初升高中数学暑假衔接材料：第09讲 专题01：竖直上抛运动和追击相遇问题（暑假预习讲义）（原卷版）

2/14第09讲专题01：竖直上抛运动和追击相遇问题内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解

→析教材·学新知：情境概念深度构情境启思：从生活或问题出发，激发兴趣概念构建：梳理核心概念，形成知识框架考点精讲：聚焦常考要点，讲清逻辑例题精析：典型题目带路，学会解题思路即练固基：趁热打铁练一练，巩固刚学内容03过关检测

→练考点·强落实：过关检测分层提关键词学习目标导航竖直上抛运动

分段分析、整体分析

追击问题、相遇问题

临界条件1.理解竖直上抛运动的概念、运动性质，掌握分段法与整体法两种分析思路。

2.熟记竖直上抛运动相关公式、运动特点，知道上升、下落过程的对称性。

3.掌握追击、相遇问题的分析方法，学会寻找位移、时间、速度等量关系。

4.能识别临界状态（速度相等、距离极值），规范列式求解综合题型。学习重点：竖直上抛运动规律与计算、追击相遇问题的位移关系分析学习难点：竖直上抛运动矢量运算、追击问题临界条件判断、多过程综合分析情情｜境｜启｜思将小球竖直向上抛出，小球先向上减速运动，到达最高点后又向下加速落回抛出点，整个过程小球的受力和加速度是否变化？同一直线上前后两个物体运动，什么时候后者能追上前者？两物体距离最远或最近时，满足怎样的运动条件？深｜研深｜研｜精｜炼知识点01竖直上抛运动1．竖直上抛运动将一个物体以某一初速度v0竖直向上抛出，抛出的物体只在重力作用下运动，这种运动就是竖直上抛运动．2．运动性质先做竖直向上的匀减速运动，上升到最高点后，又开始做自由落体运动，整个过程中加速度始终为g，全段为匀变速直线运动．3．运动规律通常取初速度v0的方向为正方向，则a＝－g.（1）速度公式：v＝v0－gt.（2）位移公式：h＝v0t－eq\f(1,2)gt2.（3）位移和速度的关系式：v2－v02＝－2gh.（4）上升的最大高度：H＝eq\f(v\o\al(2,0),2g).（5）上升到最高点（即v＝0时）所需的时间：t＝eq\f(v0,g).4．运动的对称性（1）时间对称物体从某点上升到最高点和从最高点回到该点的时间相等，即t上＝t下．（2）速率对称物体上升和下降通过同一位置时速度的大小相等、方向相反．角度1：竖直上抛运动【典例1】（25-26高一上·重庆·期中）“抓子”是一种中国民间的常见游戏，如图所示。其玩法是：将小石子以某一初速度竖直上抛，然后迅速用同一只手将地面若干石子捡起，最后将抛出的石子在落地前瞬间接住。若石子抛出位置离地竖直高度为，从抛出石子到在地面接住抛出的石子所花时间为，重力加速度，不计空气阻力，则上抛初速度为（）A． B． C． D．【探究归纳】处理竖直上抛运动问题，要注意位移、速度的矢量性，若选取向上为正方向，初速度为正，加速度始终为负，物体经过抛出点下方时位移为负，在抛出点上方时位移为正，根据已知量代入对应匀变速直线运动公式直接计算即可，无需分过程讨论，简化分析流程。【即练1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）在足够高处将一个小球竖直向上抛出，小球经时间t落回抛出点后继续下落。重力加速度为g，忽略空气阻力，下列说法正确的是（）A．小球抛出时的初速度大小为 B．小球上升的最大高度为C．运动过程中位移大小为的位置有2个 D．运动过程中速度大小为的位置有3个【即练2】（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）如图，将网球（视为质点）从距水平地面高0.8m处由静止释放，网球落地后反弹且反弹的速度大小均为落地前瞬间速度的一半，重力加速度大小取，不计空气阻力，则网球第2次落地反弹后上升的最大高度为（）A．0.4m B．0.2m C．0.05m D．0.025m角度2：自由落体与竖直上抛运动相结合问题【典例2】（25-26高一上·山东滨州·期末）（多选）如图所示，将小球A从地面以初速度竖直上抛，同时将小球B从距地面h处由静止释放，两球同时到达距地面处，不计空气阻力。