数学模块基础 1

平面向量第5章1目录5.1平面向量的概念及其线性运算5.2平面向量的坐标表示5.3平面向量的数量积2教学要求：1.能通过物理学中的实例，了解向量的实际背景；了解平面向量与有向线段的有关概念；了解单位向量、零向量、相等向量、负向量（相反向量）和平行向量（共线向量）的含义.2.会进行向量的线性（加法、减法、数乘）运算，理解其运算的几何意义.3.了解向量的坐标表示，知道向量的坐标与点的坐标之间关系.会用坐标进行向量的线性（加法、减法、数乘）运算，初步了解向量坐标运算的几何应用.3教学要求：4.掌握两个非零向量平行（共线）的充要条件.5.了解平面向量数量积（内积）的含义及物理意义，了解向量数量积的基本性质.会进行向量数量积的运算.6.了解向量数量积的几何应用，掌握两点间距离公式和两个向量垂直的充要条件.45.1平面向量的概念及其线性运算5实例考察从本章引言中我们知道，速度是既有大小又有方向的量.你还能举出这样的量吗?位移如图所示，飞机从北京飞到重庆的位移s1

的大小是1300km，方向是西南方向；飞机从重庆飞到北京的位移s2

的大小也是1300km，方向是东北方向.6力如图a所示，物体受到的重力G

是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力就越大；如图b所示，木块在水中受到的浮力F

是竖直向上的，木块浸在水中的体积越大，它受到的浮力也就越大.7平面向量的概念我们把类似位移、速度、力等既有大小又有方向的量称为向量，而把那些只有大小没有方向的量（如长度、时间、年龄等）称为数量.处在平面内的向量常被称为平面向量.本章讨论的向量都是平面向量.在实例考察关于力的实例中，重力G、浮力F

都是用带箭头的线段表示的.线段的长度表示力的大小，线段的箭头方向表示力的方向.由于带箭头的线段能直观形象地反映向量的大小和方向，因此，我们通常用这种带箭头的线段来表示向量，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向.8如图a所示，A，B

是线段的两个端点.如果向量的方向是从A

到B（A

为起点，B

为终点），则该向量可记作，读作“向量AB”.如果方向相反（B

为起点，A

为终点），则该向量可记作，读作“向量BA”.显然，

与

的大小相等且方向相反.9用带箭头的线段表示一个已知向量时，线段的起点可以在平面上任何位置，被限定的只是终点相对于起点的位置.如上图b所示，一个水平向右、大小为50N的力F

可以用

来表示，也可以用

来表示，即向量只与大小和方向有关，而与起点选取的位置无关.这样的向量常被称为自由向量.本章讨论的向量都是自由向量.10向量也可以用小写英文字母a，b，c，···表示.这些字母印刷时用黑体，手写则应写成

的形式.向量有两个基本要素：大小和方向.向量的大小称为向量的模（或长度），向量，a，的长度分别记作丨

丨，丨

a丨，丨

丨.把模为1的向量称为单位向量.我们把模为零的向量称为零向量，记作0.零向量的方向是任意的.11一排学生一起前进（如图所示），在这一过程中，他们的位移方向相同；飞机在北京和重庆之间往返的位移方向相反.我们把方向相同或相反的非零向量称为平行向量.如图所示，a，b，c是三个平行向量，可记作a∥b∥c.我们规定：零向量与任意向量平行，即0∥a.12模相等且方向相同的向量称为相等向量.一排同学一起齐步前进，他们的位移就是相等向量.与向量a

模相等且方向相反的向量b

称为向量a

的负向量（或相反向量），记作b=-a.我们规定：零向量的负向量仍是零向量，即-0=0.13如图所示，a，b，c

是一组平行向量，在平面内任意地作一条平行于上述向量的直线l.任选l上的一点O，可以作=a，=b，=c.这就是说，任一组平行向量都可以被移到同一条直线上.所以，我们也将平行向量称为共线向量.14平面向量的加减运算如图所示，我们用字母A，B，C分别表示北京、上海、广州三个城市所在的位置.如果一架飞机从A处（北京）飞到B处（上海），然后再从B处飞到C处（广州），那么这架飞机两次（飞行）位移

和

的和，与飞机从A处直接飞到C处的位移

相同.我们把位移

称为位移

与

的和，记作15如图所示，已知向量a，b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量

称为a

与b

的和向量，记作a+b，即求向量和的运算称为向量的加法，上述这种求两个向量和的方法称为向量加法的三角形法则.16如图所示，四边形ABCD是平行四边形，因为，所以

可见，

与

的和正好是以向量，为邻边的平行四边形的对角线AC

表示的向量.这种求不共线的两个向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则.17对于向量加法，我们规定：1.a+0=0+a=a.2.a+（-a）=0.向量加法还满足下列运算律：1.a+b=b+a.2.（a+b）+c=a+（b+c）.通常我们将（a+b）+c记作a+b+c.18下面我们讨论向量的减法运算.我们知道，减去一个数等于加上这个数的相反数.同样地，我们定义a-b=a+（-b），即减去一个向量等于加上这个向量的负向量，所得到的向量称为a与b的差向量.求向量差的运算称为向量的减法.19由向量减法的定义，起点相同的两个向量

