复数根,求a,b的值.21.(12分)如图,已知复平面内平行四边形ABCD中,点A对应的复数为-1,AB对应的复数为2+2i,BC对应的复数为4-4i.(1)求点D对应的复数;(2)求平行四边形ABCD的面积.22.(12分)设复数z1=1-i,z2=cosθ+isinθ,其中θ为锐角.(1)若复数z=z2z1在复平面内对应的点在直线y=2x(2)求|z1+z2|的取值范围(其中z1是z1参考答案课后测评1.Bz=(1+λ)+(λ-1)i,因为复数z=(1-i)+λ(1+i)是纯虚数,所以1+λ=0,且λ-1≠0,解得λ=-1.2.D∵i(1-z)=1,∴z=i-1i=1+i,∴z=1∴z+z=2.故选D.3.A复数1-i2023ai=1+iai=4.B∵OB=OA+OC,∴点B对应的复数为4+2i+(-2+6i)=2+8i5.Bz1=a+i,z2=1+i,则z1z2=(a+i)(1-i)(1+i)(1-i)=a+12+1-a2i,∵z1z2是纯虚数,∴a+12=0,1-a2≠0,解得a=-1,∴z1z2=i,∵i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=0,∴z1z26.C设z=a+bi(a,b∈R),∵|z-i|=1,∴|z-3-5i|的最大值即为圆a2+(b-1)2=1的圆心(0,1)与点(3,5)的距离加半径1,即为(0-3)2+(1-5)2+1=5+1=6,7.Bz*z=|z|+|z|2=2a2+b22=a2+b2=(a+b8.A∵z=1+3i,∴z=1-3i,则z-i=1-4i,z1-i=(1-3i)(1+i)2=2-i,∴|z0-(2-i)|=17.设z0=x+yi(x,y∈R),则点P(x,y)的集合是以(2,-1)为圆心,17为半径的圆9.BC因为复数z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,所以a2+4=4+1,解得a=±1,故选BC.10.BCD对于A项,因为z1+z2=3-2i,所以z1+z2的虚部为-2,所以A错误;对于B项,因为z2-z3=-3i,所以z2-z3为纯虚数,所以B正确;对于C项,因为OA=(1,-1),OC=(2,2),所以OA·OC=0,所以OA⊥OC,所以C正确;对于D项,由已知可得|OA|=|z1|=2,|OB|=|z2|=5,|OC|=|z3|=22,且|OA|2+|OB|2=7<8=|OC|2,所以,|OA|2+|OB|2-|OC|2<0,所以D11.CD对于A,设z1=2-i,z2=2+i,则z12=3-4i,z22=3+4i,满足z12+z对于B,设z1=2-i,z2=2+i,则|z1-z2|=2,(z1+z2)2-4z1z2=-4,故B错误;对于C,设z1=a+bi(a,b∈R),则z12=a2-b2+2abi,|z12|=(a2-b2)2+4a2b2=(a2+b2)2=a2对于D,因为z1z3=z2z3,且z3是非零复数,所以两边同时除以z3得z1=z2,故D正确.故选CD.12.AD因为z=z0z1=f(x)+g(x)i=(acosx-bsinx)+(asinx+bcosx)i,所以f(x)=acosx-bsinx,g(x)=asinx+bcosx,故A正确,B错误;因为f(x)=2sinπ3-x=3cosx-sinx,所以a=3,b=1,故C错误;因为g(x)=asinx+bcosx=3sinx-cosx=2sinx-π6=65,所以sinx-π6=35,又因为x为锐角,则x-π6∈-π6,π3,所以cosx-π6=1-sin2(x-π6)=45,故sinx=sinx-π6+π6=sinx-π6cosπ6+cosx-π13.1-3i(1-i)(-2+i14.2-i∵复数6-5i,-2+3i在复平面内对应的点分别为A,B,∴A(6,-5),B(-2,3).∵C为线段AB的中点,∴C(2,-1),∴点C对应的复数是2-i.15.73+2i是方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c∈R,且a≠0)的一个根,可得复数3-2i是方程的另一个根,则ca=(3+2i)(3-2i)=13,-ba=3+2i+3-2i=6,ba=-6,则b+ca=16.20设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=z1·2i=(a+bi)·2i=-2b+2ai,∴Z1(a,b),Z2(-2b,2a).又两点Z1,Z2连线的中点对应的复数为3+4i,∴a-2∴|OZ1|=(225|OZ2|=(85又OZ1⊥OZ2,∴△Z1OZ2的面积为S=1217.解(1)复数z是纯虚数,则m-3m+3=0且