河南省职教高考总复习指导与同步练：数学

河南省职教高考总复习指导与同步练：数学目录立体几何09概率与统计初步10集合01不等式02函数03指数函数与对数函数04三角函数05平面向量07平面解析几何08数列06复数11

第1章

集合考情聚焦考查方向本章内容一般以选择题和填空题的形式考查，难度不大；常与不等式的内容结合进行考查，主要考查方向如下：①集合的表示法；②集合之间的关系和集合的运算；③充分必要条件复习建议在本章的复习过程中，要准确理解元素的概念与性质，集合的概念、分类及其与元素的关系，学会应用常用数集、空集和全集；同时熟练掌握集合的表示法，掌握集合间关系的判定方法，并能够进行集合的运算和充分必要条件的判断知识框架知识点1集合及其表示知识点2集合之间的关系知识点3集合的运算目

录章节导航知识点4充分必要条件集合及其表示知识回顾

典例精讲真题链接

01知识回顾1．集合集合是由某些确定的对象组成的整体，简称集．集合常用大写英文字母表示，如A，B，C，…．2．元素组成集合的对象称为这个集合的元素，常用小写英文字母表示，如a，b，c，…．集合中元素的特征有：一、集合的概念①确定性②互异性③无序性知识回顾3．元素与集合的关系如果a是集合A的元素，就称a属于A，记作aϵA；如果a不是集合A的元素，就称a不属于A，记作a∉A．一、集合的概念4．集合的分类知识回顾一、集合的概念易错警示①

。②区分

和0：

表示集合，0表示元素。③区分

和

：

代表的是空集，本质是一个集合；

代表的是含有一个元素“

”的集合．5．常用数集及其记法知识回顾一、集合的概念知识回顾二、集合的表示法1．列举法、描述法和区间表示法知识回顾二、集合的表示法2．常见的集合表示（1）方程的解集：或，一般用列举法表示．（2）方程组的解集：或，一般用描述法表示．（3）不等式的解集：或，一般用区间表示．（4）点集：．（5）三角函数中角的集合：．典例精讲

例1

下列对象能否组成一个集合？（1）所有短发的女生； （2）1～10以内的所有奇数；（3）非常大的数； （4）不等式

的所有解．解析（1）由于“短发”没有具体的标准，表述的对象是不确定的，所以不能构成一个集合．（2）由于1～10以内的所有奇数包括1，3，5，7，9五个数，它们是确定的对象，因此可以构成一个集合．（3）由于“非常大的数”没有具体的标准，表述的对象是不确定的，所以不能构成一个集合．（4）解不等式

，可得

，它们是确定的对象，因此可以构成一个集合．【名师点睛】本题考查集合的概念，即集合是由某些确定的对象组成的整体；如果表述的对象是不确定的，就不能构成一个集合．典例精讲

变式训练1

以下对象能构成集合的是__________．（1）某校2035年招收的高个子学生； （2）著名的数学家；（3）与0接近的全体实数； （4）在直角坐标平面内，第一象限内的所有点．典例精讲

例2

设集合

，

，则下列表述中正确的是（）．A． B． C． D．变式训练2

设集合

，

，则（）．A． B． C． D．解析元素a与集合A的关系应是属于与不属于，因为

，所以

．故选A．【名师点睛】本题考查元素与集合的关系及其符号表示．典例精讲例3

若

，求实数ɑ的值．解析因为

，所以

，解得

．故实数ɑ的值为2或-1．【名师点睛】本题考查根据元素与集合之间的关系计算集合中的未知数a，但应注意要将计算结果代入集合中进行检验，观察是否满足集合中元素的互异性特征，即集合中的任何两个元素必不相同．变式训练3

集合

，若

，求实数ɑ的值．典例精讲

解析（1）

； （2）

； （3）

．【名师点睛】本题考查集合列举法的应用，用列举法表示集合时，需先确定元素，同时需注意集合中元素的互异性特征．变式训练4

用列举法表示下列集合．（1）

； （2）

；（3）

．例5

用描述法表示大于3的所有奇数组成的集合．典例精讲解析该集合中元素的共同属性可以描述为

且

，所以这个集合可以表示为

．【名师点睛】本题考查集合描述法的应用．敲黑板用描述法表示集合时，应注意以下几点：（1）用于描述元素特征性质的语句要简明、准确，不产生歧义；多特征描述时，应准确使用“且”“或”等关联词；（2）所有描述的内容都要写在大括号内；（3）在不引起混淆的情况下，还可用描述法的简略形式表示集合，如{正整数}{实数}等．典例精讲

