【解析卷】专题三：数列求和（8考点12考法）期末专项训练-2025-2026学年高二下学期人教A版数学

第2页，共17页专题三：数列求和（解析卷）TOC\u\t"标题2,1,标题3,2,副标题,1"考点1：等差数列的判断与证明 1考法1：利用定义证明等差数列 1考点2：等比数列的判断与证明 2考法2：利用定义证明等比数列 2考点3：利用Sn与an的关系求通项 2考法3：已知Sn与an的关系求通项 2考点4：分组求和法 4考法4：将数列拆分为等差与等比分别求和 4考法5：符号变化的数列并项求和 7考点5：裂项相消法 7考法6：形如1n(n+1)的裂项相消 考法7：形如1n(n+k)的裂项相消 考法8：形如1(an+b)(cn+d)考点6：错位相减法 11考法9：等差×等比的数列求和（错位相减） 11考点7：等比数列求和 15考法10：等比数列求和公式的应用 15考点8：数列求和的综合应用 15考法11：周期数列求和 15考法12：多种求和方法综合运用 1612345见解析是等比数列，证明见解析（1）S1=2,S2=8,S（1）an=n3，bnABCD67891021，2，3，4Sn6111213141580ABD15；1007证明见解析1617181920TT（1）an=2n，bn=3T2122232425①证明见解析；②TTS（1）an=2n①Tn=-2627282930S2，3，42BS专题三：数列求和（试卷）（逐题详解）考点1：等差数列的判断与证明考法1：利用定义证明等差数列1.（解答）【答案】见解析【解析】解：由an+1=2所以an+所以，数列{an2n}是以1【点拨】对于递推公式an+1=pan+qn考点2：等比数列的判断与证明考法2：利用定义证明等比数列2.（解答）【答案】是等比数列，证明见解析【解析】解：（1）a1=d，（2）首先证明引理：1左式=1nkn回到原题：根据引理a==d(因为d为非零实数且d≠-1，故{an}是以d为首项，【点拨】利用组合数恒等式kCn考点3：利用Sn与an的关系求通项考法3：已知Sn与an的关系求通项3.（解答）【答案】（1）S1=2,S2=8,S【解析】解：（1）令n=1，得3S1=a2.又S2=令n=2，得4S2=2a3.故S3=（2）若选择①：由已知，得(n故2(n+1)Sn=故{Snn}是以1为首项，若选择②：由已知，Sn=nn+2an+两式相减，得an化简并整理，得an+1n+2=又a12=1，a2故{ann+1}是以（3）若选择①：由（2）知，Snn=2n-1若选择②：由（2）知，ann+1=2n所以Sn=nn所以Tn则2T两式错位相减，得-Tn=2所以Tn=(【点拨】处理Sn与an+1的关系时，常利用an+4.（解答）【答案】（1）an=n3，bn【解析】解：（1）当n=1时，a当n≥2当n=1时也符合，所以a设等比数列{bn}的公比为q，由b1=3,所以bn=（2）由（1）知anb则T3Tn两式相减得-=1-所以Tn=【点拨】利用an=Sn-Sn-1考点4：分组求和法考法4：将数列拆分为等差与等比分别求和5.（多选）【答案】ABCD【解析】依题意，将数列分组：第1组1项，分母为2；第2组2项，分母为4；第3组4项，分母为8；…；第k组有2k-1项，分母为2k前k组的总项数为1+对于A，因为24-1=15，所以a15是第4对于B，S15-S7表示第4组所有项的和，第4组共有23=8对于C，组内相邻两项和为2i-12k+2i+12k=4i2k，若等于3132，则分子必为奇数，不可能；跨组相邻两项和为2k对于D，第k组各项之和为(2k-1)22k=2k-2，前k组的总和为12+1+2+⋯+2k【点拨】群数列问题关键在于确定“项数”与“组数”的关系，以及每组内各项的规律与和的规律.6.（解答）【答案】2【解析】解：（1）当a=2时，a则S100==2(【点拨】将数列化简后，拆分为等比数列和等差数列，分别利用求和公式计算.7.