全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷61

全国自考公共课线性代数（经管类）模

拟试卷61

一、单选题（本题共20题，每题1.0分，共20分。）

11

-2.Oz=7

1、设ai=11L则（X3二时，有ai,，为R3的基•（）

A、(2,1,2)T

B、(1,0,1)T

C、(0,I,0)T

D、(0,0,1)T

标准答案：D

知识点解析：首先已知ai，（X2线性无关（其坐标不成比例），又令A=（ai，a2，（13）,

则山，a2,（13线性无关-IAIr0由于A的左上角2阶主子式（记为IAuI）不等

0

0An0

于0,故选a3=hJ即可。（此时lAl*=*1=IAHI.1^0）.答案为D。

2-13r

4—254

2、设A［？-14-1J,则Ax=0的基础解系含有个解向量.（）

A、I

B、2

C、3

D、0

标准答案：A

知识点解析：由于V（A）=3,所以基础解集含有4—3=1个向量.答案为A。

2，i+—Axj=0

-q+=0

3、若方程组3n+2心一”0,有非零解，则入=

A、-2/5

B、0

C、2/5

D、-1

标准答案：c

知识点蓊析：齐次线性方程组有非零解，则其系数矩阵的行列式

21-A

1-11=0•得人=2.

32一】

4、设向量组⑴：ap。2，…，牛的秩为r,则必有

A、⑴中任意r个向量必线性无关

B、⑴中任意r—1个向量必线性无关

C、⑴中任意r+1个向量必线性相关

D、⑴中线性相关向量的个数必大于r

标准答案：C

知识点解析：因向量组⑴的秩为r,故向量组的一人极大无关组为(口)：aii,

air,则⑴中任意r+1个向量都可由(II)线性表示，故C选项正确.

5、设A是n阶方阵，已知A?—2A—21=0,则(AT)"=()

A、31—A

B、3I+A

C、A-31

2A+J

D、AT

标准答案：A

知识点解析：把已知关系式A2—2A—21=0写成(A+I)M=I的形式，则M是(A+I)的

逆方阵.由题设关系式A?—2A—21=0,可得A(A+I)—3(A+I尸一I,即

(A+I)(3I—A)=L故(A+I)/=3I—A.答案为A。

6、设A为mxn矩阵，若任何n维列向量都是方程组Ax=0解，则

A、r(A)=m

B、r(A)=n

C、0

D、A=0

标准答案：D

欠口识点解析：设巧是单位矩阵E的第j歹U，则有题如Aej=0,即AE=0,故A=

0.

12,

2,3

7、已知7,1是齐次线性方程组Ax=O的两个解，则矩阵A可为（）

A、（5,一3,-1)

5-3:)

B、21

12-3

C、2-17

12

2-2

D、31

标准答案:A

知识点解析•：将四个选项代入验证Ax=O是否成立即可.答案为A。

8、设A是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，则（）

A、AA*=IAI

B、AA=IAI

C、A*A=IAI

D、A*A=IAI*1

标准答案：C

知识点解析：A.A*二IAII.答案为C.

9、ai=（l,2,3）,a2=（2,1,3）,as=（一1,1,0）,04=（1»1，1），则（）

A、ai线性相关

B、ai,a2线性相关

C、ai,a2，线性相关

D、ai，a2,04线性相关

标准答案：C

•••选项A不对，而（ai，a2，。3）一

2一1〕

-33

00」因为含有零向量的向量组

10、设向量组⑴：ai=(an，a2i,a.3i)T»a2=(ai2，a22，a32)T»ct3=(ai3,a23，a33)T»向

量组(U)：pi=(an，aiba3i，M),p2=(ai2,a22,a32»M2)，p3=(ai3»ai3»

a33，H43）T,则（）

A.（i）相关=＞（n）相关R（i）无关=（【I）无关

c.（n）无关=＞（i）无关D.（i）无关。（n）相关

A、

B、

c、

D、

标准答案：B

TTT

知识点解析：令ai=（l,0,0）,a2=（h0,0）,a3=（0,1,0）,pi=（l,0,0,

T

1）T,p2=（l,0,0,0）T,p3=（0,I,0,0）,显然ai，a2,013线性相关，而囚，

彷，的线性无关，排除A,C.同理可举例排除D.也可证明B成立，⑴无关，故

矩阵A4x3=（Pl，例，饱）有一个3阶主式不为零，故A的列向量组的秩也必为3,

故由，例，饱线性无关.

