4.3 统计模型 教案

4.3统计模型教案（含一题多解、技巧解题、高考分析及应用拓展）一、教学目标能通过收集两个相关联变量的数据绘制散点图，直观判断变量间的相关关系类型（正相关、负相关）。熟练掌握线性回归方程的构建方法，能利用最小二乘法求解回归系数，明确回归直线过样本中心点的性质并灵活运用。理解相关系数的意义，能通过相关系数判断线性相关性强弱；了解非线性回归问题的解决思路，会通过变量替换转化为线性回归问题。掌握2×2列联表的构建方法，理解独立性检验的基本思想，能运用χ²统计量进行独立性检验，明确检验结果的实际意义。结合高考真题规律，提升运用统计模型解决实际问题的应试能力，培养数据处理、数学建模和逻辑推理素养。二、教学重难点（一）教学重点散点图的绘制与相关关系的直观判断。线性回归方程的求解与应用（预测、解释回归系数意义）。独立性检验的步骤（列联表构建、χ²计算、临界值对比）。相关系数与线性相关性的关系判断。（二）教学难点最小二乘法求解回归系数的计算过程。非线性回归问题的变量替换与模型转化。独立性检验中临界值的理解与检验结果的准确表述。高考综合题中统计模型与实际场景的结合（如回归预测与独立性检验综合）。三、教学过程（含例题、一题多解、技巧、高考分析）（一）知识回顾（10分钟）核心概念：相关关系：变量间非确定性的依赖关系，分为正相关（一个变量增大，另一个变量大概率增大）和负相关（一个变量增大，另一个变量大概率减小）。散点图：将成对数据(xᵢ,yᵢ)在平面直角坐标系中绘图，用于直观判断相关关系。线性回归方程：y=bx+a，其中b=i=1nxi相关系数r：取值范围−11，|r|越接近1，线性相关性越强；|r|独立性检验：通过2×2列联表和χ²统计量判断两个分类变量是否有关，χ²公式为χ2=n核心性质与步骤：线性回归方程性质：回归系数b表示x每变化1个单位，y的平均变化量（b>0正相关，b<0负相关）。独立性检验步骤：列联表→算χ²→对比临界值（如α=0.05对应3.841，α=0.01对应6.635）→得出结论。非线性回归转化：通过变量替换（如u=lnx、v=1（二）考点考频及常考题型相关关系与散点图（考频：10年8考，近5年高频）考频分析：基础考点，多在选择题、填空题出现，分值4-5分，难度低-中档，侧重直观判断。常考题型：散点图识别相关关系类型、相关关系的实际意义判断。线性回归方程（考频：10年10考，近5年必考）考频分析：核心考点，覆盖选择、填空、解答题，分值6-10分，难度中档，侧重方程求解与预测。常考题型：求线性回归方程、利用回归方程预测、解释回归系数意义、样本中心点应用。独立性检验（考频：10年9考，近5年必考）考频分析：核心考点，解答题主力模块，分值6-8分，难度中档，侧重步骤规范性。常考题型：构建2×2列联表、计算χ²统计量、判断两个分类变量是否有关。非线性回归（考频：10年5考，近5年常考）考频分析：高档考点，多在解答题第二问出现，分值4-6分，难度中档-高档，侧重转化思想。常考题型：变量替换转化线性回归、非线性回归方程求解与预测。（三）经典例题解析（35分钟）例题1：线性回归方程的求解与应用（基础题·技巧解题）题目：某同学10次考试的数学成绩x（分）与物理成绩y（分）如下表，已知y与x线性相关，求y关于x的回归直线方程，并预测数学成绩为90分时的物理成绩。数学成绩x76728778768293896681物理成绩y808775861007993688577解法：最小二乘法步骤：计算样本中心点：x=80，y计算回归系数b：i=110xi−x计算a：a=y回归直线方程：y=1.1x−5预测：当x=90时，y=1.1×90−5=94技巧解题：“样本中心点速算技巧”技巧：回归直线必过样本中心点xy，可先计算x和y，再代入选项验证或简化a的计算；数据较大时，通过平移法（如x'=x-c，y'=y-d）简化求和运算，不影响b适用场景：线性回归方程求解与检验，高考选择题速解、解答题计算提速。例题2：独立性检验（中档题·规范步骤解题）题目：为研究药物甲对流行病乙的预防作用，进行150次动物实验，结果如下表。在犯错误的概率不超过1%的前提下，能否认为药物甲对流行病乙有效？未患病患病总计服用药物541872未服用药物364278总计9060150解法：独立性检验规范步骤步骤：提出假设：H₀：药物甲与流行病乙无关，H₁：药物甲与流行病乙有关。计算χ²统计量：χ2对比临界值：α=0.01对应的临界值k=6.635，因12.981>6.635，拒绝H₀。结论：在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为药物甲对流行病乙有效。