变式训练5

用描述法表示下列集合．（1）不超过6的整数构成的集合； （2）不等式组

的解集；（3）不小于2的全体实数．若集合中的元素较少，通常用列举法表示；若集合中的元素较多或无限，则通常用描述法表示，但如果这些元素存在一定的规律，在不产生误解的情况下，也可以用列举法表示．解题通法真题链接课堂小结这小结我们学习了集合及其表示包括：集合的概念和集合的表示法，并进行了活学活练，希望大家课下多加复习，可以更加深刻的了解集合的概念。集合之间的关系知识回顾

典例精讲真题链接

02知识回顾子集、真子集、相等典例精讲

变式训练1

一个集合的非空子集有

63

个，则这个集合的非空真子集的个数为________．例1

设集合

，试写出集合A的子集、非空子集、真子集和非空真子集．

典例精讲

例2

已知集合

，

，集合M满足

．这样的集合M共有（）．A．7个 B．255个 C．256个 D．254个解析集合M应是集合A与集合

的非空子集的并集，所以集合M的个数即为集合

的非空子集的个数．因为集合C的元素个数为8，所以集合C的非空子集的个数为

，即集合M的个数为255．故选B．【名师点睛】根据子集和真子集的定义，可得集合M的个数即为集合

的非空子集的个数．变式训练2

满足

的集合A的个数为（）．A．1 B．2 C．3 D．4典例精讲

例3

下列选项中，A和B表示同一个集合的是（）．A．

，

B．

， C．

， D．

，解析

A选项中，

，集合A与B相等；B选项中，集合A与B的元素个数不同，故两集合不相等；C选项中，集合A与B的元素完全相同，两集合相等；D选项中，集合A与B中的元素不同，即两个点的坐标不同，故两集合不相等．故选C．【名师点睛】判断两个集合是否相同，需判断它们的元素是否相同，与元素的排列顺序无关．典例精讲变式训练3

判断下列各组集合之间的关系．典例精讲

例4

若集合

，

，

，求m的值．

变式训练4

设集合

，

，

，求实数ɑ的取值范围．典例精讲例5

已知

，

，若

，求实数a的取值范围．解析因为

，所以B不是空集．因为

，所以有

解得.【名师点睛】本题也可以利用数轴比较两个集合的端点，如图所示，列出不等式，进而求解未知数a的取值范围．解题通法对于此类实数不等式问题，可借助数轴，将集合语言转化为图形语言，通过观察图形进而求解实数的值或取值范围．典例精讲

变式训练

5

已知

，

，若

，求实数ɑ的取值范围．真题链接课堂小结这小结我们学习了集合之间的关系，并学习了典例精讲，希望大家课下多加复习，在做题中能够灵活运用集合之间的关系。集合的运算知识回顾

典例精讲真题链接

03知识回顾一、交集知识回顾二、并集敲黑板知识回顾1．全集的定义在研究某些集合时，这些集合常常是一个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，一般用U来表示．在研究数集时，经常将实数集R作为全集．三、补集易错警示全集是一个相对的概念，在不同的情况下，全集的概念也不同．知识回顾2．集合的补集三、补集典例精讲

例

1

设全集

，集合

，

，则

（）．解析因为

，

，所以

．故选C．【名师点睛】先求

，再求

，计算时需注意所求集合中的元素不要遗漏或重复．

变式训练

1

设全集

，集合

，

，则下列关系式中错误的有（）． 典例精讲

变式训练2

已知集合

，

，求

．例2

已知集合

，

，求

．解析由题意，得集合A，B，的交集就是二元一次方程组

的解集．解方程组，得

所以

．【名师点睛】掌握描述法表示集合的交集的求法．典例精讲进行集合的交、并、补运算的步骤：①根据元素满足的条件解方程或不等式，将集合化简；②利用交集、并集、补集的定义进行运算，必要时可借助数轴和Venn图，方便求解．解题通法典例精讲