11、若AB二AC,能推出B=C,其中A,B,C为同阶方阵，则A应满足条件（）

A、A#）

B、A=0

C＞IAI=0

D、IAI和

标准答案：D

知识点解析：若AB=AC,则A（B—C）=0,故当A可逆，HPIAI/0WB=C.答案

为D。

12、设矩阵Amxn的秩为r（A）=m〈n,忖为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是（）

A、A的任意m个列向量必线性无关

B、A的任意一个m阶子式不等于零

C、若矩阵B满足BA=0,贝I」B=0

D、A通过初等行变换，必可以化为（30）的形式

标准答案：D

知识点解析：矩阵Amxn的秩r（A）=mVn.故A的行满秩，列不满秩，A的m个列

向量可能线性无关也可能线性相关，且A通过初等行变换，可以化为（3。）形式，

故选D答案为D。

\aa•••a

ayaa

13、设n（R3）阶矩阵A=aaa…aJ若矩阵A的秩为n—1,则a必为（）

A、1

B、1-n

C、一1

1

D、n~1

标准答案：B

知识点解析：由r(A)=n-1.必IAI=0.若a=l,则r(A)=l,故必

IA!-:(1,…・1)

=(1—a)r占(1.…,1)：

a*.J=(1一a)n—1(1-n+na)

二(111-一1[1—n)a]因声，故仅当a二l一〃时，IAI=0且r(A)=n—1(即IAn一

1I¥0).答案为B°

14、n元线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是()

A、方程个数m<n

B、方程个数m>n

C、方程个数iiiF

D、秩(A)Vn

标准答案：D

知识点解析：对于线性方程组Ax=0来说，若r(A)<n-Ax=0有非零解(充分条

件)；同样，若Ax=0有非零解一>r(A)Vn(必要条件).答案为D。

33

一110

15、设A为二阶可逆矩阵，且(3A)]=)，则庆=

咻二1呻7

(0-11(1]

1,1yk

c—

,32

,30

A、

B、

C、

D、

标准答案:c

3

由［(3A)i「=3Ar

-1

0一八0-1

，得A=g

111

~31

知识点解析:

16、设A,B是两个同阶的上三角矩阵，那么AT.BT是矩阵.()

A、上三角

B、下三角

C、对角形

D、即非上三角也非下三角

标准答案：B

知识点解析：AT,B,r均为下三角阵，因此AEBT也是下三角阵答案为B

17、设A是n阶方阵，且IA|=5,则|(5AT)/|=()

C、5-nd

D、5H

标准答案：C

IA-*I=—

知识点解析：因为IAI=5,所以5

|(5AT)-”=皆"尸=心1"尸|=1|(4一力

350

=—(A-1I=—•4-=5*'"-1

5"'5"5答案为c

A-(/oOoO)\

B-(/oI0o)\

c.f1

\00/

D.(11)

18、设A是2阶可逆矩阵，则卜.列矩阵中与A等价的矩阵是()1)

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：,.人是2阶可逆矩阵，，A的秩为2,由于两矩阵等价则矩阵的秩相

等，由题知D答案中矩阵秩为2,所以选D.答案为D。

10]

19、若二阶矩阵A相似于矩阵B=匕3J,E为二阶单位矩阵，则与矩阵A—2E

(10-

A.B.

2121

r—10(-10

C.D.

相似的矩阵是2一”-2-1

A,

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：因A〜B,故A的特征值为1,3,则A—2E的特征值为-1,1.因

相似矩阵必有相同的特征值，所以只有B项正确.

20、设有向量组囚=(1,一1,2,4),a2=(0,3,22),(13=(3,0,7,14),

因二(1,一2.2,0),由=(2,1,5・10),则该向量组的极大线性无关组是()

A、ai,a2，a3

B、a1，a2，04，as

C、ai，ct2，04

D、aj,a2»a5

标准答案：C

TTT

知识点解析：(aj,ao,，a3，aJ,a5)=

10312rl031210312

r;+r\rz—3ra

-130-21033-1301101

ri-2r3

21725r-3-2n01101r\~4rj000—10'

\214010000-40.00000

故aj,(12、04T线性无关，从用j川，9,04是相【大线性无关三组.

二、填空题（本题共10题，每题分，共10分。）

+工？+2八=0,

口+人工3=0,

21、齐次线性方程组砥%+4+3-=0，有非零解的充要条件是入=

标准答案：1

(112]

由4=10A

213

112H12

0-1A-2-011

0-1—100A-1

知识点解析：因方程组有非零解，则IAI=0,

即r(A)<3,故入一1=0,得入=1.