技巧解题：“χ²计算速查技巧”技巧：计算时先化简分子分母，避免直接代入大数运算；记住常见临界值（α=0.05→3.841，α=0.01→6.635，α=0.001→10.828），无需重复查表。适用场景：独立性检验的χ²计算与结论判断，高考解答题规范得分关键。例题3：非线性回归转化（高档题·技巧解题）题目：某公司7年的利润y（亿元）与年份x的关系如下表，散点图显示y与x呈指数相关，设y=a年份x1234567利润y2.93.33.64.44.85.25.9解法：变量替换转化线性回归步骤：变量替换：对y=aebx两边取自然对数，得lny=lna+bx计算转化后的数据：x1234567u=lny1.061.191.281.481.571.651.77求线性回归方程û=bx+c：计算得x=4，u≈1.43，b≈0.12，c=u还原非线性回归方程：y=技巧解题：“非线性回归模型识别技巧”技巧：根据散点图形状选择替换方式——曲线递增且增速加快用指数替换（u=lny），曲线递减且增速放缓用对数替换（u=ln适用场景：非线性回归问题的模型构建，高考解答题高档题型突破。（四）高考真题解析（20分钟）（2024·全国甲卷，13题，5分）已知变量x与y线性相关，且由观测数据求得x=5，y=3.5，回归直线方程为解析：回归直线过样本中心点xy，代入得3.5=0.7×5+a（2023·全国乙卷，19题，12分）某社区为了解居民对垃圾分类的支持度，随机调查100名居民，数据如下表：支持不支持总计年轻人401050非年轻人302050总计7030100（1）能否有95%的把握认为居民对垃圾分类的支持度与年龄有关？（2）根据调查结果，估计该社区1000名居民中支持垃圾分类的人数。解析：（1）计算χ²：χ2临界值k=3.841，4.762>3.841，故有95%的把握认为支持度与年龄有关。（2）支持率为70%，估计支持人数为1000×70%=700（人）。（2022·新高考Ⅰ卷，18题，12分）某厂为研究某种产品的产量x（吨）与单位成本y（元/吨）的关系，收集7组数据，求得i=17xi=140，i=17（1）求y关于x的线性回归方程；（2）预测产量为20吨时的单位成本。解析：（1）x=20，y=16，a=16−0.14×20=13.2，回归方程：y=0.14x+13.2（2）当x=20时，y=0.14×20+13.2=16（2021·新高考Ⅱ卷，19题，12分）某校对学生的课外活动进行调查，结果如下表：体育艺术科技总计男生20101040女生10201040总计30302080能否有99%的把握认为学生的课外活动类型与性别有关？解析：计算χ²：χ2临界值k=6.635，5<6.635，故没有99%的把握认为课外活动类型与性别有关。（2020·全国Ⅰ卷，18题，12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到改善。为调查该地区某种植物的覆盖面积y（km²）与治理时间x（年）的关系，收集6组数据，发现y与x呈二次函数关系y=ax²+bx+c，且通过变量替换u=x²转化为线性回归方程y解析：还原二次函数：y=0.1x²+0.5x+1当x=10时，y=0.1×100+0.5×10+1=16（2024·浙江卷，17题，15分）某电商平台统计商品的日销量x（件）与日利润y（元）的关系，得到如下数据：x23456y3040455060（1）绘制散点图判断x与y的相关关系类型；（2）求y关于x的线性回归方程；（3）若日销量为8件，预测日利润。解析：（1）散点图呈正相关（图略）。（2）x=4，y=45，b=2−430−45+（3）x=8时，y=3.5×8+31=59（2023·天津卷，16题，13分）为研究学生的学习时间与成绩的关系，随机抽取20名学生，数据如下表：学习时间x（小时）12345成绩y（分）5060708090（1）求y关于x的线性回归方程；（2）若某学生学习时间为6小时，预测其成绩；（3）解释回归系数的意义。解析：（1）x=3，y=70，b=∑xi（2）x=6时，y=5×6+55=85（3）回归系数5表示学习时间每增加1小时，成绩平均提高5分。（2022·江苏卷，19题，14分）某医院为研究某种药物的疗效，进行临床试验，数据如下表：有效无效总计实验组401050对照组203050总计6040100（1）能否有99.9%的把握认为药物有效？（2）计算实验组的有效率，并估计1000名患者使用该药物的有效人数。解析：（1）χ²=100×40×30−10×20（2）实验组有效率=40/50=80%，估计有效人数=1000×80%=800（人）。（2021·山东卷，17题，12分）某工厂生产的产品质量等级y（1为一等品，2为二等品，3为三等品）与生产温度x（℃）的关系如下表，能否通过独立性检验判断质量等级与生产温度有关？