变式训练3

已知全集为R，集合

，

求解以下各式．（1）

；

（2）

； （3）

； （4）

．典例精讲

例

4

已知集合

，

，若

，则实数m的取值范围是（）．A．

B．

C．

或

D．

变式训练

4

已知集合

，

，且

，求实数a的取值范围．解析集合

，在数轴上画出集合B，如图所示．所以

或

，解得

或

．故选C．【名师点睛】先化简集合B，再用数轴表示集合，根据端点之间的关系列出不等式进行求解，最后将结果代入进行验证．典例精讲例

5

已知集合

，

，且

，

求

p，q，r的值．

典例精讲变式训练

5

已知集合

，

，若

，

，求实数a，b的值．真题链接课堂小结这小结我们学习了集合的运算包括：交集、并集、补集，并进行了活学活练。希望大家课下多加复习，将集合的运算熟记于心。充分必要条件知识回顾

典例精讲

真题链接04知识回顾能够唯一判定真假的陈述句称为命题，常用小写字母p，q，r，…表示．命题有真有假，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．命题由条件和结论两部分组成．一、命题知识回顾设条件p对应的集合为P，结论q对应的集合为Q，则充分必要条件的定义、集合表示、记法与读法．二、充分必要条件的定义敲黑板与充分必要条件等价的词语有“当且仅当”“等价于”“有且只有”“反过来也成立”等．知识回顾三、充分、必要条件的传递性若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件，即若

，则

．若p是q的必要条件，q是r的必要条件，则p是r的必要条件，即若

，则

．典例精讲例1

将“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”填入下列空格中．（1）“x是实数”是“x是有理数”的_______________；（2）“x是正方形”是“x是矩形”的_______________；（3）“

”是“

”的_______________；（4）“x=0”的_______________是“x2+x=0”．典例精讲解析（1）x是有理数时必然也是实数，但x是实数时不一定是有理数，故“x是实数”是“x是有理数”的必要不充分条件．（2）正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形，故“x是正方形”是“x是矩形”的充分不必要条件．（3）因为

，故“

”是“

”的充分必要条件．（4）x=0能推出x2+x=0，但x2+x=0不一定能推出x=0，所以“x2+x=0”是“x=0”的必要不充分条件，即“x=0”的必要不充分条件是“x2+x=0”．【名师点睛】应用充分、必要和充分必要条件的定义进行条件和结论的正推和反推，进而作出判断．充分、必要条件的判断方法有两种：①定义法，先分别确定条件p和结论q，再尝试由条件p推理结论q，由结论q推理条件p，最后确定条件p和结论q的关系；②集合法，根据条件p和结论q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．解题通法典例精讲

敲黑板（1）确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明．（2）对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个．典例精讲例

2

已知集合

，若“

”是“

”的充分条件，求实数a的取值范围．

变式训练

2

已知

，

，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．真题链接课堂小结这小结我们学习了充分必要条件：命题、充分必要条件的定义和充分、必要条件的传递性。希望大家课下多加复习，加深对本节课的理解。作业布置老师在APP中生成作业布置二维码，放在此处即可对课件有修改、优化建议，作业布置遇到问题，想免费使用平台或免费建课，请扫描右侧二维码，添加客服微信解决文旌客服联系方式文旌客服谢

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第2章

不等式考情聚焦考查方向本章内容一般以选择题、填空题和计算题的形式考查，难度不大，主要考查方向如下：①不等式基本性质的应用；②解一元二次不等式和含绝对值的不等式复习建议在本章的复习过程中，要理解不等式的基本性质及各类区间的概念，掌握一元二次不等式与一元二次方程及判别式之间的关系，熟记一元二次不等式的解集公式，学会利用多种方法求解一元一次不等式（组）、一元二次不等式及含绝对值的不等式，并能够用区间表示出不等式的解集和函数的定义域，重点需注意区间端点的取值情况知识框架知识点1不等式的基本性质与区间知识点2一元二次不等式知识点3含绝对值的不等式目

录章节导航不等式的基本性质与区间知识回顾

典例精讲

真题链接01知识回顾一、比较实数的大小这种作差比较两个实数（或代数式）大小的方法称为作差比较法．设

，则有知识回顾二、不等式的性质点击此处播放微课知识回顾三、区间由数轴上两点间的所有实数所组成的集合称为区间，这两个点称为区间端点．设

，且

，则各种区间表示的集合．知识回顾3．区间续表敲黑板（1）我们常用区间来表示数集，特别是不等式的解集．另外，利用不等式表示的集合，也常用区间来表示．（2）实数集R是无穷区间，记作

．典例精讲例1

当

时，判断

与

的大小．解析应用作差比较法，因为

，且当

时，

恒成立，所以

．【名师点睛】对于用字母表示的两个实数，一般通过判断它们之间差的符号来比较它们的大小．作差比较法比较实数（或代数式）大小的步骤：作差→变形（可利用因式分解、配方法，将差转化为积的形式或配成完全平方式）→判断符号．解题通法典例精讲变式训练1

