实际问题与二次函数课件2026-2027学年数学人教版九年级上册

第二十六章二次函数26.4实际问题与二次函数第二十六章二次函数26.4实际问题与二次函数第1课时最大高度和最大面积问题学习目标学习重难点能应用二次函数的性质解决最大高度问题和最大面积问题.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.难点重点（1）分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（2）会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.（3）能应用二次函数的性质解决最大高度问题和最大面积问题.导入新知知识点二次函数与几何图形面积的最值①问题

从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

可以出，这个函数的图象是一条抛物看线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.

也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度.h＝30t-5t2(0≤t≤6)即小球运动的时间是3s时，小球最高，且最大高度是45m.归纳

一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y=ax2

+

bx+c的顶点是最低（高）点，也就是说当时，二次函数

y=ax2

+

bx+c有最小（大）值.如何求出二次函数y=ax2

+

bx+c的最小（大）值？典型例题例1

在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)之间的关系式是h=-4.9t2+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点?运动员跳水过程中重心的最大高度是多少?(结果保留小数点后一位.)h=-4.9t2+2.8t+11,当解：对于二次函数

因此，运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m.例2

如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大?最大面积是多少?解:设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为(20-2x)m，矩形菜园的面积S=x(20-2x),即S=-2x2+20x（0＜x＜10）.

因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50m2.变式

如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽分别为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少?解：根据题意设矩形菜园平行于墙的一边长为lm，菜园的面积为Sm2，

因为0<l≤18，所以l=18时，S取得最大值，即当矩形的长为21m，宽是18m时，菜园的面积最大，最大面积为378m2.

当l<30时，S随l

的增大而增大，归纳1用二次函数解决实际问题的一般步骤1.审：仔细审题，厘清题意.2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数.3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式.4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题.5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.归纳2二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值；3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内.

巩固练习已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边分别为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？解：设直角三角形的一条直角边为

x，则另一直角边为8-x．直角三角形的面积是S．根据题意，得配方，得

所以当x=4时，即两条直角边各为4时，此时三角形的面积最大，最大面积是8．随堂演练1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是

.2.如图2，在△ABC中，∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm，动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过

秒，四边形APQC的面积最小.图1ABCPQ图233.如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+BD=10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？解：设AC=x,四边形ABCD面积为y,则BD=(10-x).即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大.课堂小结最大高度、最大面积问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几何图形的面积公式依据最值有时不在顶点处，需要利用函数的增减性来确定第二十六章二次函数26.4实际问题与二次函数第2课时最大利润问题学习目标学习重难点能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.弄清商品销售问题中的数量关系及自变量的取值范围.难点重点（1）能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（2）弄清商品销售问题中的数量关系及自变量的取值范围.导入新知知识点1利润问题中的数量关系①探究销售问题中的数量关系：(1)销售额=售价×销售量；(2)单件利润=售价-进价；(3)利润=销售额-总成本=单件利润×销售量.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：若调整单价（单价为整数），每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？销售模式：降价或涨价都可以哦！知识点2如何定价利润最大①探究某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？模式一：涨价销售①每件涨价x元，每星期售出商品的利润

y元，则每件商品的利润为(20+x)元，每星期卖出(300-10x)件，所得的利润为y=(20+x)(300-10x),即y=-10x2+100x+6000.②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，销量不能为负，故300-10x≥0，且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤30.③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10x2+100x+6000，当

时，y=-10×52+100×5+6000=6250.

即定价为65元时，最大利润是6250元.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？模式二：降价销售①每件降价x元，每星期售出商品的利润

y元，则每件商品的利润为(20-x)元，每星期卖出(300+20x)件，所得的利润为y=(20-x)(300+20x),即y=-20x2+100x+6000.探究②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格下降，销量上升，因此售价不能低于成本，故20-x≥0，且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤20.③涨价多少元时，利润最大，是多少？y=-20x2+100x+6000，当

时,即定价为57.5元时，y=-20×(2.5)

2+100×2.5+6000=6125,最大利润是6125元.综合涨价和降价两种情况可知，定价为65元时，利润最大.归纳求解最大利润问题的一般步骤(1)建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”.(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围.(3)在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式法求出最大利润，也可以画出函数的图象，利用图象的性质求出.