（解答）【答案】1，2，3，4【解析】解：由题意，a2=3，a所以b1=5，b又因为bn+1所以数列{bn}是首项为5，公比为2由（1）知bn=5×2n所以c1+c因为c1+且c1+c所以正整数n的所有取值为1，2，3，4.……15分【点拨】对于分奇偶的递推数列，常通过代入法转化为只含奇数项或偶数项的递推关系，进而构造等比或等差数列求通项.8.（解答）【答案】S【解析】解：若n为奇数，则n+1是偶数，n所以an+1所以an+2所以{an}的奇数项是首项为a1=1当n=2k(=(==3k因为a2k所以当n=2k-=3×(综上所述，Sn=【点拨】对于奇偶项规律不同的数列求和，应分n为奇数和偶数两种情况讨论，通常先求出偶数项和S2k，再利用S2k-9.（解答）【答案】n【解析】解：当n=1时，a当n≥2时，a当n=1时，也符合综上，an=由（1）知，bn=则T=12=12=n2n【点拨】遇到奇偶项通项公式不同的数列求和，采用分组求和法，将奇数项和偶数项分别求和，再相加.10.（解答）【答案】6【解析】解：当n=1时，且an>0当n≥2时，∴2Sn即2an=a∵an>0，则an∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以设数列{bn}的公比为q(q>即b2=b1q=3根据题意，在an与an+1之间插入b即在1和2之间插入b1=1个1在2和3之间插入b2=3个1在3和4之间插入b3=9个1在4和5之间插入b4=27个1在5和6之间插入b5=81个1到6时，恰好有6+(1+3+9【点拨】处理“插入项”构成的新数列问题，关键是确定原数列的项在新数列中的位置（项数），通过建立项数的不等式或方程来定位所求项.考法5：符号变化的数列并项求和11.（解答）【答案】80【解析】解：设{an}的公差为d.由a4=a1+由a4=a1a3a9由于{an}各项均为正数，故d=14，{bn=(-1)nn+①当m=2k,k∈若b1+b2+⋯+bm②当m=2kb1因此不存在这样的m使得b1综上所述，m=80【点拨】对于正负相间的数列求和，通常采用并项求和法，将相邻两项合并，化简后再求和，注意分项数为奇数和偶数两种情况讨论.考点5：裂项相消法考法6：形如1n(n+12.（多选）【答案】ABD【解析】依题意，a1归纳可得an+1-对于A，a5=5对于B，an+1-an=n+1对于C，a2025=2025对于D，1a则1a因为n≥1，所以1≤2-2n【点拨】根据前几项归纳出通项公式是解题基础，形如1n(n+113.（填空）【答案】15；100【解析】由题意知，a1=1,所以a51a所以数列{1an}的前50【点拨】裂项相消法求和后，注意保留未消去的首尾项，代入项数即可求得结果.14.（解答）【答案】7【解析】解：因Sn+2-所以数列{an}是首项为a1由于S3=3a2=6，得a则{an}的通项公式为解法一：由（1）知，an=n，故1所以，当n≥2时，1b又因为b1=-111，代入化简可得因为b1=-111注意到bn+b所以{bn}的前13项和为【点拨】利用累加法求出数列的通项公式后，观察通项的结构特征，通过分离常数和对称相消的技巧求和.考法7：形如1n(n+k15.（解答）【答案】证明见解析【解析】证明：∵数列{ann}为等差数列，设该数列的公差为d，依题意则有已知a1=3,a∴数列{ann}是以ann=a1由（1）可得1anSn===12=12∵n∈N*∴2n【点拨】裂项相消法中，1n(n+k)=116.（解答）【答案】T【解析】解：由an可得an由②-①得an+1即(a∵an>0，又当n=1时，得解得a1=2可得数列{an}是首项为2即an=n由（1）知bn可得bn=1因此Tn=1可得Tn=【点拨】由Sn与an的关系求通项时，作差后利用因式分解求出递推关系.17.（解答）【答案】T【解析】解：设等差数列{an}的公差为由a3=8,a解得a1=所以an=所以bn=所以T=12【点拨】求出等差数列通项后，将分母化为乘积形式，提取常数因子后再进行裂项相消.18.