北师大版小学数学六年级上册数与代数（三）复习课教学设计

北师大版小学数学六年级上册数与代数（三）复习课教学设计  一、教学内容分析  【核心概念】本节课是北师大版小学数学六年级上册总复习“数与代数”领域的第三课时，主要围绕“百分数”和“比”这两个核心概念展开系统复习。百分数是一个承上启下的关键知识点，它既是学生理解现实世界中随机性数据（如中奖率、命中率）和确定性数据（如浓度、折扣）表达方式的基础，也是后续学习百分数应用题、利率、税率以及概率统计知识的重要前提。比的概念则起源于除法与分数，是描述两种量之间倍数关系的另一种数学模型，它将为学生进入初中学习比例、正反比例、相似形等知识奠定坚实的认知基础。  【知识脉络】本课时的复习内容并非简单的概念重现，而是要将分散在教材多个单元中的知识点进行结构化整合。主要包括以下几个维度：一是百分数的意义与读写法，理解其作为“表示一个数是另一个数的百分之几”的特殊分数的本质；二是百分数与小数、分数之间的互化，这是进行相关计算和比较大小的基础技能；三是解决与百分数相关的实际问题，特别是“求一个数是另一个数的百分之几”、“求一个数的百分之几是多少”、“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”这三类基本问题，以及在现实情境中出现的折扣、成数、税率、利率、浓度等问题，这些问题实质上是对上述三类基本问题的变式与应用。四是比的意义、各部分名称、求比值与化简比，深刻理解比与除法、分数之间的内在联系与区别；五是按比例分配的实际问题，这是“比”的概念在解决生活实际问题中的典型应用，要求学生能根据各部分量的比，求出各部分量占总量的几分之几，进而转化为分数乘法问题来解决。  【育人价值】通过对百分数与比的系统复习，不仅能巩固学生的基本知识与基本技能，更能帮助学生进一步体会数形结合、转化、模型等数学思想。在分析百分数和比的实际问题过程中，能有效培养学生的逻辑推理能力、抽象概括能力和应用意识。同时，选取贴近学生生活的素材，如商品打折、银行储蓄、体育比赛数据、调制饮品配方等，让学生感受到数学与日常生活的紧密联系，体会数学的价值，激发学习数学的兴趣，发展核心素养。  二、学情分析  【知识储备】学生在之前的学习中，已经分别初步掌握了百分数的意义、读写和简单应用，也认识了比的意义和基本性质，能够解决一些基础的按比例分配问题。对于分数、除法与百分数、比之间的相互转化也有了一定的操作经验。然而，随着知识的增多和综合性的增强，学生在以下几个方面可能仍存在认知模糊或技能生疏：  【认知难点】  1.【难点】概念理解的混淆：部分学生可能对百分数的“相对性”理解不够深刻，容易将百分数（如20%）与具体的数量（如20米）相混淆。在“比”的应用中，容易混淆比与平均分的区别，特别是在遇到“按3:2分”这样的问题时，对总份数对应总量还是部分量理解不清。  2.【重要】方法选择的困惑：在解决百分数实际问题时，面对稍复杂的题目，学生可能难以准确判断应该使用乘法还是除法，特别是对于“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”这类逆向思维的问题，往往感到困难。  3.【高频考点】技能掌握的不熟练：百分数、小数、分数之间的互化虽然机械，但如果不经常练习，速度和准确性会下降，尤其是将分数化成百分数时遇到除不尽的情况处理不够灵活。化简比与求比值的步骤和结果表示形式有时会混淆。  4.【重要】模型建立的困难：将现实情境（如配置一种盐水，盐和水的比是1:9，求含盐率）抽象为数学问题（百分数问题或按比例分配问题），并对不同的模型进行区分和应用，对部分学生来说仍有挑战。  【学习习惯与心理】六年级学生已经具备一定的自主复习和归纳整理能力，但仍有部分学生习惯于被动接受，缺乏主动构建知识网络的意识。