（α=0.05）一等品二等品三等品总计温度≤25℃1015530温度>25℃5101530总计15252060解析：计算χ²：χ2临界值3.841，6.4>3.841，故有95%的把握认为质量等级与生产温度有关。（2020·浙江卷，18题，15分）某地区的年降水量x（mm）与年粮食产量y（万吨）的关系呈对数相关，设y=a+bx100200300400500y2025283032（1）求y关于x的非线性回归方程；（2）预测年降水量为600mm时的粮食产量。解析：（1）变量替换u=lnx，计算得u≈5.18，y=27，b≈3.5，（2）x=600时，ln600≈6.397，y四、高考命题规律总结（10分钟）考查题型：基础题（4-5分）：散点图识别、相关关系判断、样本中心点应用（选择/填空）。中档题（6-8分）：线性回归方程求解、独立性检验步骤（填空/解答题第一问）。高档题（8-12分）：非线性回归转化、统计模型综合应用（如回归预测与独立性检验结合）（解答题核心模块）。命题趋势：背景贴近实际：以环保、医疗、教育、经济等为背景，强调统计与实际生活的联系。核心考点稳定：线性回归方程、独立性检验是考查重点，非线性回归为重要拓展。综合性增强：融合数据处理、方程求解、概率思想，强调建模能力与计算能力。设问模式固定：第一问多为模型构建（求回归方程、列联表），第二问为应用（预测、检验），第三问为意义解释。解题技巧总览：建模技巧：回归问题先找样本中心点，独立性检验先列联表，非线性问题先找替换方式。计算技巧：数据较大时用平移法简化回归系数计算，χ²计算先化简分子分母再运算。检验技巧：牢记临界值与显著性水平的对应关系，结论表述需规范（“在犯错误的概率不超过α的前提下，认为…有关”）。五、课堂练习（高考真题，15分钟）（2024·新课标Ⅰ，9题，5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据求得x=3，yA．y=−2x+11B．y=2x−1C．y答案：B解析：正相关则b>0，排除A、C；过样本中心点(3,5)，代入B得5=2×3-1=5，符合。（2023·新课标Ⅱ，14题，5分）某学校调查学生对课后服务的满意度，数据如下表，χ²≈4.8，则有______%的把握认为满意度与年级有关（α=0.05）。满意不满意总计低年级301040高年级202040答案：95解析：χ²=4.8>3.841，故有95%的把握。（2022·全国卷Ⅱ，19题节选，6分）某车间生产的零件尺寸x（mm）与加工时间y（分钟）线性相关，已知∑xi=100，∑yi答案：x=20，y=10，b=1200−5×20×102500−5×400=0.4六、课堂小结（5分钟）核心知识：相关关系与散点图；线性回归方程的构建与应用；独立性检验的步骤与临界值；非线性回归的变量替换方法。解题方法：最小二乘法（回归方程）、χ²检验法（独立性）、变量替换法（非线性转化）、样本中心点法（回归检验）。高考策略：基础题保分（散点图、样本中心点），中档题稳分（回归方程、独立性检验步骤），高档题突破（非线性转化、综合应用）。七、课后作业（分层设计）基础层：完成教材习题4.3中散点图绘制、线性回归方程求解、独立性检验基础题目；重做课堂练习中的高考真题，规范解题步骤。提高层：完成2020-2024年高考统计解答题汇编（侧重线性回归与独立性检验）；整理错题本，标注错误原因（如计算错误、临界值记忆错误）。拓展层：设计一个实际场景（如学生睡眠时间与成绩、产品价格与销量），收集数据并完成：（1）绘制散点图判断相关关系；（2）构建回归方程并预测；（3）若为分类变量，进行独立性检验。八、教学反思学生在最小二乘法计算回归系数时容易出现运算错误，需强调分步计算和验算，建议使用数据平移法简化求和过程，减少计算量。独立性检验的结论表述不规范是常见问题，部分学生遗漏“在犯错误的概率不超过α的前提下”，需通过实例对比强化规范表述。非线性回归的变量替换是难点，学生难以根据散点图选择合适的替换方式，需通过多例题展示不同曲线类型对应的替换方法，总结规律。学生对回归系数的实际意义理解不够深刻，仅停留在公式应用层面，需结合具体场景（如产量与成本、时间与成绩）解释系数的含义，强化应用意识。课堂可增加更多开放性题目，如让学生自主收集数据并构建统计模型，培养其数据处理能力；课后可布置实践类作业，如分析身边的统计问题（如家庭支出与收入），深化对统计模型的理解。综合训练(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)一、选择题(本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.