2026年高二下学期期末数学全国一卷模拟卷（含答案详解）

第=page11页，共=sectionpages11页2026年高二下学期期末模拟卷（全国一卷地区通用）数学问卷考试范围：高考范围考试时间：120min总分：150分绝密★启用前第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|y=1−x}，B={x|y=ln(2−x)}A.(−∞,1] B.(1,2) C.[1,2) D.(−∞,2)2.1+2i1−2iA.−45−35i B.−3.若向量a，b满足|b|=3，a⋅b=−6，则a在A.−12b B.−13b4.函数y=2|x|sin2x的图象可能是A. B. C. D.5.(1+2x+x2)(1−x)10的展开式中A.495 B.375 C.135 D.156.若函数f(x)=xlnx−x+k存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为(

)A.(−∞,1) B.(0,1) C.(−∞,e) D.(0,e)7.某市2022年至2025年新能源汽车年销量y(单位：千台)与年份代号x年份202220232024202年份代号x1234年销量y1520m35若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程为y=7x+7.5，则表中m的值为(

)A.25 B.28 C.30 D.328.设F是双曲线x2a2−y2b2=1的右焦点，双曲线两渐近线分别为l1，l2，过点F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A，B两点，若AA.52 B.2 C.5二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的是(

)A.若随机变量X~B(10,13),则D(3X-1)=20

B.若随机变量X~N(μ,σ2),当μ不变时,σ越小,该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖

C.回归分析中,样本决定系数R2越大,残差平方和越小,模型拟合效果越好

D.在独立性检验中,当χ2≥χα(χα为10.已知圆C:x2+yA.圆C关于直线x−y=0对称的圆的方程为(x−2)2+y2=2

B.直线x−y+1=0被圆C截得的弦长为62

C.若圆C上有四个点到直线x−y+m=0的距离等于22，则m的取值范围是(1,3)11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AAA.当λ=0时，AC1⊥平面BDF

B.任意λ∈[0,1]，三棱锥F−BDE的体积是定值

C.存在λ∈[0,1]，使得AC与平面BDF所成的角为π3

D.当λ=2第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知等比数列{an}为递增数列，且5a1，a3的等差中项为3a13.五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，把这五个音阶排成一列，形成一个的音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同的音序的种数为

(用数字作答)．14.若函数f(x)=x3−3x在区间(a2−12,a)上有最大值，则实数四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在各项均不相等的等差数列{an}中，a1=1，且a1，a2，a5等比数列，数列(1)求数列{an}，(2)求数列{1anan+1}16.(本小题15分)已知曲线y=fx=13x3−ax2(1)求函数的极值；(2)若存在x∈0,3，使得不等式fx−m≤0成立，求17.(本小题15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，BC//AD，AB=BC=1，AD=3，点E在AD上，且PE⊥AD，PE=DE=2．(1)若F为线段PE中点，求证：BF//平面PCD．(2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．18.(本小题17分)

某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量(单位：毫克)，质量值落在(175,225]的产品为合格品，否则为不合格品.统计数据如下面2×2甲流水线乙流水线总计合格品9296188不合格品8412总计100100200(1)依据α=0.15的独立性检验，分析产品的包装合格与流水线的选择有关?附：χ2=n(ad−bc临界值表：P(0.150.100.050.0250.0100.0050.001x2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(2)从抽取的200件产品中随机任取两件，记“这两件产品中至少一件为合格品”为事件B，记“这两件产品均来自甲流水线”为事件A，求P(A|(3)公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行不合格品情况检查分析，在x(单位：百件)件产品中，得到不合格品数量y(单位：件)的情况汇总如下表所示：x(百件)147810y(件)214243540求y关于x的经验回归方程y=bx+a，并预测一小时生产2000件时的不合格品数(附：b=i=119.(本小题17分已知抛物线Γ：y2=2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，点D(p,0)，过F的直线交Γ于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为A1，B1，直线A1D，B1(1)求Γ的方程；(2)记M，N的纵坐标分别为yM，yN，当1y(3)设E为x轴上一点，记k1，k2分别为直线ME，ND的斜率．若k1k答案1.【答案】B