和

的差向量应为由此，我们可以得到a-b

的作图方法.20如图所示，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a-b.即起点相同的两个向量a

与b的差a-b可以表示为从向量b

的终点指向向量a的终点的向量.21向量的数乘运算如图所示，桌面上放有质量相等的4个铁球，每个铁球对桌面的压力F是相等的，则桌面受到的总压力是22如图所示，我们作出则我们把F+F+F+F

记作4F.可以看出，向量4F

的方向与F

的方向相同，向量4F

的模是F

的模的4倍，即23实数与向量相乘的运算称为向量的数乘运算.对任意向量a，b，设λ，μ为实数，有1.λ（μa）=（λμ）a.2.（λ+μ）a=λa+μa.3.λ（a+b）=λa+λb.由数乘向量和共线向量的概念，可以得到一般地，若向量c=λa+μb（λ，μ均为实数），则称向量c

可由向量a，b

线性表示.我们把向量的加法运算、减法运算和数乘运算统称为向量的线性运算.245.2平面向量的坐标表示25实例考察向量除了可用符号和几何图形表示外，还可用坐标表示，因此可以用代数运算的方法来讨论有关向量的问题.如图a所示，一个物体受到力F1

和F2

的作用：丨F1

丨=45N，F1

的方向水平向右；丨F2丨=60N，F2

的方向竖直向上.请按图b所示建立平面直角坐标系，并尝试使用F1

和F2

的终点坐标，求合力F

的大小和方向.26向量的坐标表示如上图b所示，力F1=，F2=，它们的起点为同一个点O，的终点M

的坐标为（45，0），

的终点N的坐标为（0，60）.根据向量加法的平行四边形法则，两个力F1，F2

的合力F=的终点A的坐标为（45，60）.因此，合力F

的大小和方向分别为可以看出，在平面直角坐标系中，当向量的起点位于坐标原点时，向量的长度和方向就由终点的坐标唯一确定.27如图a所示，在平面直角坐标系中，对于给定的一个向量a，我们总可以通过平移，使向量a

的起点位于坐标原点O，这时向量a的终点A

是唯一确定的.根据平行四边形法则，向量a=可以看成是两个向量

与

的和.即28设点A

的坐标是（x，y），向量i，j分别是方向与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量.则所以29我们把用xi+yj

来表示向量的形式称为向量a

的代数形式.把有序实数对（x，y）称为向量a

的坐标，记作这种用坐标（x，y）来表示向量a

的形式称为向量a

的坐标形式.而且，向量a的模为显然，向量

终点A

的坐标（x，y），就是向量

的坐标；反之亦然.30如上图b所示，对于直角坐标系中任一向量，起点A的坐标是（x1，y1），终点B的坐标是（x2，y2）.由向量的减法，得到根据向量的代数形式，可知所以

=（x2-x1，y2-y1），即31向量的坐标运算在平面直角坐标系中，已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j）=（x1+x2）i+（y1+y2）j，即a+b=（x1+x2，y1+y2）.类似地，有a-b=（x1-x2，y1-y2），λa=（λx1，λy1）.32由此，我们得到：设a=（x1，y1），b=（x2，y2）.当a≠0时，如果a∥b，那么存在一个实数λ，使得b=λa，则33当λ≠0时，上述方程组消去λ，得x1y2-x2y1=0.当λ=0时，x2=y2=0，同样有x1y2-x2y1=0.上述过程也可进行逆向推导.由此，我们得到：345.3平面向量的数量积35实例考察由物理学知识可知，力做的功等于力与受力物体在力的方向上移动距离的乘积.如图所示，某同学在推小车，水平方向位移为s，推力F

的方向与地面夹角为45°.那么，他做的功W等于力F

在小推车位移方向上的分量丨F丨cos45°与小推车移动的距离s

的乘积，即W=丨F丨cos45°·丨s丨=丨

F丨丨s丨cos45°.36平面向量的数量积在实例考察中，某同学做的功W=丨

F丨丨

s丨

cos45°，在这里，丨F丨是推力的大小，丨s丨是水平位移的大小，45°是力F

和位移s的夹角，我们把W

称为向量F

和s的数量积，它是一个数量.如图所示，对于非零向量a和b，作=a，=b，称射线OA、OB

所成的最小正角为向量a

和b

的夹角，夹角一般用θ表示.当向量a

和b

同向时，θ=0；当向量a

和b反向时，θ=π.因此，0≤θ≤π，即θ∈[0，360°].37我们把丨a丨丨b丨cosθ称为向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即对于两个非零向量a，b，由数量积的定义，有如下基本