2027届新高考数学热点突破复习 函数的对称性及应用

2027届新高考数学热点突破复习函数的对称性及应用课标要求1.

能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称的公式和推论.2.

会利用对称公式解决问题.01PART夯实必备知识

知识梳理

1.

奇函数、偶函数的对称性（1）奇函数的图象关于

对称，偶函数的图象关于

对称；（2）若f（x＋a）是偶函数，则函数f（x）图象的对称轴为

⁠；

若f（x＋a）是奇函数，则函数f（x）图象的对称中心为

⁠.2.

若函数y＝f（x）满足f（a－x）＝f（a＋x），则函数的图象关于直

线

对称；若函数y＝f（x）满足f（a－x）＝－f（a＋x），

则函数的图象关于点

对称.原点

y轴

x＝a

（a，0）

x＝a

（a，0）

（1）函数y＝f（x）与y＝f（－x）关于

对称；（2）函数y＝f（x）与y＝－f（x）关于

对称；（3）函数y＝f（x）与y＝－f（－x）关于

对称.y轴

x轴

原点

3.

两个函数图象的对称

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）若函数y＝f（x）是奇函数，则函数y＝f（x－1）的图象关于点

（1，0）对称.

（

√

）（2）若函数y＝f（x＋1）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直线

x＝1对称.

（

√

）（3）函数y＝5x与y＝5－x的图象关于x轴对称.

（

×

）（4）若函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），则f（x）的图象关于

直线x＝2对称.

（

√

）√√×√

A.

（0，0）B.

（0，1）C.

（1，0）D.

（1，1）√

3.

已知定义在R上的函数f（x）在（－∞，2）上单调递增，且f（x＋

2）＝f（2－x）对任意x∈R恒成立，则（

）A.

f（－1）＜f（3）B.

f（0）＞f（3）C.

f（－1）＝f（3）D.

f（0）＝f（3）√解析：

因为f（x＋2）＝f（2－x），所以f（x）的图象关于直线x＝

2对称，所以f（3）＝f（1），由于f（x）在（－∞，2）上单调递增，所

以f（－1）＜f（1）＝f（3），f（0）＜f（1）＝f（3）.故选A.

4.

若偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f

（x）＝2x－1，则f（－1）＝

⁠.解析：∵f（x）为偶函数，∴f（－1）＝f（1），由f（x）的图象关于

直线x＝2对称，可得f（1）＝f（3）＝2×3－1＝5，∴f（－1）＝5.5.

已知函数y＝f（x）的图象经过点P（1，－2），则函数y＝－f（－

x）的图象必过点

⁠.解析：y＝f（x）的图象与y＝－f（－x）的图象关于原点对称，y＝f

（x）的图象经过点P（1，－2），则函数y＝－f（－x）的图象必过点

（－1，2）.5

（－1，2）

02PART研透核心考点函数的对称性（定向精析突破）考向1

轴对称

（1）已知函数f（x－1）为偶函数，且函数f（x）在[－1，＋∞）

上单调递增，则关于x的不等式f（1－2x）＜f（－7）的解集为

（

A

）A.

（－∞，3）B.

（3，＋∞）C.

（－∞，2）D.

（2，＋∞）A解析：

因为f（x－1）为偶函数，所以f（x－1）的图象关于y轴对称，

则f（x）的图象关于直线x＝－1对称.因为f（x）在[－1，＋∞）上单调

递增，所以f（x）在（－∞，－1]上单调递减.因为f（1－2x）＜f（－

7）＝f（5），所以－7＜1－2x＜5，解得x＜3.（2）已知函数f（x）（x∈R）满足f（4＋x）＝f（－x），若函数y

＝｜x2－4x－5｜与y＝f（x）图象的交点分别为（x1，y1），（x2，

y2），…，（xm，ym），则所有交点的横坐标之和为（

C

）A.0B.

mC.

2mD.

4m

C

考向2

中心对称

（1）（2026·江西九江模拟）设函数f（x）＝ax3－x－3＋a，若函数f

（x－1）的图象关于点（1，0）对称，则a＝（

）A.

－1B.0C.1D.2√解析：

因为函数f（x－1）的图象关于点（1，0）对称，故函数f

（x）的图象关于点（0，0）对称，即f（x）为奇函数，f（0）＝0，故a

＝0.故选B.

训练1

（1）已知函数f（x）＝3｜x－a｜＋2，且满足f（5＋x）＝f（3－

x），则f（6）＝（

B

）A.29B.11C.3D.5解析：

因为f（5＋x）＝f（3－x），所以f（x）的图象关于直线x＝4

对称，而f（x）＝3｜x－a｜＋2的图象关于直线x＝a对称，所以a＝4，f

（6）＝3｜6－4｜＋2＝11.故选B.