复习课如果只是知识的简单重复，容易让学生感到枯燥乏味，注意力分散。因此，本节课需要精心设计问题情境和活动，激发学生的求知欲，引导他们主动参与、积极思考、合作交流，在解决挑战性问题的过程中深化理解，提升能力。  三、教学目标  1.【基础】知识与技能目标：通过复习，学生能进一步理解百分数的意义，熟练掌握百分数、小数、分数的互化方法；能准确阐述比的意义，掌握比的基本性质，熟练进行求比值和化简比；能正确分析数量关系，熟练解决“求一个数是另一个数的百分之几”、“求一个数的百分之几是多少”、“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”这三类基本的百分数实际问题，以及“按比例分配”的实际问题，并能在具体情境中辨析和应用折扣、成数等相关概念。  2.【核心】过程与方法目标：通过自主梳理、合作交流、对比辨析、一题多解等方式，构建百分数与比的知识网络，体会转化思想、建模思想和函数思想。在解决综合性问题的过程中，提高分析问题、解决问题以及知识迁移的能力。  3.【重要】情感态度与价值观目标：在数学活动中，体验数学知识的系统性和结构性，感受数学与现实生活的密切联系，增强应用数学的意识。在探索和解决实际问题的过程中，培养严谨求实的科学态度和勇于探索的创新精神，获得成功的体验，树立学好数学的信心。  四、教学重难点  【教学重点】  1.进一步理解百分数和比的意义，沟通百分数、分数、小数、除法、比之间的内在联系。  2.掌握三类基本百分数问题和按比例分配问题的数量关系和解题方法，能灵活运用。  【教学难点】  1.【难点】准确分析稍复杂的百分数实际问题（特别是需要逆向思考或分步计算的问题）和按比例分配问题（尤其是涉及三个量或总量未知的情形）中的数量关系，并能正确列式解答。  2.【难点】能根据不同问题的特点，选择合适的策略（如画图、列方程、转化单位“1”等）进行有效分析，并能清晰表达自己的思考过程。  五、教学准备  1.教师准备：多媒体课件（PPT），包含知识点结构图、对比练习题组、典型例题、拓展挑战题等。设计学生复习导学单。  2.学生准备：提前自主复习课本相关单元，尝试用自己喜欢的方式（如思维导图、知识树、表格等）梳理百分数和比的知识点。准备红笔用于纠错和补充。  六、教学过程  （一）创设情境，揭示课题（约5分钟）    师：同学们，大家好！时间过得真快，一学期的学习即将结束。在丰富多彩的数学世界里，我们结识了两位非常重要的“朋友”——百分数和比。它们在生活的方方面面都扮演着不可或缺的角色。请看大屏幕（PPT展示一组生活素材：手机充电显示80%、衣服吊牌上的成分含量（如棉60%）、篮球比赛命中率统计、建筑工地混凝土的配比（如水泥:沙子:石子=2:3:5）、一张照片的长宽比等）。    师：看到这些信息，你们想到了什么？这些百分数和比分别表示什么意思呢？谁能举个例子说说？    （学生自由发言，结合实例解释百分数或比的意义，如“充电80%表示已充电量占总电量的百分之八十”、“混凝土配比2:3:5表示水泥、沙子、石子的份数比是2比3比5”等。）    师：看来，百分数和比不仅在我们的课本里，更在我们的生活中。今天这节课，就让我们再次走进“数与代数”的世界，对“百分数”和“比”这两个老朋友进行一次系统、深入的梳理与复习，看看我们能不能对它们有更新、更深的认识。（板书课题：数与代数（三）——百分数与比的系统复习）    【设计意图：从学生熟悉的生活情境引入，迅速拉近数学与生活的距离，激发学生的学习兴趣和求知欲。让学生用自己的语言解释百分数和比的意义，是对旧知的唤醒，也为后续的系统整理打下基础。直接点明课题，让学生明确本节课的学习任务。】  （二）自主梳理，构建网络（约10分钟）    师：课前，老师已经布置大家用自己喜欢的方式，对“百分数”和“比”这两个板块的知识进行了梳理。