[浙江金东期中]已知随机变量ξ~B(16,0.5),若ξ=2η+3,则D(η)等于()A.1 B.2C.4 D.62.已知离散型随机变量ξ的分布列如下表,则其均值E(ξ)等于()ξ135P0.5m0.2A.1 B.0.6C.2+3m D.2.43.现在分别有A,B两个容器,在容器A里有7个红球和3个白球,在容器B里有1个红球和9个白球.现从这两个容器里任意抽出一个球,则在抽到的是红球的情况下,是来自容器A里面的球的概率是()A.0.5 B.0.7C.0.875 D.0.354.[江西青原期末]若某校高二年级1000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152),则此次考试成绩在区间(105,120]上的学生大约有()A.477人 B.136人C.341人 D.131人5.甲、乙两人进行羽毛球比赛,假设每局比赛甲胜的概率是23,各局比赛是相互独立的,采用5局3胜制,则乙以3∶1战胜甲的概率为(A.827 B.C.881 D.6.[广东龙华校级模拟]泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布,由法国数学家泊松首次提出,泊松分布的概率分布列为P(X=k)=λkk!e-λ(k=0,1,2,…),其中e为自然对数的底数,λ是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立,且每个站台候车人数X服从参数为λ(λ>A.1e4 C.94e67.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是12.质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为(A.1B.CC.CD.C8.某超市为庆祝开业举办酬宾抽奖活动,凡在开业当天进店的顾客,都能抽一次奖,每位进店的顾客得到一个不透明的盒子,盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共6个,其中红球2个,黄球3个,蓝球1个,除颜色外,小球的其他方面,诸如形状、大小、质地等完全相同,每个小球上均写有获奖内容,顾客先从自己得到的盒子里随机取出2个小球,然后再依据取出的2个小球上的获奖内容去兑奖.设X表示某顾客在一次抽奖时,从自己得到的那个盒子里取出的2个小球中红球的个数,则X的数学期望E(X)=()A.35 B.12 C.23二、选择题(本题共4小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)9.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X≤4)=0.8,则()A.P(X>4)=0.2B.P(X≥0)=0.6C.P(0≤X≤2)=0.3D.P(0≤X≤4)=0.410.[北京昌平期中]在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球,4个白球,现从中任取4个小球.设取出的4个小球中白球的个数为X,则下列结论正确的是()A.P(X=1)=8B.随机变量X服从二项分布C.随机变量X服从超几何分布D.E(X)=811.下列说法正确的是()A.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=2B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变C.设随机变量ξ~N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(-1≤ξ≤0)=12D.某人在10次射击中,击中目标的次数为X,X~B(10,0.8),则当X=8时概率最大12.[江苏南京期中]“信息熵”是信息论中的一个重要概念,设随机变量X的所有可能取值为1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),∑i=1npi=1,定义X的信息熵H(X)=-∑i=1n(pilog3A.当n=1时,H(X)=0B.当n=3且pi=13(i=1,2,3)时,H(X)=C.若pi=1n(i=1,2,…,n),则H(X)随着nD.当n=2时,H(X)随着p1的增大而减小三、填空题(本题共4小题)13.按照国家标准规定,500g袋装奶粉每袋质量X必须服从正态分布N(500,σ2),经检测某种品牌的奶粉P(490≤X≤510)=0.95,一超市一个月内共卖出这种品牌的奶粉400袋,则卖出的奶粉质量在510g以上的袋数大约为.