设a，b为两个不相等的实数，判断

与

的大小．典例精讲解析

A选项缺少对a，b，c，d同为正数的限制；B选项缺少对c为正数的限制；C选项要成立，还要求a，b同号；D选项满足同向不等式的可加性．故选D．【名师点睛】本题考查不等式的基本性质及其推论．

例2

下列命题中，正确的是（）．A．若

，

，则 B．若

，则C．若

，则 D．若

，

，则易错警示

不一定成立，需分情况讨论：①若

，

，则

；

②若

，

，则

；③若

，

，则

无意义．典例精讲变式训练2

下列各选项中，正确的是（）．A．

B．C． D．

且敲黑板在判断不等式是否成立时，部分情况下可使用特殊值法，即根据条件取特殊值代入不等式进行验证．典例精讲例3

已知集合

，

，求

，

．解析由集合A，B可得，

，

．【名师点睛】用区间表示集合的交集、并集和补集时，可通过数形结合准确表示集合．易错警示在使用区间表示集合时，要特别注意判断区间端点能否取到．典例精讲

变式训练3

设全集为R，集合

，

，求：（1）

，

； （2）

，

； （3）

，

．典例精讲例4

设全集

，集合

，

，则_________，

_________．（用区间表示）解析解不等式可得集合

，

，所以

．由全集

可得

，所以

．【名师点睛】本题考查不等式的求解、集合的运算及区间的表示方法．典例精讲变式训练4

不等式组

的解集用区间表示为_________．典例精讲例

5

函数

的定义域用区间表示为__________________．解析要使函数

有意义，则其分母

，解得

．因此，函数的定义域为

．【名师点睛】对于此类求函数定义域的问题，应考虑全面，重点注意区间端点的取舍．典例精讲变式训练5

函数

的定义域是（）．A．

B．C．

D．真题链接课堂小结这小结我们学习了不等式的基本性质与区间，并进行了活学活练，希望大家课下多加复习，可以更加深刻的了解集合的概念。一元二次不等式知识回顾

典例精讲

真题链接

02知识回顾一、解一元一次不等式（组）1．求解一元一次不等式任何一元一次不等式最后都能化为形如

（或

）或

（或

）

的不等式（

），然后进行求解．以

为例的一元一次不等式的解集．知识回顾2．求解一元一次不等式组求解一元一次不等式组的方法有两种：一、解一元一次不等式组②口诀法．以两个一元一次不等式组成的不等式组为例，其解集如表所示，其中

．①图象法．分别求出每一个不等式的解集，然后利用数轴找出它们的公共部分．知识回顾一、解一元一次不等式组知识回顾1．一元二次不等式的含义含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式．其一般形式为二、解一元二次不等式知识回顾2．求解一元二次不等式（1）利用因式分解法求解．同解变形后的判断依据是：二、解一元二次不等式点击此处播放微课知识回顾2．求解一元二次不等式二、解一元二次不等式具体步骤：①②③将一元二次不等式的右端化为0将左端进行因式分解，并利用以上同解变形后的判断依据，转化为两个一次不等式求出解集．知识回顾二、解一元二次不等式（2）利用一元二次函数的性质求解．当

时，函数

的图象、方程

的解及不等式

的解集之间的关系

．知识回顾（2）利用一元二次函数的性质求解．二、解一元二次不等式续表敲黑板（1）当

时，根据不等式的性质，可先将其转化为

的形式，得到与原不等式同解的不等式，再按步骤进行求解．（2）当

且

时，也可以先求出对应的一元二次方程的两个实数解，再结合口诀“大于取两边，小于取中间”得出解集．典例精讲例1

解关于x

的不等式：

．解析原不等式移项后，得

．（1）当

时，

，即不等式的解集是

．（2）当

时，

，即不等式的解集是

．【名师点睛】本题考查了分类讨论的数学思想．不等式移项后，需分别讨论

和

两种情况的解集．解题通法解一元一次不等式的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项（转化为或的形式）→将未知数的系数化为1（若系数为负，则不等式需变号）．典例精讲变式训练1