现在，请同学们以四人小组为单位，互相交流你们的整理成果。在交流时，可以重点说说你们梳理了哪些知识点，它们之间有什么联系，你觉得自己在哪部分掌握得特别好，哪部分还存在疑问？    （学生小组内交流讨论，教师巡视，参与部分小组的讨论，了解学生整理的思路和普遍存在的问题。鼓励学生相互补充、质疑。）    师：哪个小组愿意派代表上来，和大家分享一下你们组的智慧结晶？    （请23个小组的代表上台，利用实物投影仪展示他们绘制的思维导图或知识表格，并进行讲解。可能的形式有：）    【非常重要】形式一（思维导图）：中心主题是“数与代数（三）”，伸出两个主要分支“百分数”和“比”。在“百分数”分支下，继续延伸出“意义与读写”、“与分数、小数的互化”、“基本问题类型（求百分率、求部分量、求总量）”、“生活应用（折扣、成数、税率、利率、浓度）”。在“比”分支下，延伸出“意义与各部分名称”、“与除法、分数的关系”、“基本性质（化简比、求比值）”、“应用（按比例分配）”。在两个分支之间，用虚线连接，并标注“联系：都可表示倍数关系”。    【重要】形式二（对比表格）：制作一个清晰的表格，将百分数和比的知识点进行对比呈现。例如：    |知识点维度|百分数|比|    |:|:|:|    |核心意义|表示一个数是另一个数的百分之几。|两个数相除，表示两个量之间的倍数关系。|    |表现形式|带有“%”符号，如50%|a:b或a/b(b≠0)|    |与除法的关系|相当于一个分母为100的分数与除法的关系。|a:b=a÷b(b≠0)|    |与分数的关系|可以看作是特殊的分数（分母为100）。|a:b=a/b(b≠0)|    |基本性质|无|比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。|    |核心运算|百分数、小数、分数的互化。|求比值、化简比。|    |典型应用|求百分率、折扣、成数、税率、利率等。|按比例分配、配比问题。|    （在学生展示讲解的过程中，教师适时引导、追问、补充，帮助学生把零散的知识点串联成线，编织成网。重点引导学生沟通知识间的内在联系，如：百分数可以看作是比值是百分数的比；按比例分配问题可以转化为分数乘法问题来解决；百分数问题中的单位“1”对应于比中的总量等等。）    师：感谢这几个小组精彩的分享！通过他们的梳理，我们清晰地看到了“百分数”和“比”这两部分知识，既有各自独立的结构，又有着千丝万缕的联系。它们都是我们描述数量关系、解决实际问题的有力工具。    【设计意图：将课堂的主动权还给学生，通过课前自主整理和课上的小组交流、全班展示，充分发挥学生的主体作用，培养他们的归纳概括能力和合作交流能力。在分享和碰撞中，学生相互启发，完善自己的认知结构，实现对知识的深层建构。教师在此过程中是组织者、引导者和合作者，适时点拨，提升认知高度。】  （三）典例精析，突破难点（约20分钟）    师：掌握了基础知识，我们还要能用它们来解决实际问题。下面，我们来看几道典型的例题，看看大家能不能灵活运用所学知识。    【高频考点】1.百分数的基本应用    PPT出示题目：光明小学六年级有男生80人，女生70人。    （1）男生人数是女生人数的百分之几？    （2）女生人数是男生人数的百分之几？    （3）男生人数比女生人数多百分之几？    （4）女生人数比男生人数少百分之几？    师：请同学们认真读题，独立解答。完成后，可以思考一下，这四道题有什么相同点和不同点？    （学生独立计算，教师巡视，指导个别学困生。指名板演，并说明解题思路。）    生1（板演第1、2题）：第（1）题是求一个数是另一个数的百分之几，用除法，男生÷女生，80÷70≈1.1429=114.3%。第（2）题也一样，女生÷男生，70÷80=0.875=87.5%。