B（2）已知函数f（x）的定义域为R，f（x）的图象关于点（1，0）中心

对称，f（2x＋2）是偶函数，则（

D

）A.

f（0）＝0C.

f（2）＝0D.

f（3）＝0解析：

f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，则f（x）＝－f（－x＋

2）

①；f（2x＋2）是偶函数，则f（2x＋2）＝f（－2x＋2），则f

（x）的图象关于直线x＝2轴对称，则f（x）＝f（－x＋4）

②；令x

＝1代入①得，f（1）＝－f（1），解得f（1）＝0，代入②得到f（1）＝

f（3）＝0.故选D.

D（3）（2026·江苏扬州模拟）已知定义域为R的函数f（x）在[1，＋∞）

上单调递减，且f（x＋1）为奇函数，则使得不等式f（x2－x）＜f（2－

2x）成立的实数x的取值范围为

⁠.解析：

因为f（x＋1）为奇函数，所以f（x）的图象关于点（1，0）对

称，因为f（x）在[1，＋∞）上单调递减，所以f（x）在R上是减函数，

因为f（x2－x）＜f（2－2x），所以x2－x＞2－2x，即x2＋x－2＞0，解

得x＜－2或x＞1，所以x的取值范围为（－∞，－2）∪（1，＋∞）.（－∞，－2）∪（1，＋∞）

两个函数图象间的对称（师生共研过关）

已知函数y＝f（x）是定义域为R的函数，则函数y＝f（x＋2）与y

＝f（4－x）的图象（

）A.

关于直线x＝1对称B.

关于直线x＝3对称C.

关于直线y＝3对称D.

关于点（3，0）对称√解析：

设P（x0，y0）为y＝f（x＋2）图象上任意一点，则y0＝f（x0

＋2）＝f（4－（2－x0）），所以点Q（2－x0，y0）在函数y＝f（4－

x）的图象上，而点P（x0，y0）与点Q（2－x0，y0）关于直线x＝1对

称，所以函数y＝f（x＋2）与y＝f（4－x）的图象关于直线x＝1对称.

破解两个函数图象间的对称的方法

（2）利用图象的变换进行判断，注意口诀“左加右减”在解题中的应用.训练2

（1）下列函数与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是（

C

）A.

y＝ex－1B.

y＝e1－xC.

y＝e2－xD.

y＝ln

x解析：

与f（x）＝y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是f（2－x）＝e2－

x，即y＝e2－x.C（2）〔一题多解〕已知f（x）＝ln（1－x），函数g（x）的图象与f

（x）的图象关于点（1，0）对称，则g（x）的解析式为

⁠

⁠；解析：

法一

设P（x，y）为函数y＝g（x）图象上任意一点，则点P

（x，y）关于点（1，0）的对称点Q（2－x，－y）在函数y＝f（x）的

图象上，即－y＝f（2－x）＝ln（x－1），所以y＝－ln（x－1），所以

g（x）＝－ln（x－1）.g（x）＝－ln

（x－1）

法二

f（x）＝ln（1－x）向左平移一个单位长度得y＝ln（－x），其关

于原点对称的函数为y＝－ln

x，再向右平移一个单位长度得y＝－ln（x－

1），所以g（x）＝－ln（x－1）.法三

y＝f（x）关于点（1，0）对称的函数g（x）＝－f（2－x）＝－

ln（x－1）.（3）设函数y＝f（x）的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f（3）＋f（9）＝1，则实数m＝

⁠.解析：

∵函数y＝f（x）的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，

∴x＝log3y－m，∴f（x）＝log3x－m，∴f（3）＋f（9）＝1－m＋2

－m＝1，∴m＝1.1

对称性的综合应用（定向精析突破）考向1

对称性与周期性

〔多选〕设函数f（x）的定义域为R，f（2x＋1）为奇函数，f（x

＋2）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝ax＋b.若f（0）＋f（3）＝

－1，则（

）A.

b＝－2B.

f（2

025）

＝－1C.

f（x）为偶函数D.

f（x）的图象关于点（1，0）对称√√√解析：

由f（2x＋1）为奇函数，得f（－2x＋1）

＝－f（2x＋

1），则f（－x＋1）

＝－f（x＋1），∴f（x）的图象关于点（1，0）

对称，D正确；由f（x＋2）为偶函数，∴f（x）的图象关于直线x＝2对

称，∴f（x）的周期为4×（2－1）＝4，于是f（－x）＝f（x＋4）＝f

（x），C正确；在f（－x＋1）＝－f（x＋1）中，令x＝0，得f（1）＝

0，由x∈[0，1]时，f（x）＝ax＋b，可得f（0）＝1＋b，f（3）＝f

（1）＝a＋b＝0，又f（0）＋f（3）＝－1，∴f（0）＝1＋b＝－1，解

得b＝－2，A正确；f（2

025）＝f（4×506＋1）

＝f（1）＝0，B错误.

