湖南省衡阳市2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（解析版）

湖南省衡阳市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案DBBCABBBACBCD题号11答案ABD1．D【详解】由组合数的定义公式可得.2．B【分析】由正态分布曲线的对称性有，即可得答案.【详解】由题设，正态分布曲线关于对称，所以.故选：B3．B【分析】根据由能不能推出及由能不能推出即可得答案.【详解】解：由，可得或；由可得且，所以由不能推出，但由能推出，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4．C【详解】变换方式一：由函数的图象可向左平移个单位长度，得到，再将所有点的横坐标变为原来的，得到.变换方式二：可知，由函数的图象所有点的横坐标变为原来的，得到，再向左平移个单位长度，得到.5．A【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为3，则，，，，所以，，故，所以向量与夹角的余弦值为.

6．B【分析】利用组合数性质判断A；利用排列数阶乘公式判断B；利用组合数性质计算判断C；利用组合数性质及二项式定理计算判断D．【详解】选项A：由组合数性质知，，故A正确；选项B：当时，，故B错误；选项C：，故C正确；选项D：因为，所以，故D正确．7．B【分析】先根据已知条件得出函数的对称性与单调性，再利用函数性质化简不等式求解.【详解】由题意可得：，，则关于对称，，所以在上单调递增，等价于，所以，即，所以．8．B【分析】首先得出最终位置的分布满足二项分布，然后求出位置对应的概率，最后根据组合数的性质即可求解.【详解】设9次移动中，质点向正方向移动（），则向负方向移动次，最终位置为：，每次向正/负方向移动概率均为，因此位置对应的概率为，概率大小由组合数决定，组合数满足“先增后减，中间最大”，当时，最大的组合数为，即和时概率最大，时，，时，，因此质点最可能移动到的位置是或.9．AC【分析】对于A，由表格数据变化情况可判断；对于B，由回归方程过点可判断选项正误；对于C，由B分析可得回归方程，据此可判断选项正误；对于Ｄ，比较预测值与实际数量大小可判断选项正误．【详解】对于A，由表格数据可得随着的增大而增大，故变量正相关，故A正确；对于B，由表格数据可得，，因过点，则，故B错误；对于C，由B可得回归方程为：，当时，，故C正确；对于D，当时，由回归方程可得预测值为，而用户实际数量为，故D错误．10．BCD【详解】函数，定义域为，，是的极大值点，有，解得或，当时，，在上单调递减，不合题意；当时，，解得或，解得，在和上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，是的极小值点，符合题意.所以A选项错误，BC选项正确；，时，时，的极大值为，的极小值为，所以恰有3个零点，D选项正确.11．ABD【分析】运用奇函数的定义可得时的解析式，可判断A；令，求出所对应的方程的解，即可判断；利用导数判断函数的单调性求出函数的极值，即可判断；由的值域可判断．【详解】对于A，函数为定义在上的奇函数，当时，，，故A正确；对于B，当时，，解得，时，，解得，又，所以有和0三个零点，故B正确；对于C，当时，，，当时，，递减，时，，递增，∴时，有极小值，时，，，，由是奇函数，∴时，有极大值，又，所以的值域是，故C错误；对于D，由C的讨论知，因此对任意的实数有，，∴，即，故D正确.故选：ABD.12．4【分析】根据分段函数解析式，代入计算即得答案.【详解】由题意得，故，故答案为：413．0.72/【分析】利用全概率公式求解从该地市场上买到一个合格产品的概率，需要先确定不同厂家产品的概率以及在各厂家产品条件下买到合格产品的概率，再根据全概率公式计算最终结果.【详解】设“买到的产品是甲厂产品”为事件，“买到的产品是乙厂产品”为事件.已知甲厂产品占，乙厂产品占，所以，.记“从该地市场上买到一个合格产品”为事件.因为甲厂产品的合格率是，所以在买到甲厂产品的条件下，产品合格的概率；又因为乙厂产品的合格率是，所以在买到乙厂产品的条件下，产品合格的概率.根据全概率公式.将，，，代入上式可得：故答案为：.14．【分析】参变分离，构造新函数，求得单调性即可求解．【详解】因为在上恒成立，即在上恒成立，取，所以，显然递增，即，所以在单调递增，所以，所以，故答案为：．15．(1)(2)【分析】（1）由代入即可求解；（2）由（1）结合正弦定理可得，再由面积公式即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得：，即，；（2）由正弦定理可得：，则，解得16．(1)证明：过点作，垂足为．因为，所以四边形是正方形，所以，，则是等腰直角三角形，所以，则，即．因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面.因为平面，所以．因为，所以平面．(2)证明：连接，记，连接．由（1）得四边形是正方形，，平面，所以平面，因为平面，所以．又，所以．因为，所以，即，所以，所以平面．因为平面，所以平面平面．(3)【分析】（1）通过判断是等腰直角三角形得到，利用面面垂直得到线面垂直进而得到，最后根据线面垂直的判定定理得证；（2）连接，记，连接．结合线面垂直和平行的传递性得到平面，利用面面垂直判定定理得证平面平面；（3）建立空间直角坐标系分别求出平面与平面的法向量，用向量法求解.【详解】（1）略（2）略（3）连接．在正方形中，．由（2）得平面，因为平面，所以．因为，所以平面.以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则．由题可知是平面的一个法向量，是平面的一个法向量．，所以平面与平面的夹角的正弦值为．17．(1)(2)分布列见解析，(3)证明见解析【分析】（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，然后利用条件概率相关知识即可求解；（2）由题意可知时，X可能的取值为0，1，2，结合题意求出每个取值对应的概率即可求解；（3）由题可得，然后利用单调性即可证明.【详解】（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，则，，，，，，则，解得；（2）由题意可知当时，X可能的取值为0，1，2，则由（1）可知，，，X的分布列为：012随机变量X的数学期望为.（3）由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为，乙的积分为，则，且，所以甲晋级时n必为偶数，令，当n为奇数时，，则，又时，随着m的增大而增大，18．(1)证明见解析(2)①；②4【分析】（1）求出和，求出即可求解；（2）①证明，分和两种情况即可求解；②证明，证明，证明，结合反证法即可证明.【详解】（1）因为，所以，所以数列是以为公差，为首项的等差数列，所以，所以，即，所以数列具有性质；（2）①由数列具有性质得，又等比数列的公比为，若，则，解得，与为任意正整数相矛盾，当时，，而，整理得，若，则，解得，与矛盾，若，则，当时，恒成立，满足题意，当且时，，解得，与矛盾，所以；②由，得，即，因此，当且仅当时取等号，即，则有，由数列各项均为正数，得，从而，即，若，则，与矛盾，因此当时，恒成立，符合题意，所以的最小值为4．19．(1)(2)(3)存在，或【分析】（1）由奇函数定义可求得函数解析式.（2）讨论定义域和二次函数对称轴的关系，根据函数的最大值和最小值建立等量关系，计算的值.（3）分“”和“”两种情况分析，结合函数的单调性建立等量关系即可得到结果.【详解】（1）当时，，所以所以的解析式为.（2）当时，，所以.①当时，在上单调递增，此时，解得不合题意.②当时，在上单调递增，在上单调递减，则，即，，即，符合题意；③当时，在单调递减，则，解得，不合题意.综上得，.（3）由得，，由得，得，故同号.①当时，由于时，，故，则，所以在区间上单调递减，所以，即为方程的根，由得，即，从而解出.②同理时，由于时，，故，则故在区间上单调递减，所以，解得.综上可得，或.【点睛】思路