2026年田忌赛马数学测试题及答案

2026年田忌赛马数学测试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.齐威王与田忌各出三匹马，每匹马速度固定且互不相同。若田忌采用最优策略，其获胜概率为A.1/2 B.2/3 C.5/6 D.12.将齐威王的三匹马速度记为W1>W2>W3，田忌的三匹马速度记为T1>T2>T3。若田忌只能按固定顺序出场，则田忌最多可赢得的场次为A.0 B.1 C.2 D.33.若双方各增加一匹同等水平的“中等马”，变成四对四比赛，田忌最优策略下获胜场次期望为A.1 B.2 C.3 D.44.设田忌每匹马获胜得1分，失败得0分，平局得0.5分。在原始三对三情形下，田忌最优策略下的期望得分是A.1 B.1.5 C.2 D.2.55.若齐威王的三匹马速度成等差数列，公差为d，田忌的三匹马速度也成等差数列，公差为2d，则田忌最优策略下必胜的场次为A.0 B.1 C.2 D.36.把“田忌赛马”模型抽象为3×3矩阵博弈，田忌为行玩家，齐威王为列玩家，矩阵元素为田忌净胜场数。该博弈的值为A.0 B.1 C.2 D.37.若允许田忌在赛前观测到齐威王第一场的出马顺序，再决定自己三匹马的出场次序，则田忌获胜概率将A.降为0 B.不变 C.提高到1 D.提高到2/38.在原始规则下，若田忌误把最快马T1对齐威王最快马W1，则田忌最多还能赢得的场次为A.0 B.1 C.2 D.39.若比赛改为“五局三胜”制，双方各出五匹马，速度仍全序且已知，田忌最优策略下获胜所需最少场次为A.3 B.4 C.5 D.610.把田忌赛马问题转化为图论中的最大匹配问题，则图的边权表示A.马匹速度差 B.田忌获胜1否则0 C.净胜场数 D.随机变量期望二、填空题（每题2分，共20分）11.田忌最优策略的核心思想是_________。12.若齐威王出马顺序固定为W1→W2→W3，田忌最优应对顺序为_________。13.当双方马匹速度集合完全未知且只能在线决策时，该问题退化为_________问题。14.若田忌三匹马速度分别为10,6,2，齐威王为9,7,5，则田忌最优净胜场数为_________。15.把三匹马扩展为n匹马，最优策略时间复杂度为_________。16.若引入平局概率p∈(0,1)，则田忌期望得分随p增大而_________。17.在零和博弈框架下，田忌赛马的价值矩阵行数等于_________。18.若齐威王采用随机策略，田忌最优策略对应的期望获胜场次为_________。19.若比赛规则改为“净胜场多者赢”，则田忌最优策略与原始规则_________。20.当马匹速度为实数区间[0,1]上均匀随机变量时，田忌最优策略的期望净胜场数为_________。三、判断题（每题2分，共20分）21.田忌赛马问题中，先出马的一方总是处于劣势。22.若田忌三匹马速度均低于齐威王对应马，则田忌无法赢得任何一场。23.在完全信息下，田忌最优策略可通过贪心算法得到。24.若允许田忌中途更换马匹，则问题转化为动态规划。25.田忌赛马模型可用来解释广告竞价中的次价密封拍卖。26.当马匹速度为离散有限值时，该博弈一定存在纯策略纳什均衡。27.若齐威王也采取最优策略，则双方期望净胜场数为0。28.田忌赛马的最优策略对马匹速度分布具有鲁棒性。29.若引入“疲劳系数”，马匹速度随场次线性递减，则原策略仍最优。30.田忌赛马问题可视为一种特殊的两部图最大权匹配。四、简答题（每题5分，共20分）31.简述田忌赛马问题转化为排序博弈的基本步骤。32.说明为何在完全信息下田忌最优策略只需关注“错位匹配”而无需随机化。33.给出当双方各出四匹马时，田忌最优策略的构造思路。34.分析若齐威王速度分布改为正态分布N(μ,σ²)对田忌策略的影响。五、讨论题（每题5分，共20分）35.讨论在在线学习框架下，田忌面对未知对手速度序列时的遗憾界(Regret)如何量化。36.探讨若引入“信息成本”，即田忌每观测一次对手出马需支付费用，如何平衡信息获取与收益。37.将田忌赛马与拍卖理论中的“最优拍卖设计”进行类比，分析其异同。38.考虑多轮重复赛马，双方可基于历史结果更新信念，讨论贝叶斯纳什均衡的收敛性。答案与解析一、单项选择题1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 6.B 7.C 8.B 9.A 10.B二、填空题11.以弱耗强、错位竞争12.T2→T3→T113.在线排序/secretary14.115.O(nlogn)16.单调不减17.3!=618.1.519.相同20.0.5三、判断题21.F 22.T 23.T 24.T 25.F 26.T 27.T 28.F 29.F 30.T四、简答题31.将双方马匹速度全序化，构造胜负矩阵；把出场顺序视为排列，目标为求使净胜场最大的排列，转化为在3!空间中搜索最大权匹配，等价于排序博弈的纯策略最优响应。32.因信息完全且胜负确定，随机化不会增加期望收益；错位匹配可确保至少两场必胜，故纯策略已足够。33.四匹马时采用“隔位对位”：将己方第1、3匹对敌方第2、4匹，己方第2、4匹对敌方第1、3匹，通过贪心验证可得最大净胜场2。34.正态分布带来不确定性，田忌需计算胜率积分，采用随机优势比较：若己方马i对敌方马j的胜率大于0.5则安排对阵，最终策略退化为概率型匹配，期望净胜场随σ增大而减小。五、讨论题35.遗憾界可定义为最优固定策略累积收益与在线策略之差；利用指数权重算法可得上界O(√(Tlogn))，其中T为轮数，n为排列数。36.建立部分观测马尔可夫决策过程，状态为信念分布，动作为观测或盲赛；通过动态规划求解值函数，临界信息成本等于期望边际收益递减点。37