（解答）【答案】（1）an=2n，bn=【解析】解：（1）由题知，an=2n又a1=2，an-an-1所以Sn=n又Sn=(n+解得log2bn=n（2）证明：由题意应为cn=1bn所以T=13因为n≥1，所以T所以Tn≥T1故14≤Tn【点拨】原题中cn=bn2存在排版错误，结合结论范围可推断应为考法8：形如1(an+b)(19.（填空）【答案】3【解析】因为an所以S15【点拨】对于分母含有根号的数列，通常先进行分母有理化，将其转化为可裂项相消的形式.20.（解答）【答案】T【解析】解：（1）3n-1S当n=1时，a1当n≥2时，an当n=1时，11-63=（2）cn=-3当n≥2时，1cTn=1【点拨】对于首项不符合通项公式的数列，求和时应将首项单独列出，从第二项开始使用裂项相消法，最后再合并.考点6：错位相减法考法9：等差×等比的数列求和（错位相减）21.（解答）【答案】①证明见解析；②T【解析】解：①由an+2=2Sn即an+3又a1=1,所以a3+a2=6所以数列{an+1+②由（i）知等比数列{an+1+an}an+2+an当n=2k-1于是a2k+1-a1=i当n=2k,k于是a2k+2-a2因此n∈N*，an=则Tn=3两式相减得12Tn所以Tn=【点拨】由递推关系证明等比数列时，注意作差构造目标形式.错位相减法求和时，注意相减后中间项是等比数列，首尾项需单独处理.22.（解答）【答案】T【解析】解：（1）因为Snn+n当n≥2时，Sn①-②得：S所以an+2n所以2(n-所以an-因为a1=1，所以{an}是以所以an=（2）由（1）得2n所以Tn=12Tn=两式相减，得-Tn=-Tn=所以Tn=(【点拨】利用Sn与Sn-123.（解答）【答案】S【解析】解：bn+1所以bn又b1+1=a12+1=32，所以{由（1）知bn+1=(所以an=cn=nSn13两式相减得23S=1所以Sn=【点拨】对于an+1=pan+q24.（解答）【答案】（1）an=2n【解析】解：（1）当n=1时，S1=2当n≥2时，Sn两式相减得an=2an所以数列{an}是首项为2所以an=（2）由（1）知bn=log22n则T12T两式相减得1=12所以Tn=【点拨】利用an=S25.（解答）【答案】①Tn=-【解析】解：（1）设an=|又a1=|OP1|=2，故数列{aan=（2）由（1）可得log2an=log①由题设可得b∴8∴以上两式相减得：-化简得：Tn=-②因为cncn+易得2当n=1时，(32-当n=2时，(32-32)×2+(12-42)=22-则数列{cn}的最小值为c2，则存在n0=2，使得对于任意【点拨】利用向量坐标的递推关系求出模长的递推式，进而求出数列通项.判断数列最值时，可通过作差比较相邻项的大小关系.26.（解答）【答案】S【解析】解：bn=Sn=d2[(1(1+d)Sn①-②得：-dS=d2所以Sn=(【点拨】等差乘等比数列求和时，利用错位相减法，相减后中间项构成等比数列，利用等比数列求和公式化简.考点7：等比数列求和考法10：等比数列求和公式的应用27.（解答）【答案】2，3，4【解析】解：bn+1又b1=a13=1，所以数列{bbn=1+13Sn=SnS由1128<13n+1<故满足不等式的所有正整数n的值为2，3，4.…………15分【点拨】通过同除以3n+1考点8：数列求和的综合应用考法11：周期数列求和28.（填空）【答案】2【解析】因为an=cosnπ4，所以数列{且一个周期内的各项和为cosπ又2025=所以S2025【点拨】三角函数构成的数列通常具有周期性，求出一个周期内的项和，利用周期性可快速求出前n项和.考法12：多种求和方法综合运用29.（单选）【答案】B【解析】由f(x+1两式相加得f(又已知f(所以f(且必须有f(利用累加法可得f(所以f(所以f（2025）=【点拨】通过不等式的放缩与夹逼，确定函数递推关系为等式，再利用累加法求出函数表达式.30.（解答）【答案】S【解析】解：设{an}的公差为d，{b