勾股定理教学设计与课堂实录

勾股定理教学设计与课堂实录二、课堂实录（节选）(课前准备：学生按小组就座，桌上摆放好学具。教师打开多媒体，准备就绪。)师：同学们，上课！在我们的生活中，存在着各种各样的几何图形，今天老师带来了几幅图片，大家请看大屏幕。（展示梯子靠墙、屋顶框架、长方形运动场对角线的图片）这些图片中，都蕴含了一种我们非常熟悉的三角形，它有什么特点呢？生1：有一个角是直角！师：非常好！这就是直角三角形。（板书：直角三角形）我们知道，三角形有三条边，如果我们知道了直角三角形的两条边，能不能求出第三条边呢？比如，这个梯子（指向图片），底部离墙多远，梯子有多高，它能伸到墙上多高的位置，这些是不是都和直角三角形的边长有关？生（齐）：是！师：看来，研究直角三角形的边长关系，很有必要。今天，我们就一起来探索这个奥秘，揭开直角三角形三边之间的数量关系。（板书课题：勾股定理）(环节：动手操作，探究新知)师：首先，我们来看几个特殊的直角三角形。大家打开课本，翻到“探究”部分，那里有几个画在方格纸上的直角三角形。每个小方格的边长代表1个单位长度。请大家分别测量一下这三个直角三角形的三条边的长度，然后填写下面的表格，看看它们的三条边之间有什么关系。（PPT展示表格：直角边a，直角边b，斜边c，a²，b²，c²，a²+b²）(学生开始测量、计算，教师巡视指导，提醒学生测量要准确，计算要细心。约5分钟后)师：好，时间到。哪个小组愿意分享一下你们的测量和计算结果？第一组，你们先来。生2（第一组代表）：第一个直角三角形，a=3，b=4，c=5。a²=9，b²=16，c²=25。a²+b²=25，正好等于c²。师：很好，请坐。第二组，第二个三角形呢？生3（第二组代表）：第二个三角形，a=5，b=12，c=13。a²=25，b²=144，c²=169。a²+b²=25+144=169，也等于c²！师：非常好！第三个三角形，第三组。生4（第三组代表）：第三个三角形，a=6，b=8，c=10。a²=36，b²=64，c²=100。a²+b²=36+64=100，还是等于c²！师：大家都发现了这个规律吗？（学生点头）这三个直角三角形，虽然边长不同，但它们的两条直角边的平方和，都等于斜边的平方。那么，是不是所有的直角三角形都有这样的规律呢？这仅仅是我们通过几个特例观察到的，还需要我们进一步去验证。师：接下来，我们来做一个拼图游戏。请大家拿出课前准备好的四个全等的直角三角形，还有一些正方形纸片。大家可以小组合作，用这四个直角三角形，尝试拼出一个大的正方形。看看有几种拼法？拼出来之后，思考一下，能不能利用你拼出的图形，结合面积的计算，来说明我们刚才的猜想是否正确。给大家8分钟时间，开始吧！(学生立刻兴奋起来，各小组开始动手拼图，讨论声此起彼伏。教师巡视各小组，对有困难的小组进行适当提示，比如“可以让直角边靠在一起”，“也可以让斜边作为大正方形的边”。)(8分钟后)师：时间到！哪个小组愿意上来展示你们的成果？并且说说你们的想法。好，第四组，你们先来。(第四组派两名代表上台，一名操作，一名解说。他们用四个直角三角形，将直角边a和b拼在一起，形成了一个大正方形，中间有一个小正方形的空洞。)生5：我们组是这样拼的（指着图形）。这个大正方形的边长，我们看，它应该是直角三角形的两条直角边之和，也就是a+b。所以大正方形的面积就是(a+b)²。师：嗯，思路很清晰，请继续。生5：同时，这个大正方形的面积也可以看成是由四个直角三角形的面积和中间那个小正方形的面积组成的。每个直角三角形的面积是1/2ab，四个就是4×(1/2ab)=2ab。中间的小正方形，它的边长我们观察了一下，应该是直角三角形的斜边c减去...不对，不对，（挠挠头）我们再看看...