14.若随机变量X~B(4,p),且E(X)=2,则D(2X-3)=.

15.某企业将生产出的芯片依次进行智能检测和人工检测两道检测工序,经智能检测为次品的芯片会被自动淘汰,合格的芯片进入流水线并由工人进行人工检测.已知某批芯片智能检测显示合格率为90%,最终的检测结果的次品率为310,则在智能检测结束并淘汰了次品的条件下,人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率为16.一个盒子里有1个红色、1个绿色、2个黄色,共四个球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)=,E(ξ)=.

四、解答题(本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.有三个同样的箱子,甲箱中有2个红球、6个白球,乙箱中有6个红球、4个白球,丙箱中有3个红球、5个白球.(1)随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球,求三球都为红球的概率;(2)从甲、乙、丙中随机取一箱,再从该箱中任取一球,求该球为红球的概率.18.[山东潍坊月考]某校为缓解学生压力,举办了一场趣味运动会,其中有一个项目为篮球定点投篮,比赛分为初赛和复赛.初赛规则为:每人最多投3次,每次投篮的结果相互独立.在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分,否则得0分.将学生得分逐次累加并用X表示,如果X的值不低于3分就判定为通过初赛,立即停止投篮,否则应继续投篮,直到投完三次为止.现甲先在A处投一球,以后都在B处投,已知甲同学在A处投篮的命中率为14,在B处投篮的命中率为45,求他初赛结束后所得总分X19.某学习小组有6名同学,其中4名同学从来没有参加过数学研究性学习活动,2名同学曾经参加过数学研究性学习活动.(1)现从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动,求恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率;(2)若从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动,活动结束后,该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学人数ξ是一个随机变量,求随机变量ξ的分布列及均值.20.甲、乙二人进行一次象棋比赛,每局胜者得1分,负者得0分(无平局),约定一方得4分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束.设在每局比赛中,甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;(2)设从第4局开始到比赛结束所进行的局数为X,求X的分布列及均值.21.[陕西西安检测]设有3个投球手,其中一人命中率为q,剩下的两人水平相当且命中率均为p(p,q∈(0,1)),每位投球手均独立投球一次,记投球命中的总次数为随机变量ξ.(1)当p=q=12时,求数学期望E(ξ)及方差D(ξ(2)当p+q=1时,将ξ的数学期望E(ξ)用p表示.22.一次大型考试后,某年级对某学科进行质量分析,随机抽取了40名学生的成绩,分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.(1)从抽取的成绩在区间[50,60)内和区间[90,100]上的学生中,随机选择三名学生进行进一步调查分析,记X为这三名学生中成绩在区间[50,60)内的人数,求X的分布列及均值E(X).(2)①求该年级全体学生的平均成绩x与标准差s的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(精确到1)②如果该年级学生该学科的成绩服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ分别近似为①中的x,s,那么从该年级所有学生中随机选三名学生做分析,求这三名学生中恰有两名学生的成绩在区间[62,95]上的概率.(精确到0.01)附:29≈5.385.参考答案综合训练1.A∵随机变量ξ~B(16,0.5),∴D(ξ)=16×0.5×0.5=4.