要注意找准比较的标准，也就是单位“1”。    师：说得很清楚！求一个数是另一个数的百分之几，关键就是找到“单位1”，用“比较量÷单位1的量”。那第（3）、（4）题是求“多百分之几”或“少百分之几”，又该怎么理解呢？    生2（板演第3、4题）：第（3）题，可以先求出男生比女生多多少人，8070=10人，再用多的人数除以女生人数（单位1），10÷70≈14.3%。第（4）题，可以先求出女生比男生少多少人，也是10人，再用少的人数除以男生人数（单位1），10÷80=12.5%。    师：为什么要除以“女生人数”和“男生人数”呢？    生2：因为问题问的是“比女生多百分之几”，是把女生人数看作单位“1”，所以要用多的人数除以女生人数。同理，“比男生少百分之几”是把男生人数看作单位“1”，所以要用少的人数除以男生人数。    师：【重要】非常精彩的辨析！这就是求“一个数比另一个数多（或少）百分之几”问题的核心：先求出两个数的差量，再除以作为标准（单位1）的那个量。请大家注意，这里的计算结果不是唯一的，因为比较的标准不同。我们还可以用另一种方法来检验：比如第（3）题，可以用男生是女生的百分数减去100%，即114.3%100%=14.3%。第（4）题，可以用100%减去女生是男生的百分数，即100%87.5%=12.5%。    【难点】2.稍复杂的百分数问题（单位“1”未知）    PPT出示题目：一种食用油，涨价后每瓶卖72元，比原价涨了20%。这种食用油原价是多少元？    师：请大家独立思考，尝试用你喜欢的方法来解决这个问题。可以画线段图来帮助分析。    （学生尝试解答，教师巡视，发现不同的解法。请用方程法和算术法的同学分别板演并讲解思路。）    生3（方程法）：我设原价为x元。涨价20%，意思是涨了原价的20%，所以现价=原价+原价×20%=原价×（1+20%）。列出方程：x×（1+20%）=72。解得x=72÷1.2=60。所以原价是60元。    师：用方程解，顺向思考，非常好理解。哪位同学是用算术法做的？    生4（算术法）：现价72元，相当于原价的（1+20%）=120%。已知一个数的120%是72，求这个数，用除法。72÷（1+20%）=72÷1.2=60（元）。    师：【核心】这两位同学的解法虽然形式不同，但本质是一样的。他们都抓住了“现价相当于原价的百分之几”这个关键。当单位“1”未知时，我们可以顺向思维列方程，也可以根据除法的意义逆向思考用除法。在解决这类问题时，你更喜欢哪种方法？为什么？    （学生讨论，各抒己见。教师总结：两种方法都是重要的数学工具，方程更具一般性，思维难度较低；算术法更直接，但对逆向思维要求较高。我们应熟练掌握两种方法，灵活运用。）    【高频考点】3.比的应用（按比例分配）    PPT出示题目：学校把栽84棵树的任务，按照六年级三个班的人数分配给各班。一班有42人，二班有45人，三班有39人。三个班各应栽树多少棵？    师：这道题是典型的按比例分配问题。这里的比例是什么呢？    生：是按各班的人数比来分配。三个班的人数比是42:45:39。    师：非常好！这个比可以化简吗？    生：可以化简，先同时除以3，得到14:15:13。（教师板书化简过程）    师：化简后，我们得到了最简整数比。接下来，如何求出各班应栽的棵数？请大家用两种不同的方法解答。    （学生独立解答，教师巡视。指名板演两种典型方法。）    生5（方法一：求总份数）：总份数：14+15+13=42。一班：84×14/42=28（棵）；二班：84×15/42=30（棵）；三班：84×13/42=26（棵）。答：一班栽28棵，二班30棵，三班26棵。    师：这种方法用到了我们学过的分数乘法。先求出总份数，然后找出各部分占总数的几分之几，最后用总数乘这个几分之几。这是按比例分配最常用的方法。    