下列说法正确的是（）A．两球同时到达距地面处的时间为B．初速度的大小为C．A球能上升的最大高度为D．两球同时到达距地面处时A球的速度小于B球的速度【探究归纳】解决自由落体与竖直上抛运动结合的问题，要抓住两个物体运动的同时性，即两者运动时间始终相等，再结合各自的运动规律，分别写出位移与时间的关系式，根据空间位置关系整理得到方程后求解即可；同时要注意充分利用竖直上抛运动的对称性，简化计算过程。【即练1】（25-26高一上·山西晋城·期末）如图所示，小球甲从距离水平地面h高度处自由下落，同一时刻，小球乙从水平地面上以某一初速度开始做竖直上抛运动，上升过程中的最大高度为h。已知重力加速度为g，则当甲、乙两小球处于同一高度时，下列说法正确的是（）A．甲、乙两小球距离地面的高度为 B．甲、乙两小球距离地面的高度为C．甲、乙两小球速度大小均为 D．甲、乙两小球的速度大小不一定相等【即练2】（25-26高一上·重庆北碚·期末）如图所示，从空中将小球从点竖直向上抛出的同时，小球从点静止释放。已知的高度差为，点在点的正下方，的高度差为。不计空气阻力，重力加速度为，两小球均可视为质点。对两小球的运动，下列分析正确的是（）A．若小球在上升阶段与小球相遇，则小球的初速度应大于B．若小球在点处与小球相遇，小球的初速度大小为C．若小球在点处追上小球，则小球相对抛出点上升的最大高度为D．若小球在点处追上小球，追上时小球的速度大小为知识点02追及、相遇问题1．分析追及问题的注意事项（1）要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件；两个关系是时间关系和位移关系．通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等．（2）若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动．2．解题基本思路和方法eq\x(分析两物体的运动过程)⇒eq\x(画运动示意图)⇒eq\x(找两物体位移关系)⇒eq\x(列位移方程)【典例3】（25-26高一上·四川巴中·期中）在学校的冬季田径运动会的800m比赛中，王明一直冲在最前面，由于开始体力消耗太大，最后在直道上距终点处时便只能保持的速度匀速前进而不能加速冲刺，此时一直跟在王明后面的李华在直道上距王明处速度为，李华立即发力并以恒定的加速度匀加速冲刺，到达终点时的速度为，试分析：(1)李华冲刺时加速度大小；(2)王明、李华谁先到达终点；(3)王明和李华中任意一个跑到终点前，他们之间的最大距离。【探究归纳】解决匀变速直线运动的追及问题时，要先理清两个物体的运动情况，明确运动时间与位移的对应关系：当两个物体速度相等时，往往是两者距离达到极值或是能否追上的临界节点，分析过程中结合画示意图梳理位移关系，再结合匀变速直线运动规律列式求解即可，同时要注意判断物体运动状态是否发生变化，确认最终结果是否符合实际运动场景。【即练1】（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）如图所示，甲、乙两辆汽车在平直公路上两条平行跑道上行驶，乙车在甲车前方100m处做匀速直线运动，速度大小为v2=30m/s。此时甲车的速度为v1=10m/s，做加速度大小为a1=2m/s2的匀加速直线运动。甲、乙车上安装有信号发射与接收装置，当甲乙两车距离超过L=175m时，甲、乙车不能接收到彼此的通讯信号。求：（只考虑沿运动方向的距离且两辆汽车均可视为质点→以下结果均可保留根式）(1)在甲车追上乙车之前，甲、乙两车之间的最大距离为多少?(2)在第（1）问条件下，当甲乙两车距离最大时，甲车开始匀速运动，乙车立即刹车，刹车阶段加速度大小为a2=3m/s2，则还需要经过多长时间甲车追上乙车?【即练2】（25-26高一上·福建南平·期末）浙江大学联合镜识科技研发的黑豹Ⅱ超高速仿生机器人是目前公开的速度最快的机器人，其峰值速度能达到。