河北省承德市第一中学等校2025-2026学年高二下学期5月期中学情调研试题 数学 含解析

承德市第一中学等校2025-2026学年高二下学期5月期中联考数学试题一、单选题1．（

）A．24 B．48 C．72 D．962．设函数，则（

）A．1 B．2 C．3 D．43．若随机变量服从正态分布，且，则（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.44．现有一支200人的队伍，从中先选取50人组成A方队，再从剩下150人中选取100人组成B方队，则不同的排法总数为（

）A． B． C． D．5．现对电商直播的受众进行分析，挑选500名消费者进行问卷调查，得到如下结果：30岁及以下30岁以上男15460女19690记由上表所得消费者性别与年龄的卡方为，则（

）附：，.A． B．C． D．6．已知曲线在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．7．设，，，则（

）A． B． C． D．8．已知正整数p，q互素，且，则（

）A．2071 B．2143 C．2219 D．2307二、多选题9．若，则（

）A． B． C． D．10．若复数满足，则（

）A．可能为实数 B．可能为纯虚数C．当的实部取得最大值时，为实数 D．当的虚部取得最大值时，不为纯虚数11．对于维向量，，，，二者夹角的余弦值现有一组点x1,y1,⋅⋅⋅,xn,yn，设，，记ax=x1−x,x2附：，，，.A． B．在上的投影向量为C．r=cosa三、填空题12．已知随机变量的分布列如表，01234则______.13．若1+yx2x+ynn∈N,n≥3的展开式中的系数是xy14．设函数fx=2xlnx2−alnx，若，则的最大值为______四、解答题15．一个盒子内有6个白球，3个红球，它们除颜色外完全相同，每次从盒子里随机抽出一个小球并记录.(1)若抽出小球后不放回，求第二次抽到白球的概率；(2)若抽出小球后放回盒子，记抽取6次后记录次白球，求.16．已知函数，.(1)求的单调区间；(2)证明：.17．设，已知，是方程的两个不同的解．(1)求；(2)求；(3)若，求复数虚部的平方．18．现有一处鱼塘，要进行合理养殖与合理捕捞.(1)若鱼塘中有600尾鱼，第一次打捞30尾鱼后进行标记后放回鱼塘（该标记不会在短期损坏），第二次随机打捞20尾鱼，求这20尾鱼中至少有一尾鱼有标记的概率；（用组合数的式子表示）(2)现进行养殖.（i）假设当鱼塘中鱼的尾数为时，年增长量为fX，捕捞量为gX，受到环境制约，考虑简单模型fX=kX900−X，且为常数.当600<X<900（ii）当鱼塘中鱼的尾数为时，第一次打捞30尾鱼后进行标记后放回鱼塘，第二次随机打捞25尾鱼后有1尾有标记，试给出的估计值（以使得仅1尾有标记的概率最大的的值作为的估计值）.19．已知函数fx=x2−asinx(1)当时，求的方程；(2)证明：函数gx=x−lnx−1−(3)当时，证明：曲线与有且仅有一个公共点.题号12345678910答案DADBACBCABDABD题号11答案AC1．D【详解】.2．A利用导数在处的定义，与导函数在处导数值相等即可求解.【详解】==，而，所以，.3．D根据题意结合正态分布的对称性分析求解.【详解】因为服从正态分布，且，则，即正态曲线关于直线对称，所以PX<2又P2<X<6所以P4<X<64．B根据分步乘法计数原理，结合排列数适用于有顺序要求的排法场景，分两步计算总排法数即可.【详解】第一步：从200人中选取50人组成A方队，考虑站位顺序，共有A200第二步：第一步选取后剩余200−50=150人，从中选取100人组成B方队，考虑站位顺序，共有A150根据分步乘法计数原理，总排法数为两步排法数的乘积，即A2005．A对列联表各位置数值赋值后代入卡方公式计算结果，再与临界值比较即可得到答案.【详解】首先对列联表参数赋值：，，c=196，，总样本量n=a+b+c+d=154+60+196+90=500.将参数代入卡方计算公式χ2分步计算：：ad=154×90=13860，bc=60×196=11760，故ad−bc=13860−11760=2100；n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=(154+60)×(196+90)×(154+196)×(60+90)=214×286×350×150=3213210000；代入得χ26．C先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，再结合切线过点得到关于切点横坐标的表达式，最后通过求导研究该表达式的单调性，进而求出的最大值.【详解】设切点坐标为(x因为y=ex+ex由点斜式得切线方程为：y−(e令，代入切线方程可得纵截距：t=−x设函数f(x)=ex(1−x),x∈令，由于恒成立，解得，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，因此为的最大值点，最大值为f(0)=e0×(1−0)=1，即的最大值为7．B根据式子的组成构造函数，利用导数研究函数的单调性进而比较大小.