哦，是直角边b-a吗？（同组同学小声提醒：“是斜边！”）师：不着急，仔细观察一下中间小正方形的边长是怎么来的。生6（同组另一位同学补充）：老师，我们觉得中间小正方形的边长应该是直角三角形的斜边c。不对，好像不是...（他们又摆弄了一下模型）师：（微笑）大家看，他们拼的这个图形，外围确实是一个大正方形，边长是a+b。内部呢？这四个直角三角形是“向外”的，对吧？那么中间的空白部分，它的四条边，是不是直角三角形的哪条边呢？生（部分）：斜边！师：对！是斜边c。所以中间小正方形的边长就是c，那么它的面积就是c²。所以，大正方形的面积还可以表示为4个直角三角形面积加上中间小正方形面积，也就是4×(1/2ab)+c²=2ab+c²。师：那么，同一个大正方形的面积，我们用了两种不同的方法来表示，它们应该是什么关系？生（齐）：相等！师：所以，(a+b)²=2ab+c²。我们把左边展开，得到a²+2ab+b²=2ab+c²。两边同时减去2ab，就得到...生（齐）：a²+b²=c²！师：太棒了！第四组虽然中间有点小波折，但最终还是找到了关键！给他们掌声鼓励！（学生鼓掌）还有没有其他拼法？第五组，你们刚才好像拼出了不一样的图形。(第五组代表上台，他们用四个直角三角形的斜边向外，拼成了一个大正方形，四个直角三角形在大正方形的四个角上。)生7：老师，我们组是这样拼的。这个大正方形的边长，我们认为就是直角三角形的斜边c。所以它的面积就是c²。师：嗯，这个思路也很好。继续说。生7：我们把这个大正方形的面积，也分割成几部分来看。它可以看成是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的。每个直角三角形面积还是1/2ab，四个就是2ab。中间的小正方形，这次它的边长我们看清楚了，是b-a（假设b>a）。所以小正方形的面积就是(b-a)²。师：非常好！观察得很仔细。那么，大正方形的面积c²就等于...生7：等于四个直角三角形面积加上中间小正方形面积：2ab+(b-a)²。我们把(b-a)²展开，就是b²-2ab+a²。所以c²=2ab+b²-2ab+a²，化简一下，2ab和-2ab抵消了，就剩下a²+b²。所以c²=a²+b²，也就是a²+b²=c²！(全班响起热烈的掌声)师：太精彩了！第五组的同学思路非常清晰，表达也很准确！他们用了另一种拼法，同样证明了我们的猜想。师：同学们，通过刚才的拼图和面积计算，我们可以肯定，对于任意一个直角三角形，如果它的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么一定有a²+b²=c²。（教师边说边板书定理内容及公式）这就是我们今天要学习的核心内容——勾股定理。在中国古代，人们把直角三角形中较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”。所以勾股定理也称为“勾股弦定理”。早在几千年前，我们的祖先就发现了这个定理，并且用巧妙的方法证明了它，比如刚才第四组同学拼的那个图，稍作改进，就是我国古代数学家赵爽的“弦图”（PPT展示赵爽弦图），这是我国古代数学的骄傲！(学生们脸上露出自豪的神情)师：了解了勾股定理，我们就可以解决一开始提出的问题了。知道直角三角形的两条边，就可以求出第三条边。下面我们来看几个例题...(接下来，教师通过例题讲解勾股定理的应用，强调解题步骤和注意事项，并让学生进行练习巩固。课堂实录此处从略。)三、实录反思本节课的设计初衷是让学生在“做数学”的过程中主动建构知识。从课堂实录来看，基本达到了预期目标。成功之处：1.情境创设有效：从生活实例入手，能较好地激发学生的学习兴趣和探究欲