2027届新高考数学热点突破复习放缩与估值

2027届新高考数学热点突破复习放缩与估值微点一作差构造法

已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性；例1f'(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1)，∵2ex+1>0，当a≤0时，f'(x)<0，∴f(x)在R上单调递减.当a>0时，令f'(x)=0，得x=-ln

a，当x>-ln

a时，f'(x)>0，f(x)在(-ln

a，+∞)上单调递增；当x<-ln

a时，f'(x)<0，f(x)在(-∞，-ln

a)上单调递减.综上所述，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；当a>0时，f(x)在(-∞，-ln

a)上单调递减，在(-ln

a，+∞)上单调递增.解

解规律方法欲证不等式f(x)>g(x)或f(x)<g(x)，令F(x)=f(x)-g(x)，仅需证得F(x)>0或F(x)<0即可.采用作差构造法证明不等式时，对不等式进行“对数单身狗，指数找朋友”变形，有时候能够起到事半功倍的效果.

解

证明

证明返回微点二切线放缩法

例2

证明

证明规律方法

解(2)讨论函数f(x)的单调性；

解(3)证明：当x>1时，g(x)>0.

证明返回微点三凹凸反转法

例3

解(2)若函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；

解(3)若a=e，证明：f(x)<xex+1.

证明

证明规律方法指数、对数混合型题目，一般是要将指数与对数进行分离，构造两个函数g(x)与h(x)，且这两个函数的凹凸性相反，转化为证明g(x)>h(x)，通过求g(x)的最小值与h(x)的最大值，来证明已知不等式.跟踪演练3

已知函数f(x)=x2+2x-2xex.(1)求函数f(x)的极值；

解x(-∞，-1)-1(-1，0)0(0，+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘(2)当x>0时，证明：f(x)-2x+x2+x3<-2elnx.

证明

证明返回专题强化练1.

答案12341.答案1234

1.答案1234又0<a≤1，故h'(1)=1-e1-a≤0，故h'(x)≤h'(1)≤0在[1，+∞)上恒成立，故h(x)在[1，+∞)上单调递减.又h(1)=a-1≤0，故当x≥1时，h(x)≤h(1)≤0，即f(x)+x≤(x-1)ex-a+1.2.答案1234

2.答案1234

3.答案1234

3.答案1234

3.答案1234

3.答案1234

3.答案1234

3.答案1234方法三切线放缩法令φ(x)=ex-x-1，则φ'(x)=ex-1，当x∈(-∞，0)时，φ'(x)<0，当x∈(0，+∞)时，φ'(x)>0，所以φ(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，所以φ(x)≥φ(0)=0，即ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立.当x>0时，xex>x(x+1)，要证f(x)>g'(x)，即证xex>ln

x+1，只需证x(x+1)>ln

x+1，即证x(x+1)-ln

x-1>0.3.答案1234

3.答案1234

3.答案1234

3.答案1234

4.答案1234

4.答案1234

4.答案1234且当x∈(-1，x0)时，f'(x)<0，当x∈(x0，+∞)时，f'(x)>0，故f(x)在(-1，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增.由(1)知f(x)的图象在点(1，0)处的切线方程为xln

2-y-ln

2=0，令h(x)=(x-1)ln

2，F(x)=f(x)-h(x)=(x-1)ln(x+1)-(x-1)ln

2，则F'(x)=f'(x)-h'(x)=f'(x)-ln

2，因为f'(x)在(-1，+∞)上单调递增，所以F'(x)在(-1，+∞)上单调递增.4.答案1234

4.答案1234

4.答案1234易知f(x)的图象在坐标原点处的切线方程为y=-x，令g(x)=-x，T(x)=f(x)-g(x)=(x-1)ln(x+1)+x，则T'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)+1，因为f'(x)在(-1，+∞)上单调递增，所以T'(x)在(-1，+∞)上单调递增.又T'(0)=0，所以当-1<x<0时，T'(x)<0，当x>0时，T'(x)>0，4.答案1234

1.(2025·白银模拟)已知函数f(x)=lnx-x+a.(1)若f(x)<0恒成立，求a的取值范围；1234答案

解1234答案(2)若0<a≤1，证明：当x≥1时，f(x)+x≤(x-1)ex-a+1.1234答案

证明1234答案又0<a≤1，故h'(1)=1-e1-a≤0，故h'(x)≤h'(1)≤0在[1，+∞)上恒成立，故h(x)在[1，+∞)上单调递减.又h(1)=a-1≤0，故当x≥1时，h(x)≤h(1)≤0，即f(x)+x≤(x-1)ex-a+1.证明1234答案2.(2025·长春模拟)已知函数f(x)=lnx-ax+1.(1)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围；1234答案

解1234567891011121314答案(2)证明：当x≥1时，ex>x+1+2xlnx.1234答案

证明1234答案

1234答案

解1234答案

解1234答案(2)若a=0，x>0，证明：f(x)>g'(x).1234答案

证明1234答案

证明1234答案

证明1234答案方法三切线放缩法令φ(x)=ex-x-1，则φ'(x)=ex-1，当x∈(-∞，0)时，φ'(x)<0，当x∈(0，+∞)时，φ'(x)>0，所以φ(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，所以φ(x)≥φ(0)=0，即ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立.当x>0时，xex>x(x+1)，要证f(x)>g'(x)，即证xex>ln

x+1，只需证x(x+1)>ln

x+1，即证x(x+1)-ln

x-1>0.证明1234答案

证明1234答案

证明1234答案

证明1234答案

证明1234答案4.(2025·河南省名校联盟模拟)已知b>0，函数f(x)=(x+a)ln(x+b)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为xln2-y-ln2=0.(1)求a，b的值；1234答案

解1234答案

1234答案

证明1234答案且当x∈(-1，x0)时，f'(x)<0，当x∈(x0，+∞)时，f'(x)>0，故f(x)在(-1，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增.由(1)知f(x)的图象在点(1，0)处的切线方程为xln

2-y-ln

2=0，令h(x)=(x-1)ln

2，F(x)=f(x)-h(x)=(x-1)ln(x+1)-(x-1)ln

2，则F'(x)=f'(x)-h'(x)=f'(x)-ln

2，因为f'(x)在(-1，+∞)上单调递增，所以F'(x)在(-1，+∞)上单调递增.证明1234答案

证明1234答案

证明1234答案易知f(x)的图象在坐标原点处的切线方程为y=-x，令g(x)=-x，T(x)=f(x)-g(