解关于x

的不等式：

．典例精讲解析由原不等式组解得

所以原不等式组的解集为

．【名师点睛】先按照解一元一次不等式的步骤分别求出每一个不等式的解集，然后根据“大小、小大取中间”的口诀求其交集，即为原不等式组的解集．例2

解不等式组：典例精讲变式训练2

解不等式组：典例精讲例3

解不等式：

．解析

可变形为

．因为方程

中，

，所以方程

有两个实数解，求得该方程的解分别是

，

，所以不等式

的解集为

，即原不等式的解集为

．【名师点睛】本题可利用一元二次函数的性质及一元二次不等式的解集公式进行求解．解题通法解一元二次不等式的步骤：①化：将不等式转化为

且右端为0的形式；②判：计算对应一元二次方程的判别式∆，判断方程是否有实数解；③求：求出一元二次方程的实数解

；④写：利用口诀“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．典例精讲

变式训练3

解不等式：

．典例精讲例4

已知一元二次不等式

的解集是

，则a-b=_________．解析由不等式

的解集为

可知，方程

的两个实数解为

和

．由韦达定理，得

解得

，

，所以

．【名师点睛】题中一元二次不等式的解集的区间端点取值即为对应的一元二次方程的两个实数解．典例精讲变式训练4

若不等式

的解集为

，求不等式

的解集．典例精讲例5

当

时，不等式

的解集是____________．解析将原不等式

因式分解后，得

因为

，所以

．根据同解变形后的判断依据可得，不等式

的解集为

，即原不等式的解集为

．【名师点睛】解此题的关键是根据

来判断a与2a的大小，进而求解不等式．典例精讲变式训练5

若

，求不等式

的解集．易错警示求解含参数的不等式时，不仅要判断两个实数解的大小关系，还需注意二次项系数的正负，若二次项系数为负，需先将其化为二次项系数为正的不等式，以便正确写出解集．典例精讲

例6

关于x的不等式

对任意实数都成立，求实数

k的取值范围．解析（1）当

时，原不等式可变形为

，x取任意实数时都成立．（2）当

时，由题意，得一元二次函数

的图象如图所示．由图得

即

解得

．综上所述，k的取值范围是

．【名师点睛】（1）因为x2项的系数含有参数

k，所以需要分别讨论

和

两种情况．（2）当

时，先大致确定对应一元二次函数的图象，再根据图象得出k与

的范围，进而求解．解题通法对于在R内恒成立的含参一元二次不等式，要求解参数的取值范围，首先，若二次项系数为参数，需分类讨论参数为零、不为零的两种情况；其次，若二次项系数不为零，则可以利用图象法，先确定对应二次函数的大致图象，再结合二次函数的性质将图象特点转化为数学语言；最后，综合所有情况，得出结论．典例精讲变式训练6

已知不等式

的解集是空集，则实数

k的取值范围是________．真题链接

1． （2021年）解不等式．

2． （2020年）解不等式

．课堂小结这小结我们学习了一元二次不等式包括：解一元一次不等式和解一元二次不等式，希望大家课下多加复习，更加深刻的了解一元二次不等式的概念。含绝对值的不等式知识回顾

典例精讲

真题链接03知识回顾绝对值内含有未知数的不等式称为含绝对值的不等式．一、含绝对值的不等式的定义知识回顾解含绝对值的不等式的总体思想是将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式．二、解含绝对值的不等式敲黑板对于形如

与的不等式，可以通过“变量替换”的方法求解，就是用单一的字母表示一个代数式，从而使一些数学问题化难为易，化繁为简．例如，不等式

中，设

则原不等式可转化为

，其解集为

或

，即

或

，进而求出原不等式的解集．典例精讲

例1

解不等式：

．解析由绝对值的几何意义可得

，所以不等式

的解集是

．【名师点睛】

的几何意义是指数轴上表示实数x的点到原点的距离，因此有

．典例精讲变式训练1

解不等式：

．典例精讲例2

解不等式：

．解析不等式

可变形为

，展开，得

，可变形为

，解得

，所以不等式

的解集是

．【名师点睛】题中绝对值内x的系数是负的，需先化负为正，再利用“变量替换”的方法解不等式，变量替换的书写过程可以省略．解题通法解含绝对值的不等式，既可以通过“变量替换”的方法求解，也可以应用“大于取两边，小于取中间”的规律去掉绝对值符号，进而转化为一元一次不等式（组）再进行求解．典例精讲