1.超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加x元，每天售出y件．

（1）请写出y

与x之间的函数表达式；（2）当x

为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利w

元，当x为多少时w最大，最大值是多少？解：（1）y=50-

.（2）由题意得

（40＋x）=2250，解得x1=10，x2=50，因为x+40≤60，所以x≤20，所以x=10.（3）w=（40+x）=-（x-30）2+2450，因为-<0，所以当

x<30时，w

随x的增大而增大.因为0<x≤20，所以x=20时，w最大值=2400．巩固练习y=(160+10x)(120-6x)2.某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间，则当x=2时，y有最大值，且y最大=19440.答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最大收入为19440.=－60(x－2)2+19440.∵x≥0，且120－6x＞0，∴0≤x＜20.这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元).随堂演练1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为

元.252.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为

.每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为

.(以上关系式只列式不化简）.

y=2000-5(x-100)w=[2000-5(x-100)](x-80)3.某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？xy516O7解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75∵-1<0,对称轴x=10,∴当x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，25元；(2)由对称性知y=16时，x=7和13.故销售单价在7≤x≤13时，利润不低于16元.课堂小结最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.确定自变量取值范围涨价：要保证销售量≥0；降价：要保证单件利润≥0.确定最大利润利用配方法或公式法求最大值或利用函数图象和性质求出.第二十六章二次函数26.4实际问题与二次函数第3课时抛物线形问题学习目标学习重难点掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．难点重点（1）掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．（2）利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．（3）能运用二次函数的图象与性质进行决策．课时导入前面我们已经学习了利用二次函数解决几何最值问题，最大利润问题，本节课我们继续学习利用二次函数解决拱桥、隧道、以及一些运动类的“抛物线”形问题.导入新知知识点1利用二次函数解决实物抛物线形问题①

一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m.突降暴雨后水面上升1m时，此时水面宽度为多少？分析：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际建筑数学化，数字化；(3)明确具体的数量关系，如函数解

析式；(4)分析所求问题，代入解析式求解。探究解：

如果以下降1m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.

与前面方法的结果相同吗？yO(5,1)(-5,1)水面x(0,5)解：

虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结果是相同的.解决桥拱形状为抛物线形的实际问题时，一般分为以下四个步骤：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标；(3)恰当选用二次函数的解析式形式，用待定系数法求出抛物线的解析式;(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到实际问题的解.注意：同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式.通常应使已知点在坐标轴上.归纳知识点2利用二次函数解决运动中抛物线形问题②如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2米的点A处发出,把球看成点,其运行的高度y(米)与运行的水平距离x(米)满足解析式y=a(x-6)2+h,已知球网与点O的水平距离为9米,高度为2.43米,球场的边界距点O的水平距离为18米.(1)当h=2.6时,求y与x的函数解析式.(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由.(3)若球一定能越过球网,又不出边界.则h的取值范围是多少?(1)∵h=2.6,球从O点正上方2m的A处发出,∴抛物线y=a(x-6)2+h过点(0,2),∴2=a(0-6)2+2.6,解得:a=-,故y与x的函数解析式为y=-(x-6)2+2.6.(2)当x=9时,y=-(x-6)2+2.6=2.45>2.43,所以球能过球网;当y=0时,-(x-6)2+2.6=0,解得:x1=6+2>18,x2=6-2(舍去),故会出界.解：(3)当球正好过点(18,0)时,抛物线y=a(x-6)2+h还过点(0,2),代入解析式得此时二次函数解析式为y=-(x-6)2+,

此时球若不出边界，则h≥；当球刚能过网,此时函数图象过(9,2.43),

抛物线y=a(x-6)2+h还过点(0,2),代入解析式得此时球要过网，则h≥,故若球一定能越过球网,又不出边界,h的取值范围是:h≥-.归纳

解决抛物线形运动问题时,要会根据图的特点,建立恰当的坐标系,由抛物线图象读出最大高度和最远距离(一般以水平面为x轴),然后借助抛物线上一些特殊点的坐标求出函数解析式,并解决问题.巩固练习飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时t(单位：s)的函数解析式是y=60t-1.5t2.在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是

m.24解：当y取得最大值时，飞机停下来，则y=60t-1.5t2=-1.5(t-20)2+600，当t=20时，y取得最大值，即飞机着陆后滑行20s时，滑行距离为600米．因此t的取值范围是0≤t≤20，当t=16时，y=576，所以最后4s滑行的距离是600-576=24(m)．随堂演练1.发射一枚炮弹，经过x

秒后炮弹的高度为y

米，x，y

满足y=ax2+