角课件2026-2027学年人教版七年级数学上册

第六章几何图形初步6.3角6.3.1角的概念

学习目标1.理解角的定义和相关概念，掌握角的表示方法.2.会正确使用量角器测量角的大小.3.认识角的单位，会进行度、分、秒之间的换算.4.认识方位角.

学习重难点理解角的定义和相关概念，掌握角的表示方法.认识角的单位，会进行度、分、秒之间的换算.难点重点回顾复习有公共端点的两条射线组成的图形叫作角.这个公共端点是角的顶点.这两条射线是角的两条边.顶点边我们小学阶段已经学过角的概念，想一想小学阶段我们是怎样定义角的？

观察下面实物，你发现这些实物给我们共同的形象是什么？创设情境知识点1

角的定义新知引入角的动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.始边终边O

ABO

AB(B)

平角周角如图，射线OA绕端点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，形成什么角？继续旋转，OB和OA重合时，又形成什么角？注意：1.我们平时画角时,只画角的一部分,角的两边是两条射线.2.

角的大小只与构成角的两边张开的幅度有关.3.平角的两边成一条直线，但不能说平角就是直线；周角两边重合形成一条射线，但不能说周角就是射线.例题示范例1

下列说法中，正确的是()A．两条射线所组成的图形叫作角B．有公共点的两条射线叫作角C．一条射线绕着它的端点旋转叫作角D．一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形叫作角D例2

判断下列哪些图形是角√×√√知识点2

角的表示方法新知引入1.用三个大写字母表示，如：∠AOB或∠BOA(必须把顶点字母放在中间)；ABO当两个或两个以上的角共同一个顶点时，不能用一个大写字母表示．如图，还能把∠AOB

记作∠O

吗？为什么？C2.用一个数字表示，如∠1；3.用小写希腊字母表示，如∠α.α1ABOC用数字或希腊字母表示角时，一定要在图形中用角弧标出.注意：1.角的符号应书写标准，“∠”不可与“<”混淆.2.当以某一点为顶点的角有两个或两个以上时，其中任何一个角都不能用一个顶点字母表示.3.如无特殊说明，在初中阶段所说的角一般都指小于平角的角.例题示范例

如图，写出符合以下条件的角：(1)能用一个大写字母表示的角；(2)以A为顶点的角；(3)小于平角的角．导引：用一个大写字母表示的角不能有其他角与它共用顶点．解：(1)∠B，∠C.(2)∠BAC，∠BAD，∠CAD.(3)∠BAC，∠B，∠C，∠1，∠2，∠3，∠4.知识点3

角度制及换算新知引入角的度量工具：量角器怎么知道这个角的大小？角的度量单位：我们常用量角器量角,度、分、秒是常用的角的度量单位.把一个周角360等分,每一份就是1度的角,记作1°；把1度的角60等分,每一份就是1分的角,记作1′；把1分的角60等分,每一份就是1秒的角,记作1″.如无特殊说明，初中阶段所说的角一般都指大于0°且小于180

°的角.1周角＝

°;1平角＝

°.360180角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制.

注意：1.角的度量单位度、分、秒是60进制的，这和计量时间的单位时、分、秒的进制是一样的.2.把高级单位转化为低级单位要乘进率；把低级单位转化为高级单位要除以进率.3.转化时必须逐级进行，“越级”转化容易出错.例题示范例1

度分秒的互化⑴57.32

=

′

″;⑵17°6′36″=

°.

解析:57.32=57+0.32×60′=57+19.2′=5719′+0.2×60″=5719′12″

按1°＝60′，1′＝60″先把度化成分，再把分化成秒(小数化整数)

溯源

最早明确使用角度制的文字记载于希腊学者托勒密（Ptolemaeus，约90-168）的《天文学大成》.托勒密在书中将圆周分为360等份，将1份记为1°，并采用古巴比伦的六十进制，定义出度、分、秒，这样便形成了角度制.新知引入知识点4

方位角八大方位：正东：射线OA正南：射线OB正西：射线OC正北：射线OD西北方向：射线OE西南方向：射线OF东北方向：射线OH东南方向：射线OG

EHFGB东西北南ADCO45°45°45°45°如图，射线OA的方向是北偏东30°，射线OB的方向是南偏西60°，这里的“北偏东30°”和“南偏西60°”是用来表示方向的角，叫作方位角.表示方向的角(方位角)在航行、测绘等工作中经常用到.东北方向表示北偏东45°，西北方向表示北偏西45°，东南方向表示南偏东45°，西南方向表示南偏西45°.注意：方位角通常先写北或南，再写偏东或偏西，如“北偏东30°”一般不写成“东偏北60°”.例题示范例2