∵ξ=2η+3,∴η=12ξ-3∴D(η)=122D(ξ)=14×4=1.2.D依题意,0.5+m+0.2=1,解得m=0.3,故E(ξ)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.故选D.3.C设A=“抽到的是红球”,B=“抽到的是来自容器A里面的球”,则AB=“抽到的是来自容器A里面的红球”.由题意可知,P(AB)=720,P(A)=820,故P(B|A)=P(AB)P(A4.B根据正态分布的对称性P(105<X≤120)=12×[P(60<X≤120)-P(75<X≤105)]≈12×(0.9545-0.6827)=0.1359,则1000×0.1359=135.9≈136,故此次考试成绩在区间(105,120]上的学生大约有1365.B由题意知,前3局乙胜2局,第4局乙胜,故所求概率P=C3故选B.6.D由题可知P(X=2)=P(X=3),即λ22eλ=λ36eλ,解得λ=3,故P(X=k)=3kk!e-3(k=0,1,2,…),P(X=1)=311!e7.B依题意,质点在移动过程中向右移动2次,向上移动3次,因此质点P移动5次后位于点(2,3)的概率P=C58.C由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,则P(X=0)=C42C62=25,P(X=1)=C∴E(X)=0×25+1×815+2×9.AC∵P(X≤4)=0.8,∴P(X>4)=0.2.∵X~N(2,σ2),∴P(X<0)=P(X>4)=0.2.∴P(0≤X≤4)=P(X≤4)-P(X<0)=0.6,P(X≥0)=1-P(X<0)=0.8,∴P(0≤X≤2)=12P(0≤X≤4)=0.310.ACD由题意知随机变量X服从超几何分布,故B错误,C正确;X的可能取值分别为0,1,2,3,4,则P(X=0)=C64C104=114P(X=2)=C42C62C104P(X=4)=C4∴E(X)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×121011.BCD对于A,因为X~B(n,p),E(X)=30,D(X)=20,所以np=30,np(1-p)=20,所以p=13,故A错误易知B正确;对于C,因为ξ~N(0,1),P(ξ>1)=p,所以P(0≤ξ≤1)=12-p,所以P(-1≤ξ≤0)=12-p,故C对于D,击中目标的次数为X,X~B(10,0.8),令C10k0.8k0.210-k≥C10k+10.8k+10.29-k,且C10k0.8k0.210-k≥C10k-1·0.8k-10.211-k,解得395≤k≤445,又k∈Z12.ABC若n=1,则p1=1,故H(X)=-p1log3p1=-1×log31=0,故A正确;当n=3且pi=13(i=1,2,3)时,H(X)=-3×13×log313=1,故B正确若pi=1n(i=1,2,…,n),则H(X)=-n·1n·log31n=log3n,由对数函数的单调性可知,H(X)随着n的减小而减小,故若n=2,则p1+p2=1,H(X)=-(p1log3p1+p2log3p2)=-[p1log3p1+(1-p1)log3(1-p1)],设f(p)=-[plog3p+(1-p)log3(1-p)],0<p<1,则f'(p)=-log3p+p·1p·ln3-log3(1-p)+(1-p)·-1(1-令f'(p)<0,解得12<p<1,此时函数f(p)单调递减令f'(p)>0,解得0<p<12,此时函数f(p)单调递增,故D错误13.10因为X~N(500,σ2),且P(490≤X≤510)=0.95,所以P(X>510)=1-0.952=0.025,所以卖出的奶粉质量在510g以上袋数大约为400×014.4由随机变量X~B(4,p),且E(X)=2,可得4p=2,解得p=12,则D(X)=4×12故D(2X-3)=4D(X)=4.15.79设该批芯片中一枚芯片由智能检测合格为事件A,经智能检测合格的芯片进入流水线并由人工检测,一枚芯片恰好为合格品为事件B,则P(A)=910,P(AB)=1-则在智能检测结束并淘汰了次品的条件下,人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率P(B|A)=P(16.131依题意,ξ的取值可能为则P(ξ=0)=14P(ξ=1)=24P(ξ=2)=1-13故E(ξ)=0×13+1×13+2×1317.解(1)根据题意,记事件A1:从甲箱中取一球为红球,事件A2:从乙箱中取一球为红球,事件A3:从丙箱中取一球为红球