I2-13

0012

A=

24一18

0°）化为标准型为

22、用初等变换将矩阵

’1000

0100

0010

标准答案:[0000

23、实对称矩阵A满足A?+A2+A=3I,则A=.

标准答案：I

知识点解析：设矩阵A的特征值为入，则有入3+3入=3,即（九一1）（#+2壮3）=0.由

于实对称矩阵的特征值是实数，故二十2九十3=Q十1尸+2〉0,由此可得A只有惟一的

三重特征值1,即存在可逆矩阵P,使得P"AP=L于是有A=PIP"=L

24、已知三阶矩阵A的特征值为1,2,3,且矩阵B与A相似，则|B+AT|二

标准答案：48

知识点解析：由A与A「有相同的特征值，相似矩阵也必有相同的特征值，得B、

人丁的特征值都为1,2,3,所以B+AT的特征值为2,4,6,则IB+AT|=

2x4x6=48.

Xi+与一马+2N4=1,

2xt+%3-14=0，

x3+x4=4,

25、已知线性方程组（乃-1）工4=4一1无解，则入=

标准答案：“

知识点解析：当九二一1时，第4个方程为矛盾方程，因而无解.

26、设三阶实对称矩阵A的特征值为0,1,2,它们对应的特征向量分别为a：=

(1,1,1),a2=(l,a,-1),a3=(b,一2,1),则a=,b=.

标准答案：0.1

知识点解析：由实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量一定是正交向量，得

1

6。「二0,印(1,1,1)a=0,

一］

(b、

(1.1.1)2|=0.符a=0加=1・且满足=

(I«—1)—2—。•故a=0,〃=1.

T

aia2-0,

j1十24一2口=。

-©+ax3=0

27、齐次线性方程组1々+3心=°有非零解，则

标准答案：8

知识点解析：齐次线性方程组有非零解513=0,即a=8.

5x

28、已知矩阵121J有一个特征值为0,则*=.

5

标准答案：2

知识点解析：A的行列式等于A的所有特征值的乘积，因为A有一个特征值为

0,所以|A|=5—2x=0,x=

%=

29、若向量组线性相关，则1=

标准答案：6

11

023

04I

知识点解析:由于ai，（X2>C13线性相关,故行列式|ai，。2，asl==2t—

12=0,故1=6.

|Xj4-jr,=0

30、方程纽上心一天+34=°中有个自由未知量.

标准答案：1

知识点解析：由于系数矩阵的秩为2,所以有3—2=1个自由未知量.

三、计算题（本题共6题,每题分，共6分。）

，1]oI：

0,02=1

31、将线性无关向量组内」一1）17

化为单位正交向量组.

标准答案：用施密特正交化方法，有

后

展1

'力=俏1=万

团1

则打,

Y2，丫3是单位正交向量组.

知识点解析：暂无解析

11-1

011

32、已知A二0°一1J且A?—AB=E,求矩阵B.

11-1

011

标准答案：由于AB=A?-E,又|A00—1=一］翔所以A可逆，因

止匕B=A-1(A2—E)=A—A'1而A-1=

1-1-2112/

011，所以5=0100

00-10000

知识点解析：暂无解析

工+入％=--2.

<Xi=-2,

已知线性方程组卜山+“+^=A-3.

33、讨论入为何值时，方程组无解、伊一解、有无穷多个解.

标准答案：将线性方程组的增广矩阵W=(A，b)作初等行变换

,

A-2

1-A0

—

-a+2)〃一D3(A1),当入=

一2时，r(A尸2,r(A)=3.，方程组无解；当狂一2且必1时，M无)=3，,方

程组有惟一解；当人1时，r(A)=l<3.方程组有无穷多个解.

知识点解析：暂无解析

34、在方程组有无穷多个解时,求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的

基础解系表示).

11・2'

0000

0I同解方程组为xi=-2—X2一

标准答案：当九=1时，000

X3.对应齐次方程组的基础解系为占二(一1,1,0)T,々=(一1,0,1/非齐次方程

组的一个特解n=(—2.0,0)T,所以原方程组的通解为X=k］』+k23+n(ki，k2为任

意常数).

知识点解析：暂无解析

1234

78

9101012

35、计算行列式13141120

标准答案：

23231

67-4-8-3

1010-8-17-6

1411-12-28-8

1231

483-4rj°483

o|二-4

011°010

-1000-1

=—4X1X4X1X(-1)=16.

知识点解析：暂无解析

200

4=032

36、设°23)求一个正交矩阵p,使得p"AP为对角矩阵.

标准答案：矩阵的特征多项式为

A-200

IAE-A|=0A-3-2(A—2)(A—1)(A—5)=0,