如图,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线.10°45°40°60°DBACO●东北南西随堂练习1.下列关于平角、周角的说法中，正确的是()①平角是一条直线②周角是一条射线③反向延长射线OA，就形成一个平角④由一条射线绕其端点旋转，始边与终边重合而形成的图形叫周角A．①③

B．②④

C．①④

D．③④D2.下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是()A3.如图，有下列说法：①∠ECG和∠C是同一个角；②∠OGF和∠OGB是同一个角；③∠DOF和∠EOG是同一个角；④∠ABC和∠ACB是同一个角．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个B4.甲、乙、丙、丁，四名学生在判断钟表的分针和时针互相垂直的时刻时，每人说了两个时刻，说法都对的是（）A．甲说：“3时整和3时30分”B．乙说：“6时15分和6时45分”C．丙说：“9时整和12时15分”D．丁说：“3时整和9时整”D5.如图，下列说法不正确的是()A．OC的方向是南偏东30°B．OA的方向是北偏东45°C．OB的方向是北偏西60°D．∠AOB的度数是75°D6.魏老师到市场去买菜，发现若把5kg的菜放到秤上，指针盘上的指针转了180°，如图所示．(1)如果把0.5kg的菜放在秤上，指针转过的角度是多少？(2)如果指针转了270°，这些菜有多少千克？1.下图中表示方法正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个B拓展提升2.下列说法正确的是()A．一条直线就是一个平角B．一个角的两边画得越长，这个角就越大C．反向延长射线OA就得到一个平角D．画一条射线就得到周角C3.如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是()A．30°B．60°C．90°D．120°4.若∠P＝25°12′，∠Q＝25.12°，∠R＝25.2°，则下列结论中正确的是()A．∠P＝∠Q

B．∠Q＝∠R

C．∠P＝∠R

D．∠P＝∠Q＝∠RBC5．如图，已知∠1：∠2：∠3＝1：2：4，∠4＝80°.求∠1，∠2，∠3的度数．解：根据题意可设∠1＝x°，∠2＝2x°，∠3＝4x°.因为∠4＝80°，所以∠1＋∠2＋∠3＝360°－80°，即x＋2x＋4x＝360－80，解得x＝40.所以∠1＝40°，∠2＝80°，∠3＝160°.归纳小结角的定义有公共端点的两条射线组成的图形一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形角的表示方法用三个大写字母或一个大写字母表示用一个数字加弧线表示用一个小写希腊字母加弧线表示角的度量度、分、秒角1°=60′，1′=60″方位角通常要先写北或南，再写偏东或偏西第六章几何图形初步6.3角6.3.2角的比较与运算-第1课时

学习目标1.理解角的大小、和差的几何意义.2.会比较角的大小，掌握角之间的和差关系，并能进行简单的计算.学习重难点理解角的大小、和差的几何意义.会比较角的大小，掌握角之间的和差关系，并能进行简单的计算.难点重点回顾复习AB>CDAB<CDAB=CD比较线段长短的方法：1.度量法2.叠合法(A)B

BACDCDAB(A)(B)CDB(A)BA创设情境有一天学生张亮和王帅各带了一把折扇(如图所示)，下面是他们的一段对话.张：我的折扇张开大一些，所以我的折扇的角也大一些.王：我的折扇长一些，所以我的折扇的角也大一些.知识点1

比较角的大小的两种方法新知引入同学们，你们有办法帮他们进行判断吗?ABCDEF怎样比较∠ABC和∠DEF的大小?类比线段长短的比较,你认为该如何比较两个角的大小？1.度量法用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小.ABO(O')B'(A')ABOABO(O')B'(A')∠AOB＜∠A'O'B'∠AOB=∠A'O'B'∠AOB＞∠A'O'B'(O')(B')(A')2.叠合法把两个角的顶点和一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小.使用叠合法比较角的大小的关键点①重合，即顶点重合，一条边重合；②同侧，即另一条边放在重合边的同一侧.注意：1.角的大小关系和角的度数的大小关系是一致的.从数量方面进行比较，度数大的角大；从形状上看，开口大的角大.2.比较角的大小有时也可用估测法：直接通过观察，比较角的大小.此方法较为直观，但不够精准,仅适用于角度差别较大或精确度要求不高的角的大小的比较.例题示范例1