某次测试中，机器人A以的速度做匀速直线运动，A经过机器人B所在位置时，B从静止开始做加速度的匀加速直线运动，求：(1)B的位移为时的速度大小；(2)B追上A前，二者的最大距离；(3)经过，B到达测试终点，此时A离终点的距离d。一、单选题1．（25-26高一上·辽宁·期末）甲、乙两个质点沿同一直线运动，其中质点甲以的速度匀速直线运动，质点乙做初速度为零的匀变速直线运动，它们的位置随时间的变化如图所示。已知时，甲、乙图线的斜率相等。下列判断正确的是（）A．最初的一段时间内，甲、乙的运动方向相反 B．时，两质点相遇C．乙经过原点的速度大小为 D．时，乙的位置坐标为2．（25-26高一上·河北保定·期末）如图甲所示，在2025年9月3日的阅兵仪式上，具备高运动性能的机器狼正式亮相。为进一步检测其运动性能，科研人员在平直路面上对甲、乙两只机器狼开展了运动专项测试，并绘制出其运动的位移一时间（x-t）图像，甲图线为过坐标原点的倾斜直线，乙图线为的抛物线，则在前5s内（）A．甲、乙之间的距离先减小后增大 B．乙运动的加速度大小为1.2m/s2C．甲、乙相距的最大距离为2m D．t=2.5s时，甲、乙相距最远3．（25-26高一上·云南大理·期末）在某一高度以v0=20m/s的初速度竖直上抛一个小球（不计空气阻力），当小球速度大小为10m/s时，以下判断正确的是（g取10m/s2）（）A．小球在这段时间内的平均速度大小一定为15m/s，方向向上B．小球在这段时间内的平均速度大小一定为5m/s，方向向下C．小球的位移大小一定是15mD．小球在这段时间内的路程一定是25m4．（25-26高一上·浙江绍兴·期末）某同学在一多层书柜前做竖直上抛运动实验。他利用手机录像，将一小体积重物从第二层上挡板（如图中所示）竖直上抛，恰好到达天花板且无碰撞。该同学将录像用电脑软件进行处理，从抛出开始，每经过相同时间T取一帧图像，合成类似频闪照片的效果。已知重力加速度为g，小球没有落地，书柜每层高度相同，下列说法正确的是（）A．书柜每层高度为 B．小球从抛出到运动到天花板的时间为C．小球初速度为 D．天花板到地面的高度为5．（25-26高一上·安徽·期末）五米跳台是竞技跳水的标准竞赛平台。跳台离水面的高度为5m，某运动员在跳台做跳水训练，其从起跳到入水停下全过程的图像如图所示，是运动员向上起跳瞬间，接触水面后立即减速，取，空气阻力忽略不计，则运动员从跳板起跳的速度最接近（）A．0.6m/s B．1.6m/s C．2.6m/s D．3.6m/s6．（25-26高一上·广西河池·期末）在某次科技节遥控车漂移激情挑战赛中，红蓝两个遥控车沿同一方向做直线运动，红车在前。初始时刻红蓝两车间距为，其运动的图像如图所示，下列说法正确的是（）A．红车的初速度大小为 B．蓝车的加速度大小为C．时红蓝两车相距最近 D．运动过程中，两车最小距离为7．（25-26高一上·山东枣庄·期末）两汽车P、Q在时刻位置，如图甲所示，它们向右运动的速度随时间变化的关系，如图乙所示。已知时两车恰好不相撞，时P车在Q车前方处。两车均可视为质点，下列说法正确的是（）A．P的初速度为 B．Q的初速度为C．Q的加速度为 D．时，Q在P后方8．（25-26高一上·广东佛山·期末）2025年4月在北京举行了全球首个人形机器人半程马拉松赛，时刻，a、b两个机器人并排在同一起跑线上，前4s内它们沿直道运动的图像如图所示，下列说法正确的是（）A．第1s内a的平均速度大小为 B．前4s内b的加速度大小为C．2s末两个机器人相距最近 D．1s末和3s末两个机器人之间的距离相同9．（25-26高一上·云南文山·期末）甲驾驶新能源小汽车在斑马线外等待绿灯，绿灯亮起时由静止开始向前行驶，此时乙骑共享单车刚好从小汽车旁经过，甲乙两车沿直线运动的图像如图，两车可视为质点，则下列说法正确的是（）A．甲做匀速直线运动B．时，甲乙两车相遇C．若出发前乙在甲前方处，则甲、乙在末相遇D．在甲追上乙之前，两者间最远距离为10．（25-26高一上·山东青岛·期末）一辆严重超载货车以的速度从路边执勤交警跟前驶过，交警立即驾驶警车由静止开始匀加速追赶货车。