生6（方法二：归一法）：化简后的比是14:15:13，总份数42。平均每份是多少棵？84÷42=2（棵）。一班：14份，14×2=28（棵）；二班：15×2=30（棵）；三班：13×2=26（棵）。    师：归一法也很直观！它先求出每一份的数量，再求几份的数量。这两种方法思路不同，但结果一致，都能帮助我们解决按比例分配的问题。在解题时，大家可以选择自己熟练的方法。    【难点】4.百分数与比的综合应用    PPT出示题目：配置一种盐水，盐和水的质量比是1:9。现在有50克盐，需要加水多少克？配置成的盐水含盐率是多少？    师：这道题将比和百分数的知识结合在了一起。我们先来解决第一个问题。谁来分析一下？    生7：盐和水的比是1:9，意思是盐占1份，水占9份。现在有50克盐，对应的是1份，那么一份就是50克。水占9份，所以需要加水50×9=450（克）。    师：非常清晰！这是用比的思路（归一法）解决的。还有其他方法吗？    生8：盐和水的比是1:9，可以理解为盐是水的1/9。已知盐有50克，求水有多少克，就是已知一个数的1/9是50，求这个数，用除法。50÷1/9=50×9=450（克）。也可以列方程。    师：非常好，我们又一次看到了不同知识之间的相互转化。第二个问题，含盐率是多少？怎么求？    生9：含盐率=盐的质量÷盐水的质量×100%。盐水的质量=盐+水=50+450=500（克）。所以含盐率=50÷500×100%=10%。    师：答对了。回顾一下，解决这个综合问题的关键是什么？是我们一步步理清了条件之间的关系，先求出水，再求出盐水，最后才求含盐率。在解决复杂问题时，分步思考，层层递进，是重要的解题策略。    【设计意图：本环节通过精心设计的典型例题，将复习的重点和难点逐一击破。例题的选择由浅入深，层层递进，涵盖了百分数三类基本问题、单位“1”未知的逆向问题、比的应用以及二者的综合应用。在解题过程中，注重引导学生分析数量关系，鼓励一题多解，并对不同解法进行比较和优化，渗透转化、建模等数学思想。教师的适时追问和点拨，帮助学生深化理解，提升解题能力。】  （四）分层练习，巩固提升（约15分钟）    师：刚才我们一起分析了几类典型问题，相信大家都有了不少收获。接下来，请大家进入“挑战自我”环节，完成几组练习。请根据自己的实际情况，从A组基础题开始，学有余力的同学可以挑战B组和提高题。    （PPT出示分层练习题组）    【基础】A组：    1.把下面的小数和分数化成百分数：0.75，1.2，3/8，7/5。    2.把下面的百分数化成分数或小数：25%，0.4%，150%。    3.化简下面各比，并求出比值：18:24，2.5:4，3/4:5/8。    4.六（1）班有50人，今天的出勤率是98%。今天有多少人出勤？    5.一种牛肉干，原价每袋20元，现在打八五折出售。现在每袋售价多少元？    【重要】B组：    1.小华看一本故事书，已经看了全书的65%，正好是130页。这本书一共有多少页？还有多少页没看？    2.一个长方形的长和宽的比是5:3，周长是48米。这个长方形的长和宽各是多少米？面积是多少平方米？    3.一件衣服，先提价10%，后又降价10%，现价是原价的百分之几？    【高频考点】【拓展】C组：    1.甲、乙两箱水果的质量比是5:4，如果从甲箱中拿出4千克放入乙箱，甲、乙两箱的质量比就变成了1:1。原来甲、乙两箱水果各有多少千克？    2.某商品按定价卖出可获利960元，如果按定价的80%出售，则亏损832元。这种商品的成本是多少元？    （学生自主选择练习，教师巡视，对A组学生进行个别辅导，对完成B、C组的学生进行点拨，鼓励他们交流思路。练习结束后，选取部分典型题目，尤其是B组的第3题和C组的题目，进行全班交流讨论。）    