故选A、C、D.

熟记对称性与周期性之间的三个常用结论（1）若函数f（x）的图象关于两条不同的直线x＝a和x＝b对称，则函

数f（x）的周期为T＝2｜a－b｜；（2）若函数f（x）的图象关于两个不同的点（a，0）和（b，0）对称，

则函数f（x）的周期为T＝2｜a－b｜；（3）若函数f（x）的图象关于直线x＝a和点（b，0）对称，则函数f

（x）的周期为T＝4｜a－b｜.考向2

对称性、周期性与单调性的综合问题

已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x－1）的图象关于点（1，

0）中心对称，f（x＋2）是偶函数，且f（x）在[0，2]上单调递增，则

（

）A.

f（10）＜f（19）＜f（13）B.

f（10）＜f（13）＜f（19）C.

f（13）＜f（10）＜f（19）D.

f（13）＜f（19）＜f（10）√解析：

因为f（x－1）的图象关于点（1，0）中心对称，所以f（x）

的图象的对称中心是点（0，0），故f（x）为奇函数.因为f（x＋2）是

偶函数，所以f（x）的图象的对称轴是直线x＝2，所以f（x）的周期为

4×（2－0）＝8，所以f（10）＝f（2），f（19）＝f（3）＝f（1），f

（13）＝f（5）＝f（－1）.因为f（x）在[0，2]上单调递增且f（x）是

奇函数，所以f（x）在[－2，2]上单调递增，所以f（－1）＜f（1）＜f

（2），所以f（13）＜f（19）＜f（10）.故选D.

解决对称性、周期性与单调性的综合问题，一般要利用周期性与对称

性缩小自变量的值或转换自变量所在的区间，然后利用单调性比较大小或

解不等式.

A.

－1B.0C.1D.2B

（2）〔多选〕（2026·湖南长沙模拟）若定义在R上的奇函数f（x）满足f

（2－x）＝f（x），在区间（0，1）上，有（x1－x2）[f（x1）－f

（x2）]＞0，则下列说法正确的是（

AC

）A.

函数f（x）的图象关于点（2，0）中心对称B.

函数f（x）的图象关于直线x＝2轴对称C.

在区间（2，3）上，f（x）单调递减AC

1.

下列函数的图象中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A.

y＝tan

xB.

y＝x－1C.

y＝x3D.

y＝ln｜x｜123456789101112131415√解析：

由正切函数的图象性质：y＝tan

x关于原点对称，但没有对称

轴，不符合；由幂函数的图象性质：y＝x－1关于原点和y＝±x对称，符

合；由幂函数的图象性质：y＝x3关于原点对称，但没有对称轴，不符

合；由ln｜－x｜＝ln｜x｜，即y＝ln｜x｜关于y轴对称，但没有对称中

心，不符合.故选B.

2.

〔一题多解〕已知函数y＝f（x＋2）－3是奇函数，且f（4）＝2，则f

（0）＝（

）A.0B.2C.4D.6√解析：

法一

由y＝f（x＋2）－3是奇函数，∴f（－x＋2）－3＝－f

（x＋2）＋3，令x＝2，f（0）－3＝－f（4）＋3，得f（0）＝4.法二

由y＝f（x＋2）－3是奇函数，得f（x）关于点（2，3）对称，故

f（0）＋f（4）＝6，即f（0）＝4.123456789101112131415

A.

（－1，－3）B.

（－1，3）C.

（－1，－2）D.

（－1，2）√

1234567891011121314154.

（2025·广东湛江一模）已知函数y＝f（1－x）的图象与函数y＝f（2

＋x）的图象关于直线x＝m对称，则m＝（

）A.3C.

－1√

1234567891011121314155.

已知函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）＝f（2－x）成立，且当

x≥1时，f（x）＝2x－1，则（

）√123456789101112131415

1234567891011121314156.