变式训练2

解不等式：

．典例精讲例3

解不等式：

．解析不等式

可变形为

，解得

．进一步求解可得

或

．所以，原不等式的解集为

．【名师点睛】可利用“变量替换”的方法，先解一元二次不等式，求出|x|的范围，再进一步求解出x的范围．敲黑板解含绝对值的不等式时需注意以下几点：（1）要特别注意“且”和“或”的区别和联系；（2）不等式（组）的解集通常用区间表示．典例精讲

变式训练3

解不等式：

．典例精讲

例4

解不等式：

．解析方法一：原不等式可变形为

即

进一步，得解得

或

，所以原不等式的解集为

．方法二：利用绝对值的几何意义求解．原不等式

或

，解得

或

，所以原不等式的解集为

．【名师点睛】对于此类含绝对值的不等式（组），应用绝对值的几何意义进行求解的方法更为简便．典例精讲变式训练4

解不等式：

．敲黑板求解含绝对值的不等式时，不等式的性质同样适用．典例精讲例5

若不等式

的解集是

，求

的值．解析原不等式变形为

，即

．因为原不等式的解集为

，所以有

解得【名师点睛】对于此类含参数的绝对值不等式，可利用待定系数法进行求解．典例精讲变式训练5

已知

，且不等式

的解集为

，求

a的值．典例精讲例6

已知集合

，

，且

，求实数a的取值范围．解析不等式

可变形为

，解得

，可得集合

．又因为

，且

，所以

，解得

，所以实数

a的取值范围是

．【名师点睛】此题是集合与不等式的综合题，解题时应熟练掌握不等式的性质和解不等式的方法，必要时也可利用数轴实现数形结合．典例精讲

变式训练6

设集合

，

，且

，求实数a的取值范围．真题链接（2022年）解绝对值不等式．课堂小结这小结我们学习了含绝对值的不等式的定义及等式。希望大家课下多加复习，加深对本节课的理解。谢

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第3章

函数考情聚焦考查方向本章内容的考查形式包含选择题、填空题和计算题，主要对函数的定义域、值域、表示法、单调性、奇偶性等知识点进行考查．其中，函数的定义域、单调性和奇偶性是高频考点复习建议在本章的复习过程中，要理解函数的概念及其三种表示法，能够准确求出函数的定义域和值域；要理解函数的单调性和奇偶性的定义和图象特征，学会判断函数的单调性和奇偶性；同时，掌握基本函数的性质，熟记一元二次函数的图象特征、值域、单调性和奇偶性等，并能够运用这些性质求解实际应用题知识框架知识点1函数的概念及表示法知识点2函数的单调性和奇偶性知识点3一元二次函数目

录章节导航函数的概念及表示法知识回顾

典例精讲

真题链接01知识回顾一、函数的概念敲黑板定义域与对应法则是函数定义中的两个要素．函数的值域由定义域和对应法则决定．如果两个函数定义域和对应法则都相同，那么这两个函数相等．知识回顾一、函数的概念知识回顾二、函数的表示法敲黑板函数的三种表示法在表示函数时各有特点，在实际应用中要根据具体情况合理选用．其中，在运用解析法表示函数时，还必须注明函数的定义域．典例精讲例1

求下列函数的定义域．（1）

；

（2）

．解析（1）要使函数解析式有意义，应满足

解得

故函数的定义域为

．（2）函数

，要使函数

有意义，应满足

解得

，所以该函数的定义域为

．【名师点睛】求函数的定义域，就是将函数解析式中自变量x需要满足的所有条件转化为相应的不等式（组），这个不等式（组）的解集即为函数的定义域．敲黑板函数定义域的常用求法：①分式的分母不等于0；②偶次方根的被开方数大于或等于0；③0的0次方无意义；④对数的真数大于0；⑤指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1；⑥正切函数

中，

；⑦如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围．典例精讲变式训练1

设函数

的定义域是

，则

的定义域是（）．A． B． C． D．解题通法①若函数

的定义域为

，则其复合函数

的定义域由

解出；②若函数

的定义域为

，则函数

的定义域为

在

内的值域．典例精讲解析

A选项中，

的定义域是R，

的定义域是

，两者定义域不同；B选项中，

的定义域是R，

的定义域是

，两者定义域不同；C选项中，两个函数的三要素完全相同；D选项中，

的定义域是

，

的定义域是R，两者定义域不同．故选C．【名师点睛】若两个函数的定义域、对应法则和值域均相同，则它们为同一函数，与表示函数所运用的字母无关．

例2

下列各组函数中，表示同一函数的是（）．A．

与 B．

与C．

与 D．

与易错警示两函数的对应法则可转化为相同的形式也不一定为同一函数，一定要全面考虑函数的定义域、对应法则和值域是否完全相同．只有函数的三要素完全相同，二者才是同一函数．典例精讲变式训练2