在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，那么有()A．∠AOC＝∠BOC

B．∠AOC＞∠BOCC．∠BOC＞∠AOB

D．∠AOB＞∠AOCD例2如图所示，回答下列问题：(1)比较∠FOD与∠BOD的大小；(2)比较∠AOD与∠BOD的大小；(3)借助量角器比较∠AOE与∠DOF的大小.解：(1)∠FOD<∠BOD.(2)∠AOD>∠BOD.(3)∠AOE=∠DOF.知识点2

角的和、差新知引入如图，类比两条线段的和与差，你能说明什么是两个角的和与差吗？图中，∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC.∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB=∠AOC-∠BOC.类似地，∠AOC-∠AOB=____________.当两个或两个以上的角共同一个顶点时，不能用一个大写字母表示．ABOC∠BOC例3如图所示：(1)∠AOC是哪两个角的和？(2)∠AOB是哪两个角的差？(3)如果∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠BOD

的大小关系如何？BAOCD∠AOC=∠AOB+∠BOC.∠AOB=∠AOC－∠BOC=∠AOD－∠BOD.∠AOC=∠BOD.例题示范知识点3

角的计算试一试：如图，借助一副三角尺可以画出15°和75°的角，你还能画出哪些度数的角？新知引入如图，O是直线AB

上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC

的度数.解：因为∠AOB是平角，即∠AOB＝∠AOC+∠BOC.

所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC

＝180°－53°17′

＝179°60′－53°17′

＝126°43′.OCBA例4注意：(1)两个角的和、差仍然是一个角；角的和或差的度数，就是它们度数的和或差.(2)在计算两个角的和或差时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加或相减，分与分、秒与秒相加时逢60要进1，相减时若被减数的分(秒)不足，则要借1°(1')当作60'(60").随堂练习1.如图，图①和图②中，两个剪刀张开的角度α和β的大小关系为()

A．α＞β

B．α＜β

C．α＝β

D．不能确定C2.借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角()A．65°B．75°

C．85°

D．95°B3.(十堰中考)如图，将一副三角尺重叠放在一起，使直角顶点重合于点O.若∠AOC＝130°，则∠BOD等于(

)A．30°

B．40°

C．50°

D．60°C1.一副三角板按下图的方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数小20°，则∠1的度数为()A.35°

B.30°

C.25°

D.20°解：由题意易知，∠1+∠2=90°，所以∠2=90°-∠1.又因为∠2-∠1=20°，所以90°-∠1-∠1=20°，所以∠1=35°.A拓展提升2.如图，∠AOB＝48°，∠1＝32°24′，求∠2的度数．导引：要求∠2的度数，就是要把它转化为用已知角∠1的关系式来表示．根据图形可知，∠1＋∠2＝∠AOB，因此∠2＝∠AOB－∠1.解：因为∠AOB＝48°，∠1＝32°24′，所以∠2＝48°－32°24′＝47°60′－32°24′＝15°36′.归纳小结角的比较度量法叠合法角的计算角的运算角的和差关系角的比较与运算第六章几何图形初步6.3角6.3.2角的比较与运算-第2课时

学习目标进一步理解角平分线的意义及数量关系，并能解答相关问题.学习重难点进一步理解角平分线的意义及数量关系，并能解答相关问题.会进行相关计算.难点重点回顾复习角的比较度量法叠合法角的计算角的运算角的和差关系角的比较与运算创设情境

我们知道，线段的中点把线段分成两条相等的线段.类似地，角可不可以分成两个相等的角呢？新知引入知识点

角平分线动手做一做：在纸上画∠AOB,然后将其剪下来，再将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上任取一点记作点C.类比线段中点的定义，填空：∠AOC_____∠COB；∠AOB=_____∠AOC.BAOC=2一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.

注意：角的平分线是以这个角的顶点为端点的一条射线OBCA角平分线的判定方法

BAOD类似地，还有角的三等分线等.