〔多选〕（2026·江苏盐城模拟）已知非常数函数f（x）为R上的奇函

数，g（x）＝f（x＋1）为偶函数，下列说法正确的有（

）A.

f（x）的图象关于直线x＝－1对称B.

g（2

025）＝0C.

g（x）的最小正周期为4D.

对任意x∈R都有f（2－x）＝f（x）√√√123456789101112131415解析：

因为f（x）为R上的奇函数，且g（x）＝f（x＋1）为偶函

数，所以f（x）关于点（0，0）中心对称，且关于直线x＝1对称，所以

直线x＝－1也是对称轴，所以f（x）的图象关于直线x＝－1对称，所以f

（x）＝f（2－x），A、D正确；由A分析知f（x）＝f（2－x）＝－f

（－x），故f（2＋x）＝－f（x），所以f（4＋x）＝－f（2＋x）＝f

（x），所以f（x）是一个周期为4的周期函数，则g（2

025）＝f（2

026）＝f（2）＝f（0）＝0，B正确；不能说明g（x）的最小正周期为

4，C错误.1234567891011121314157.

（2025·江苏南通一模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f

（－x）＝4x2＋2，设g（x）＝f（x）－2x2，若g（x）的最大值和最小

值分别为M和m，则M＋m＝

⁠.解析：由g（x）＝f

（x）－2x2，那么g（－x）＝f

（－x）－2x2，两式

相加，可得g（－x）＋g（x）＝2，故g（x）的图象关于点（0，1）对

称，其最大值和最小值也关于点（0，1）对称，所以M＋m＝2.2

123456789101112131415

解析：在同一直角坐标系中画出函数y＝x和y＝－x2＋

2x的图象，如图所示.若存在x∈R，使得f（1＋x）＝f

（1－x），则f（x）的图象上存在两个关于直线x＝1对

称的点（两点均不在直线x＝1上），则a＞1.（1，＋∞）

123456789101112131415解：

f（x）的图象关于直线x＝2对称.证明如下：由｜x－2｜＞0，得x≠2，所以f（x）的定义域为（－∞，2）∪（2，

＋∞）.因为f（2－x）＝log2｜x｜＋（2－x）2－4（2－x）＝log2｜x｜＋x2－4，f（2＋x）＝log2｜x｜＋（2＋x）2－4（2＋x）＝log2｜x｜＋x2－4，所以f（2＋x）＝f（2－x），所以f（x）的图象关于直线x＝2对称.9.

（13分）（2026·河北沧州模拟）已知函数f（x）＝log2｜x－2｜＋x2

－4x.（1）判断并证明函数f（x）的对称性；123456789101112131415（2）求f（x）的单调区间.解：

设y1＝log2｜x－2｜，y2＝x2－4x，当x＞2时，y1＝log2｜x－2｜＝log2（x－2）单调递增，y2＝x2－4x也单

调递增，故f（x）＝log2｜x－2｜＋x2－4x在（2，＋∞）上单调递增.又f（x）的图象关于直线x＝2对称，故f（x）的单调递增区间为（2，＋∞），单调递减区间为（－∞，2）.123456789101112131415

C.0√123456789101112131415

123456789101112131415

A.

（－∞，0）∪（2，＋∞）B.

（0，2）C.

（－∞，0）∪（1，2）D.

（0，1）∪（2，＋∞）√123456789101112131415

12345678910111213141512.

〔多选〕（2025·浙江杭州调考）已知定义域为R的函数f（x）在（－

1，0]上单调递增，f（1＋x）＝f（1－x），且图象关于点（2，0）对

称，则（

）A.

f（0）＝f（－2）B.

f（x）的周期T＝2C.

f（x）在（2，3）上单调递减D.

f（x）满足f（2

025）＞f（2

026）＞f（2

027）√√123456789101112131415解析：

由f（1＋x）＝f（1－x），可得f（x）图象的对称轴方程为

x＝1，所以f（0）＝f（2），又由函数f（x）的图象关于点（2，0）对

称，可得f（x）的周期为4，所以f（－2）＝f（2），所以f（0）＝f（－

2），故A正确.因为f（x）在（－1，0]上单调递增，且周期为4，所以f

（x）在（3，4]上单调递增，又f（x）的图象关于点（2，0）对称，所

以f（x）在[0，1）上单调递增，因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，

所以f（x）在（1，2]上单调递减，则函数f（x）在（2，3）上单调递

减，故f（x）的最小正周期为4，故B错误，C正确.根据f（x）的周期为

4，可得f（2

025）＝f（1），f（2

026）＝f（2），f（2

027）＝f（3），123456789101112131415因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（2）＝f（0）且f（3）＝f（－1），