下列四组函数中，表示同一函数的是（）．A．

， B．

，C．

， D．

，典例精讲例3

求下列函数的值域．（1）

； （2）

，

；（3）

； （4）

．解析（1）函数的值域为

．（2）函数的值域为

．（3）

，故函数的值域为

．（4）

，因为

，所以函数的值域为

．【名师点睛】求函数的值域应注意自变量的取值范围；对一元二次函数求值域可用配方法，要注意对称轴与所给取值范围的位置关系．敲黑板求函数值域的方法有直接法、配方法、反解法、判别式法、不等式法、分离常数法，还有换元法和图象法．典例精讲

变式训练3

求下列函数的值域．（1）

； （2）

．典例精讲例4

已知

，则

（）．A．2

B． C．4 D．8解析因为

，

，所以

．故选B．【名师点睛】对简单的复合函数可从内到外分层求解．典例精讲变式训练4

设函数

，

，

，求

．典例精讲例5

已知

，则

____________．解析方法一：因为

，所以

．方法二：令

，则

，代入函数，得

，故

．【名师点睛】应用数学的整体化思想，将x-1看作一个整体，换元即可求得函数解析式．解题通法已知函数

的解析式，求

的解析式，常用的方法有配方法和换元法．其中更常使用的是换元法．典例精讲变式训练5

已知

，则

____________．典例精讲

例6

已知一次函数图象过点

和

，求它的解析式．解析设

，因为图象过点

和

，所以将这两点代入函数，得

解得

．因此，该一次函数的解析式为

．【名师点睛】求解一次函数解析式可运用待定系数法．典例精讲

变式训练6

已知一次函数图象过点

和

，求它的解析式．真题链接课堂小结这小结我们学习了函数的概念及表示法，并进行了活学活练，希望大家课下多加复习，可以更加深刻的了解函数的概念。函数的单调性和奇偶性知识回顾

典例精讲

真题链接02知识回顾一、函数的单调性1．函数单调性的定义设函数

在区间

内有意义，则函数单调性的定义如表．敲黑板如果函数

在区间

内是增函数（或减函数），那么称函数

在区间

内具有单调性，区间

叫作函数

的单调区间．知识回顾一、函数的单调性2．判断函数单调性的常用方法（1）定义法：其步骤如下．①取值：取给定区间内的任意两个值

，使

；②作差变形：计算

，然后通过因式分解、通分、配方、分母有理化等方法进行化简变形；③定号：判断差值的正负，当符号不确定时，可考虑分类讨论；④判断：根据定义得出结论．知识回顾（2）图象法：画出函数图象，通过观察图象判断函数的单调性．一、函数的单调性2．判断函数单调性的常用方法点击此处播放微课知识回顾二、函数的对称性设点

为平面内的任意一点，则可以得出如图所示的结论．敲黑板（1）如果函数图象上的任意一点P

关于y

轴的对称点

仍然在函数图象上，那么称函数图象关于y轴对称，并将y轴叫作这个函数图象的对称轴．（2）如果函数图象上的任意一点P关于原点的对称点

仍然在函数图象上，那么称函数图象关于原点中心对称，并将原点叫作这个函数图象的对称中心．知识回顾三、函数的奇偶性设函数

的定义域为数集D，则函数奇偶性的定义、图象特征和性质如下表．点击此处播放微课知识回顾四、基本函数的单调性和奇偶性知识回顾四、基本函数的单调性和奇偶性知识回顾四、基本函数的单调性和奇偶性典例精讲例1