【详解】因为a=916ln43考虑构造函数fx=ln当f'x所以函数在单调递增，在单调递减.所以a=f43，，c=f2，而显然，0<4所以.8．C先根据组合数的性质对i=18i⋅C8i2i进行化简，再结合二项式定理求出其值，最后根据，互素求出，【详解】由组合恒等式：i⋅C令，得：i⋅C8代入原式i=18令，则i=j+1，的取值范围为0≤j≤7，所以8j=0由二项式定理得j=07C7j因为与互素，故p=2187，，所以p+q=2187+32=2219.9．ABD可通过二项展开式通项计算各次项系数，也可通过赋值法快速求解特定系数组合的值.【详解】对于A，的系数仅来自(2+x)4的最高次项，即a对于B，令代入原式计算，得a0=对于C，a2=C42⋅2对于D，令代入原式，左边为(2−1)4+(1−1)3=110．ABD本题设复数，利用复数模的公式化简得到$a，b$满足的二元二次方程，再分别令、，通过判别式判断方程有解，验证A、B选项成立；接着对方程配方得到圆的标准形式，用三角换元表示，据此求出、的最大值并验证取等条件下是否为实数、纯虚数，进而判定C错误、D正确.【详解】对于A，设，由题设得.于是.当时，8a2显然方程有实数解，则可能为实数，故A正确；对于B，当时，8b2显然方程有实数解，且解不为0，则可能为纯虚数，故B正确；对于C，因为所以即，可设，所以a≤35当且仅当时等号成立，此时，不为实数，故C错误；对于D，由C项分析，知b≤358此时，不为纯虚数，故D正确．11．AC对于A，根据样本中心点过，再联立得到，对于B，在上的投影向量为ax⋅ayayayay=【详解】已知经验回归方程为和，设b^∴y=x+3x在上的投影向量为ax⋅aaxb=b'而回归方程中，中，b'=45因此投影向量为，B错误；相关系数，a=所以cosa由回归方程中，中，b'=45b^⋅b所以这组点的线性相关性强，D错误．12．/根据分布列的性质求得，根据数学期望的计算公式求得【详解】根据分布列的性质，所有概率之和为1，得16+1由离散型随机变量数学期望的定义，E(X)=0×113．8将原式拆分为两个二项式展开式的和，分别求出指定项的系数，根据系数比值求得n，再计算的系数即可.【详解】1+y二项式的通项公式为：，所以的系数为，的系数为，由题意4C所以4×nn−12所以6n−1所以6n解得或（舍去），所以的系数为.14．先利用特殊值得到的最大值，再证明等号可取，从而得出的值.【详解】由题可知，对任意恒成立，取特殊值，代入函数有fe=2e−a≥b⇒a+若，则原不等式转化为：2x令t=lnxt∈令gt=2ett2−at−2e+a，则gt≥0对任意因为g'所以g验证：将代入得g'所以g当gg″即在单调递减，在，单调递增.所以在处取得极大值故g所以当时，又故当时，即函数单调递减；当时，即函数单调递增；所以在处取得最小值，即恒成立，符合条件.15．(1)(2)（1）利用全概率公式，按第一次抽取的颜色分类计算第二次抽到白球的概率即可；（2）先判断服从二项分布，再利用二项分布期望公式求解即可．【详解】（1）记“第一次抽到白球”为事件A，“第一次抽到红球”为事件，“第二次抽到白球”为事件B，由题意PA=6由全概率公式可得，PB（2）由题意，每次抽到白球的概率为，因为是放回抽取，共抽取6次，所以记录的白球次数服从二项分布，即，因此E(X)=6×2316．(1)的减区间为，的增区间，.(2)由题设f'x=x则s'x=x+1e而f'故当时，；当时，，的减区间为，增区间为.若，则，故；若，则，故；若，则，故fx2=f综上，fx2≥f（1）求出，讨论其符号后可得原函数的单调性；（2）利用导数讨论的单调性，再就、、分类讨论后可证题设中的不等式.【详解】（1），故当或时，；当时，，故的减区间为，的增区间为，.（2）略17．(1)(2)，(3)7+【详解】（1）．（2）是方程的解，，即，，.（3）由（2）可得，设，代入，得，，由②可得a=12b+1于是4b4−718．(1)(2)（i）当gX=X+kX900−X−450时，鱼群的数目增长情况良好.

（ii）的估计值为或（1）根据古典概型的概率公式可求题设中的概率；（2）（i）根据时fX取最大值可得gX；（ii）利用不等式法可求的估计值.【详解】（1）设为“这20尾鱼中至少有一尾鱼有标记”，则PA=1−（2）（i）由题设年增长量为fX当时，年增长量fX取最大值，令X+fX−gX故当gX（ii）设，由题设仅1尾有标记的概率为，令C301CN−3024故，故的估计值为或.19．(1)(2)，求导得，换元，令，则，，只需证−1et−即证明12t+12+e二次求导得h''t=1+e−t>0（定义h''t为函数所以在为负，为正，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，取最小值时，所以，对恒成立，且只在处，所以在上单调递减.(3)，，所以，而f1=1−所以切线方程为y−1=1x−1，即，令px=fx下面分别证明时，，设函数，，且只在孤立的点x=2kπ,k∈Z为0，所以在上增，所以时，，即，所以时，,当时，，所以sinxlnx所以px令qxq'x=1−1x所以qx>q1当时，由（2）可知，gx=x−ln即x−1>lnx+12x所以px换元，令，因为，所以，令um=m+1而u″m=1+sin