已知货车速度保持不变，警车和货车均视为质点，在警车追赶货车过程中，货车与警车运动的图像如图所示，下列说法正确的是（）A．警车加速度为 B．10s末警车追上货车C．警车追上货车时警车速度为 D．警车追上货车前两者之间的最远距离为200m二、多选题11．（25-26高一上·黑龙江·期末）甲、乙两辆汽车在同一条平直公路上的不同车道行驶，时刻甲、乙两车的车头恰好平齐，此后甲、乙两车的（表示汽车的位移）图像如图所示。下列说法正确的是（）A．甲车的加速度为 B．乙车的速度大小为C．2s时，甲、乙两车速度相等 D．4s时，甲、乙两车的距离为17.5m12．（25-26高一上·四川内江·期末）在一平直公路的两条车道上，分别有一辆汽车和一辆自行车同向行驶，自行车在前，汽车在后，当两车相距10m时汽车开始刹车，此后两车运动的图像如图。下列说法中正确的是（）A．刹车后，汽车加速度的大小为4m/s2B．当时，汽车和自行车相遇C．刹车后经过1s和5s，汽车和自行车两次相遇D．刹车后，汽车和自行车第一次相遇时汽车速度为14m/s13．（25-26高一上·湖北·阶段检测）如图，小球a自地面高h处做自由落体运动，同时位于小球a正下方的小球b自地面以初速度竖直上抛，b球上升到最高点时恰与a球相遇（不相碰），a、b均可视为质点，忽略空气阻力的影响，则（）A．a、b两球经过时间相遇B．a、b两球相遇点距地面高度为C．落地前a、b两球在相同时间内速度变化量相同D．a、b两球落地前相对速度越来越小14．（25-26高一上·辽宁·期末）理想情况下，可视为质点的小球与水平地面发生弹性碰撞，小球瞬间会以同样大小的速度竖直反弹。如图所示，现有A、B两个弹性小球，A、B间距为H，B在A正下方距水平地面距离h，当A、B同时开始做自由下落，下列说法正确的是（）A．当H=4h时，两个小球恰在B上升到最高点相遇B．当H=4.5h时，两个小球在B上升过程相遇C．当H=8.5h时，两个小球在B下降过程相遇D．当H=65h时，两个小球在B下降过程相遇三、解答题15．（25-26高一上·广东惠州·期中）长为的金属管竖直静置在地面上，上管口正上方处有一可视为质点的小球自由下落，不计空气阻力，取。求：(1)小球通过金属管所用的时间；(2)若小球自由下落的同时，金属管从地面以竖直上抛，①金属管上升时小球恰穿出下管口，求金属管竖直上抛的初速度大小；②若小球在金属管下降阶段穿出金属管，则需要满足什么条件？16．（25-26高一上·湖南长沙·学业考试模拟）春节放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前区间的速度不超过。现有甲、乙两辆小轿车在收费站前平直公路上分别以和的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后。甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为的加速度匀减速刹车。(1)甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章；(2)若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前处的速度恰好为，乙车司机在发现甲车刹车时经的反应时间后开始以大小为的加速度匀减速刹车。为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？17．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）我国的新能源汽车产业在全球处于领先地位，智能驾驶系统（IDS）在新能源汽车中已经得到广泛的应用。一新能源轿车正在一直线车道上以的速度匀速行驶时，IDS系统发现前方相邻车道上一辆以速度行驶的货车突然向自己的快车道变道，此时轿车与货车距离。若车辆出厂前的测试中以20m/s的速度行驶的轿车刹车距离是50m。（轿车刹车过程可视为匀变速直线运动，且不同行驶情境刹