2027届新高考数学热点突破复习计数原理

2027届新高考数学热点突破复习计数原理知识清单1.两个计数原理(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．m＋nm×n2．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照_____________排成一列组合并成为一组一定顺序3.排列数与组合数(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_____________的个数，用符号________表示．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_____________的个数，用符号________表示．不同排列

不同组合

4．排列数、组合数的公式及性质公式性质n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)

1n！

自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同．(

)(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(

)(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(

)(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(

)×××√2．(人教A版选修三P6例5改编)给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个字符要求用数字1～9，最多可以给________个程序模块命名．答案：1053解析：根据题意，程序模块命名首字符要求用英文字母A～G或U～Z，有7＋6＝13(种)情况，后两个字符要求用数字1～9，有9×9＝81(种)情况，则有13×81＝1053(种)情况，即最多可以给1053个程序模块命名．3．(人教A版选修三P20T3改编)一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则共有________种不同的停放方法．答案：1680

4．(人教A版选修三P26T3改编)壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各一张，一共可以组成________种币值．答案：15

命题点一两个计数原理的应用例1

(1)由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有(

)A．48个

B．52个C．60个

D．120个答案：B

解析：由题意可知，分为两种情况，情况一：个位是0，则有不同的结果4×5＝20(个)；情况二：个位不是0，则有不同结果4×4×2＝32(个)．所以共有20＋32＝52(个)．故选B.(2)有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色(分割成六个不同区域)，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分(有公共边的两个区域)的颜色不同，则不同的涂色方法有(

)A．48种

B．64种C．96种

D．144种答案：C

解析：根据题意，假设正五角星的区域为A，B，C，D，E，F，如图所示，先对A区域涂色，有3种方法，再对B，C，D，E，F这5个区域进行涂色，因为B，C，D，E，F这5个区域都与A相邻，所以每个区域都有2种涂色方法，所以共有3×2×2×2×2×2＝96(种)涂色方法．故选C.(3)(链接·2024年新高考Ⅱ卷)在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．1121314012223342132233431524344424112解析：由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有4×3×2×1＝24(种)选法；每种选法可标记为(a，b，c，d)，a，b，c，d分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为(11，22，33，44)，(11，22，34，43)，(11，22，33，44)，(11，22，34，42)，(11，24，33，43)，(11，24，33，42)，(12，21，33，44)，(12，21，34，43)，(12，22，31，44)，(12，22，34，40)，(12，24，31，43)，(12，24，33，40)，(13，21，33，44)，(13，21，34，42)，(13，22，31，44)，(13，22，34，40)，(13，24，31，42)，(13，24，33，40)，(15，21，33，43)，(15，21，33，42)，(15，22，31，43)，(15，22，33，40)，(15，22，31，42)，(15，22，33，40)，所以选中的方格中，(15，21，33，43)的4个数之和最大，为15＋21＋33＋43＝112.学霸笔记：(1)一般是先分类再分步，在分步时可能又用到分类加法计数原理．(2)解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成．(3)对于较复杂的两个原理综合应用问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化．跟踪训练

(1)(衔接·人教A版选修三P12T8(1)改编)4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是(

)A．12 B．24C．64 D．81答案：D

解析：由分步乘法计数原理可得，不同的报名方法有3×3×3×3＝81(种)．(2)(衔接·人教A版选修三P27T17改编)如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有________种不同的着色方法．答案：180解析：对于区域Ⅰ，有5种颜色可选，即有5种情况；对于区域Ⅱ，与区域Ⅰ相邻，有4种颜色可选，即有4种情况；对于区域Ⅲ，与区域Ⅰ和Ⅱ相邻，有3种颜色可选，即有3种情况；对于区域Ⅳ，与区域Ⅱ和Ⅲ相邻，有3种颜色可选，即有3种情况，则不同的着色方案有5×4×3×3＝180(种)．命题点二排列问题例2(1)(2026·大连一模)某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的4×100m接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有(