师：刚才我看到很多同学都在积极思考，特别是B组的第3题和C组的题目非常有挑战性。哪位同学愿意来分享一下你的解题思路？    （针对B组第3题，引导学生理解“提价10%”是在原价基础上提，“降价10%”是在提价后的价格基础下降，单位“1”发生了变化，所以现价不等于原价。可以用设数法，假设原价为100元进行计算。）    （针对C组第1题，引导学生抓住两箱水果的总质量不变这一关键，通过画图或分析比的变化来解决问题。）    【设计意图：分层练习的设计充分尊重了学生的个体差异，让不同层次的学生都能在练习中获得成功的体验和能力的提升。A组题夯实基础，确保全体学生达标；B组题注重知识综合与灵活运用，提升大部分学生的思维水平；C组题则为学有余力的学生提供了更具挑战性的思维空间，培养他们的创新意识和解决复杂问题的能力。通过典型题目的全班交流，进一步深化理解，拓展思路。】  （五）全课总结，畅谈收获（约3分钟）    师：同学们，时间过得真快，这节课马上就要结束了。回顾这节课的学习过程，你对“百分数”和“比”有哪些新的认识或更深的体会？你有哪些收获？还有哪些疑问？    （引导学生从知识、方法、情感等多个角度进行总结。）    生1：我更加清楚地知道了百分数和比之间的关系，它们都能表示两个量之间的倍数关系。    生2：我学会了用线段图来分析百分数问题，特别是当单位“1”不知道的时候，画图很有帮助。    生3：我发现按比例分配问题可以转化成求一个数的几分之几是多少的问题，知识之间是相通的。    生4：我体会到，做题目不能只看数字，关键是要分析清楚数量关系，找准单位“1”。    ……    师：大家的收获真不少！正如大家所说，数学知识不是孤立的，它们之间有着千丝万缕的联系。通过今天的复习，我们不仅巩固了百分数和比的知识，更重要的是学会了如何梳理知识、沟通联系、分析问题、灵活运用。希望大家在今后的学习中，也能像今天这样，多思考，多总结，让我们的数学智慧不断生长。    【设计意图：通过开放性的总结，鼓励学生回顾和反思自己的学习过程，梳理知识上的收获、方法上的感悟以及情感上的体验。这不仅能帮助学生将新知融入已有的认知结构，实现知识的升华，还能培养学生的元认知能力，为他们后续的自主学习奠定基础。】  七、板书设计    数与代数（三）——百分数与比的系统复习    一、百分数      意义：表示一个数是另一个数的百分之几（%）      互化：百分数←→小数←→分数      三类基本问题：        1.求百分率（几÷几）——单位“1”已知        2.求部分量（单位“1”×百分率）——单位“1”已知（乘法）        3.求总量（部分量÷百分率）——单位“1”未知（除法/方程）      生活应用：折扣、成数、税率、利率、浓度……    二、比      意义：两个数相除（a:b）      关系：比←→除法←→分数      基本性质：前项和后项同乘或除以一个不为0的数，比值不变。      运算：        求比值：前项÷后项=一个数（整数、小数、分数）        化简比：得到一个最简整数比（a:b，且a、b互质）      应用：按比例分配        方法一：求总份数→求各部分占总数的几分之几→分数乘法        方法二：求每份数→求几份数（归一法）    三、联系与转化      百分数可以看作是比值是百分数的比。      按比例分配问题可转化为分数乘法问题。      分析数量关系、找准单位“1”（或总份数）是关键。  八、教学反思    本节课作为六年级上册总复习的关键课时，我力求打破传统复习课“炒冷饭”的模式，以“建构”与“应用”为主线，引导学生对“百分数”和“比”这两个核心概念进行深度整合与提升。    在知识建构环节，通过“课前自主梳理—课中小组交流—全班展示汇报”的流程，充