事件的相互独立性 高一下学期数学人教A版必修第二册

人教2019版必修第二册第十章概率10.2事件的相互独立性1．理解两个事件相互独立的概念．2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3.通过对实例的分析，会进行简单的应用.课程目标

教学重难点

1.教学重点：理解两个事件相互独立的概念。2.教学难点：事件独立有关的概念的计算。

阅读课本246-249页，思考并完成以下问题1、满足什么条件两个事件是相互独立的？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。任务清单复习回顾

对于积事件的概率，还有什么值得研究的问题?我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此，积事件AB发生的概率一定与事件A、B发生的概率有关.那么，这种关系会是怎样的呢?下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题.我新课讲授

探究下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗?试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.试验2：一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.新课讲授对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.思考以上试验中事件AB与A和B的概率有何联系?探究新知新课讲授

试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.试验2：一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球,除标号外没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.分别计算P(A),P(B),P(AB)，你有什么发现?显然有P(AB)=P(A)P(B).也就是积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.并把这种互不影响的事件称为相互独立事件.概念解析新课讲授相互独立事件的定义：对任意两个事件A与B，如果

P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)．

通俗地说，对于两个事件A，B，如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件．新课讲授思考必然事件Ω、不可能事件Ø与任意事件相互独立吗？

根据相互独立事件的定义，必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响，当然，他们也不影响其他事件的发生．由于P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，P(AØ)=P(Ø)=P(A)P(Ø)成立．因此，必然事件Ω、不可能事件Ø与任意事件相互独立．典例解析新课讲授思考互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系.如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立?显然，若事件A与B相互独立，则A与，与B，与

也相互独立对于A与B，因为A=ABA，且AB与A互斥，所以P(A)=P(ABA)=P(AB)+P(A)=P(A)P(B)+P(A)所以P(A)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P()所以A与B相互独立类似地，可以证明

与B.与

也相互独立新课讲授

例1一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球,除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”,事件B=“第二次摸出球的标号小于3”,那么事件A与事件B是否相互独立?解：样本空间

={（m,n）m,n∈{1,2,3，4，且m≠n}，共12个样本点A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}AB={(1,2),(2,1)}因此，事件A与事件B不独立

判断两个事件是否相互独立的方法：

新课讲授1.直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.2.定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.3.转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立,转化为判断A与,

与

B，与是否具有独立性.

归纳总结新课讲授

例2甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:(1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；解：设A="甲中靶",B="乙中靶"，则A="甲脱靶",B="乙脱靶"由于两个人射击的结果互不影响，所以A与B相互独立，A与，与B，与

都相互独立.由己知可得，P(A)=0.8,P(B)=0.9，P()=0.2,P()=0.1(1)AB="两人都中靶”，由事件独立性的定义，得P(AB)=P(A)P(B)=0.8x0.9=0.72(2）"恰好有一人中靶"=AUB，且

与B互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得P(AUB)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.8x0.1+0.2x0.9=0.26解题技巧方法总结：由简单事件通过运算得到复杂事件,进而利用互斥、对立、独立等关系计算概率.解题时要注意:1.对事件进行分解，一方面分解为互斥的几类简单事件求概率；另一方面分解为独立的事件，利用事件同时发生(乘法)求出概率.2.对事件分解时，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.练习检测1.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，C=“2枚硬币朝上的面相同”，A、B、C中哪两个相互独立？解：样本空间为Ω={(正,反)，(正,正)，(反,正)，(反,反)}A={(正,反)，(正,正)}，B={(正,正)，(反,正)}，C={(正,正),(反,反)}AB={(正,正)},AC={(正,正)},BC={(正,正)}P(A)=P(B)=P(C)=P(AB)=P(BC)=P(AC)=所以P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C)即A、B、C两两互相独立.练习检测2.设样本空间Ω={a,b,c,d}含有等可能的样本点，且A={a,b},B={a,c},C={a,d}.请验证A,B,C三个事件两两独立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).解:A={a,b},B={a,c},C={a,d},AB={a},AC={a},BC={a},ABC={a}.∴P(A)=P(B)=P(C)=1/2,P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4.P(A)P(B)P(C)=1/8,P(ABC)=1/4.∴P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),即A,B,C三个事件两两独立,但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).练习检测

3.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内:(1)甲、乙两地都降雨的概率;(2)甲、乙两地都不降雨的概率;(3)至少一个地方降雨的概率.解：(1)甲、乙两地都降雨的概率为0.2×0.3=0.06.(2)甲、乙两地都不降雨的概率为(1-0.2)×(1-0.3)=0.8×0.7=0.56.(3)解法一:至少一个地方降雨的概率为0.2×0.3+(1-0.2)×0.3+0.2×(1-0.3)=0.44.解法二:由(2)知,甲、乙两地都不降雨的概率为0.56,所以至少一个地方降雨的概率为1-0.56=0.44.练习检测解：用A，B，C分别表示这三列火车止点到达的事件则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9所以P（)=0.2，P（)=0.3，P（)=0.1

由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P=P(BC)+P(AC)+P(AB）=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P(）=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398变式1

王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，07，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响，求：（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率：（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率.练习检测解：（2）一列火车至少有一列正点到达的概率为P2=1-P(）=1-P()P()P(）=1-0.2×0.3×0.1=0.994变式1

王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8