)A．8种 B．14种C．18种 D．24种答案：B

(2)(链接·2022年新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(

)A．12种B．24种C．36种D．48种答案：B

(3)(2026·佛山模拟)现将2本不同的数学书、3本不同的物理书、1本化学书放在一个单层的书架上，且同类的书各不相邻，则不同的放法有(

)A．120种

B．144种C．96种 D．160种答案：A

学霸笔记：求解排列应用问题的常用方法(1)直接法：直接利用排列数公式列式计算．(2)优先法：优先安排特殊元素或特殊位置．(3)捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列．(4)插空法：不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空隙当中．(5)间接法：正难则反、等价转化的方法．跟踪训练

(1)(衔接·人教A版选修三P26T9改编)学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序．除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，则不同的方法种数是(

)A．48 B．144C．288 D．576答案：C

(2)某种产品的加工需要经过6道工序，如果其中某2道工序必须相邻，另外有2道工序不能相邻，那么加工顺序的种数为(

)A．72 B．144C．288 D．156答案：B

命题点三组合问题例3(1)(2026·绥化模拟)甲盒子中有大小、材质完全相同的5个红球和3个蓝球；乙盒子中有大小、材质完全相同的6个红球和2个蓝球．若从甲、乙两个盒子中各随机取出2个球，则取出的4个球中恰有3个红球的不同取法共有(

)A．150种

B．180种C．300种

D．345种答案：D

(2)(2026·呼和浩特模拟)某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工，从该部门选3人组成一个项目组，要求该项目组男、女员工都有，则不同的选法种数为(

)A．84 B．90C．96 D．100答案：C

(3)(链接·2023年新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．答案：64

学霸笔记：组合问题常有两种题型(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．跟踪训练

(衔接·人教A版选修三T27习题T13)从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛．(1)如果4人中男生、女生各选2人，那么有多少种选法？(2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？

(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？(4)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？

1．用1，2，3，4，5，6可以组成N个无重复数字的六位奇数，则N＝(

)A．360 B．400C．420 D．450答案：A

2．从A，B，C，D，E这5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案有(

)种．A．24 B．48C．72 D．120答案：C

3．(2026·长治模拟)游戏《黑神话：悟空》在山西的取景地共27处，包括长治市的崇庆寺、观音堂，大同市的云冈石窟等，具体分布如下：某游客计划从中选5处景点游玩，其中长治、晋城各选一处，大同选两处，且云冈石窟必选，共有(

)种不同的选法．A．26 B．450C．480 D．1440城市大同朔州忻州晋中长治晋城临汾运城取景地个数62622324答案：C

4．某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2026年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有(

)种．A．18 B．24C．27 D．64答案：A

5．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为(

)A．24 B．48C．144 D．240答案：C

6．(2026·南京模拟)书架上有6本不同的书，再往书架放另外3本不同的书，要求不改变原来书架上6本书的左右顺序，则不同的放法有(

)A．504种

B．84种C．1008种

D．168种答案：A解析：将新买的3本书逐一放进去，对第一本书，6本书形成7个空当，在7个空当里面选一个有7种选法；对第二本书，7本书形成8个空当，在8个空当里面选一个有8种选法；最后一本书，8本书形成9个空当，在9个空当里面选一个有9种选法；由分步乘法计数原理可得，共有7×8×9＝504(种)．故选A.7．(2026·东莞模拟)将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有(

)A．12种

B．18种C．36种

D．54种答案：B

8．一支军事特别任务部队由18名士兵组成，当中共有6名女士兵，其余的是男士兵．若从该部队中随机选出8名士兵，则选出不多于4名女士兵的种数是(

)A．1386 B．8811C．34947

D．42372答案：D

答案：ACD

10．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，则下列说法正确的是(

)A．从中任选1幅画布置房间，有14种不同的选法B．从这些国画、油画、水彩画中各选1幅画布置房间，有70种不同的选法C．从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法D．从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法答案：ABC解析：对于A，根据分类加法计数原理可知，共有5＋2＋7＝14种不同的选法，故A正确；对于B，根据分步乘法计数原理可知，共有5×2×7＝70种不同的选法，故B正确；对于C，可分为三类：第一类是1幅选自国画，1幅选自油画，有5×2＝10种不同的选法；第二类是1幅选自国画，1幅选自水彩画，有5×7＝35种不同的选法；第三类是1幅选自油画，1幅选自水彩画，有2×7＝14种不同的选法，故共有10＋35＋14＝59种不同的选法，故C正确；对于D，可以分