ODCBA例题示范例1

如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论：

①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；

③AE平分∠DAF；

④AF平分∠BAC；

⑤AE平分∠BAC中，正确的有(

)A．4个B．3个

C．2个D．1个导引：由角的平分线的几何表示可知：当∠1＝∠2时，AE平分∠DAF；再由∠3＝∠4可得∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠BAE＝∠CAE，因此AE平分∠BAC.C例2把一个周角7等分，每份是多少度的角(精确到分)？解：360°÷7=51°+3°÷7=51°+180′÷7≈51°26′.答：每份是51°26′的角.1.如图所示，若有∠BAD＝∠CAD，∠BCE＝∠ACE，则下列结论中错误的是()A．AD是∠BAC的平分线B．CE是∠ACD的平分线C．∠BCE＝∠ACBD．CE是∠ABC的平分线随堂练习D2.如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．若∠COB＝50°，∠DOC＝30°，则∠AOE等于()A．130°B．160°C．170°D．180°B3.如图，OB是∠

AOC的平分线，OD是∠COE的平分线.(1)如果∠AOC=80°，那么∠BOC是多少度？解：因为OB平分∠AOC，∠

AOC=80°，所以∠AOB=1/2∠AOC=80°÷2=40°.所以∠BOC=∠AOB=40°.(2)如果∠

AOB=40°，∠

DOE=30°，那么∠BOD是多少度？解：因为OB平分∠AOC，所以∠BOC=∠AOB=40°因为OD平分∠COE，所以∠COD=∠DOE=30°所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°(3)如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？解：因为∠

COD=30°，所以∠COE=2∠COD=60°.所以∠AOC=∠AOE－∠COE=140°－60°=80°.因为OB平分∠AOC，所以∠AOB=1/2∠AOC=80°/2=40°.1.点P在∠MAN的内部，现有4个等式：①∠PAM＝∠NAP；②∠PAN＝∠MAN；③∠MAP＝

∠MAN；④∠MAN＝∠MAP＋∠PAN，其中能表示AP是∠MAN的平分线的有()A．1个

B．2个

C．3个

D．4个C拓展提升2．(烟台中考)小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙)，∠AOB的度数是________．导引

根据折叠的性质，180°的角对折3次，第3次折后的角为180°÷23＝22.5°，所以∠AOB＝22.5°×2＝45°.45°3.如图，已知∠AOC∶∠BOC＝1∶4，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度数．解：设∠AOC＝x°，则∠BOC＝4x°.因为OD平分∠AOB，所以∠BOD＝∠AOD.所以4x－36＝x＋36.所以x＝24.所以∠AOC＝24°，∠BOC＝96°.所以∠AOB＝120°.归纳小结

一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.

第六章几何图形初步6.3角6.3.3余角和补角

学习目标了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质.学习重难点了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质.能用余角和补角的性质解决一些简单的实际问题.难点重点回顾复习角的比较度量法叠合法角的计算角的运算角的和差关系角的比较与运算创设情境1213知识点1

余角和补角新知引入1

一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角

，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角.如图，可以说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1和∠2互为余角.2图中给出的各角，哪些互为余角？15o24o66o75o46.2o43.8o如图，可以说∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，或∠3和∠4互为补角.43

类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角

，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角.图中给出的各角，哪些互为补角？10o30o60o80o120o150o170o100o∠α∠α

的余角∠α

的补角5°32°45°77°62°23′x°(0＜x＜90)27°37′117°37′85°175°58°148°45°135°103°13°(90-x)°(180-x)°观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_____.90°注意：1.两个角互余或互补是两个角之间的数量关系,与它们的位置无关，只与角的度数有关.2.若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能一个是锐角，另一个是钝角.例题示范例

若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.解：设这个角是x°，则它的补角是(180°－x°),余角是(90°－x°).根据题意，得180°－x°=4(90°－x°)解得x=60.答：这个角的度数是60°.∠1与∠2,∠3都互为余角,∠2与∠3的大小有什么关系？123∠2=90°－∠1∠3=90°－∠1∠2=∠3同角(等角)的余角相等.新知引入知识点2

余角和补角的性质∠1与∠2,∠3都互为补角,∠2与∠3的大小有什么关系？1同角(等角)的补角相等.3∠2=180°－∠1∠3=180°－∠1∠2=∠32注意：1.如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角.2.“同角”指同一个角，“等角”指度数相等的角.同角一定是等角，但等角不一定是同角.例

如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？例题示范

随堂练习1.

若∠A＝23°，则∠A余角的大小是()A．57°

B．67°

C．77°

D．157°2.若α＝70°，则α