下列函数在区间

内是减函数的是（）．A． B． C． D．解析

A选项中，一次函数

中

，函数在R上是增函数；B选项中，一元二次函数

的图象开口向上，函数在

内是减函数，在

内是增函数；C选项中，反比例函数

中

，函数在

内是减函数；D选项中，一元二次函数

的图象开口向下且关于y轴对称，函数在

内是增函数．故选C．【名师点睛】本题考查基本函数的单调性．典例精讲变式训练1

下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）．A． B． C． D．典例精讲解析由已知可得

，则一元二次函数为

，此函数为偶函数，其图象关于y轴对称．故选B．【名师点睛】根据常见基本函数的图象特征、单调性和奇偶性等性质进行判断．例2

已知一次函数

的图象关于原点对称，则一元二次函数的图象（）．A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于直线

对称 D．关于原点对称典例精讲变式训练2

已知

为奇函数，则m=______，n=_______．典例精讲例3

利用函数单调性的定义证明：函数

在

内是增函数．解析任取

，有

．因为

，所以

，即

，得出

，故此函数在

内是增函数．【名师点睛】掌握定义法判断函数单调性的步骤：取值→作差变形→定号→得出结论．证明过程中对差值进行变形时，常用的技巧有：①当原函数是多项式形式时，通常采用因式分解法；②当原函数是分式形式时，通常对其通分后再进行因式分解；③当原函数是一元二次函数形式时，可采用因式分解或配方法；④当原函数是根式形式时，通常采用分母有理化的方法．解题通法典例精讲变式训练3

利用函数单调性的定义证明：函数

在

内是减函数．典例精讲例4

判断下列函数的奇偶性．（1）

； （2）

；（3）

； （4）

．解析第（3）题中函数的定义域为

，不关于原点对称，故此函数为非奇非偶函数．第（1），（2），（4）题中函数的定义域都是R，关于原点对称，可以进一步讨论奇偶性．（1）

，故此函数为奇函数．（2）

，故此函数为偶函数．（4）

，而

．因为

，

，所以此函数为非奇非偶函数．【名师点睛】本题主要运用定义判断函数的奇偶性，也可以根据函数奇偶性的性质来判断．例如，（1）中的函数可看成是两个奇函数之和，为奇函数；（2）中的函数可看成是两个偶函数之差，为偶函数；（4）中的函数可看成是奇函数与偶函数的和，为非奇非偶函数．解题通法判断函数的奇偶性的方法：（1）定义法：首先求出函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称．①若关于原点对称，进而判断

与

的关系；②若不关于原点对称，可直接得出此函数为非奇非偶函数的结论；（2）图象法：观察函数图象是否关于原点或y轴对称．典例精讲变式训练4

判断下列函数的奇偶性．（1）

； （2）

；（3）

； （4）

．典例精讲例5

若函数

是奇函数，则a=____________．解析因为

是奇函数且当

时有意义，所以

，解得

．将

代入函数解析式中，得

，且

，符合题意，所以

．【名师点睛】利用该奇函数图象经过原点的性质即可求解．典例精讲变式训练5

若函数

是奇函数，则

____________．典例精讲例6

偶函数

在区间

上是增函数且最小值为5，则

在

上是（）．A．增函数且有最小值5

B．增函数且有最大值-5C．减函数且有最小值-5

D．减函数且有最小值5解析因为

为偶函数，所以根据偶函数的单调性及图象特点可得

在

上是减函数且有最小值5．故选D．【名师点睛】若函数

是偶函数，且在

上是增函数（减函数），则函数

在

上是减函数（增函数），可简记为：偶函数单调性相反，最值相同．敲黑板若函数

是奇函数，且在

上是增函数（减函数），则函数

在

上也是增函数（减函数），可简记为：奇函数单调性相同，最值的大小、正负相反．典例精讲变式训练6

奇函数

在

上是增函数，且有最小值3，则

在

上是（）．A．增函数且有最小值3

B．增函数且有最大值-3C．减函数且有最小值-3

D．减函数且有最大值3真题链接课堂小结这小结我们学习了函数的单调性和奇偶性，希望大家课下多加复习，更加深刻的了解函数的概念。一元二次函数知识回顾

典例精讲

真题链接03知识回顾一、一元二次函数的定义一般地，如果

（

是常数且

），那么y称为x的一元二次函数，它的定义域为R．知识回顾二、一元二次函数的解析式知识回顾三、一元二次函数的图象和性质知识回顾三、一元二次函数的图象和性质典例精讲例1

已知关于

x的不等式

在R内恒成立，则实数a的取值范围是____．解析

因为不等式在R内恒成立，所以

，即a的取值范围是（0,8）．【名师点睛】一元二次函数恒成立的条件为

，

；

恒成立的条件为，．典例精讲变式训练1

已知关于x的不等式

在R内恒成立，则实数a的取值范围是___________．典例精讲

例2

已知一元二次函数的顶点坐标为

，且其图象过点

，则一元二次函数的解析式为____________．解析因为顶点坐标为

，所以设一元二次函数的解析式为

．又因为图象过点

，代入函数解析式，得

，解得

，故所求解析式为

．【名师点睛】本题运用待定系数法求解函数解