【解析】解：∵A={x|y=1−x}=(−∞,1],B={x|y=ln⁡(2−x)}=(−∞,2),

∴(∁R2.【答案】D

【解析】【分析】本题考查复数的代数形式的乘除运算，属于基础题．

利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：1+2i1−2i=(1+2i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−3.【答案】D

【解析】解：由题意，|b|=3，a·b=−6，

所以a4.【答案】D

【解析】【分析】本题考查函数图象的识别，属于基础题．

直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果．【解答】

解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，

由2|−x|sin(−2x)=−2|x|sin2x=−y，

得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A和B；

当x=π5.【答案】D

【解析】解：(1+2x+x2)(1−x)10=(1−x)10+2x(1−x)10+x2(1−x)10，

6.【答案】B

【解析】解：f(x)=0即k=−xlnx+x，

可知直线y=k与函数g(x)=−xlnx+x的图象有两个交点，x>0，

g′(x)=−(ln x+x⋅1x)+1=−ln x−1+1=−ln x，

当x∈(0,1)时，ln x<0，故g′(x)=−ln x>0，g(x)单调递增，

当x∈(1,+∞)时，ln x>0，故g′(x)=−ln x<0，7.【答案】C

【解析】【分析】根据数表求出样本的中心点，再代入回归直线方程计算作答．【解答】解：由已知x=52，回归直线方程为y=7x+7.5过样本点中心(x,y)8.【答案】C

【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用解直角三角形和两直线的夹角求法，考查运算能力，属于中档题．

运用勾股定理，可得|AB|=4，设出直线l1：y=bax，直线l2：y=−bax，设l1的倾斜角为α，l【解答】解：在直角三角形AOB中，|OA|=3，|OB|=5，

可得|AB|=52−32=4，

可得tan∠AOB=|AB||OA|=43，

直线l1：y=bax，直线l2：y=−bax，

设l1的倾斜角为α，l29.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查二项分布的方差、正态分布中方差的意义、回归分析及独立性检验的相关概念，属于基础题.

根据二项分布的方差公式、正态分布中方差的意义、回归分析及独立性检验的相关概念求解即可.【解答】对于A，D(X)=10×13×23=209，所以D(3X−1)=209×32=20，故A正确;

对于B,随机变量X~N(μ,σ2),当μ不变时,σ越小,说明数据离散程度越小，

该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高，故B不正确；

对于C,用决定系数R2来比较两个模型拟合效果,R2越大,表示残差平方和越小,模型的拟合效果越好,故C正确；

对于D,在独立性检验中，当χ10.【答案】AC

【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，考查相交弦长，对称圆的方程的求法，圆上的点到原点的距离的最值，属于中档题．

求得已知圆的圆心和半径，可求圆C关于直线x−y=0对称的圆的方程判断A；求得直线x−y+1=0与圆C的相交弦长可判断B；由已知可得圆心到直线的距离小于22，可求m判断C;可求圆C上的点到原点距离的最大值和最小值，平方后可得x2【解答】

解：圆C：x2+y2−4y+2=0的圆心为C(0,2)，半径r=2，

圆心C(0,2)关于x−y=0对称点D(2,0)，

∴圆C关于直线x−y=0对称的圆的方程为(x−2)2+y2=2，故A正确；

圆心C到直线x−y+1=0的距离d=|0−2+1|1+1=12，弦长为22−12=6，故B错误；

∵圆C上有四个点到直线x−y+m=0的距离等于22，

∴圆心到直线的距离小于22，

即|−2+m|2<11.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查线面垂直的证明，三棱锥的体积变化问题，线面角的变化问题，球的截面面积的求解，点面距离的向量求法，属于难题．

根据线面垂直的判定定理，三棱锥的体积公式，线面角的求法，坐标法求点面距，即可分别求解．【解答】

解：对A选项，当λ=0时，F与A1重合，

AB1⊥A1B，A1B⊥B1C1，B1C1∩AB1=B1，B1C1，AB1⊂面B1C1DA，

所以A1B⊥面B1C1DA，又AC1⊂面B1C1DA，所以AC1⊥A1B，同理可得AC1⊥BD，

又BD∩A1B=B，BD，A1B⊂面BDA1，所以可得AC1⊥平面BDA1，即AC1⊥平面BDF，

∴A选项正确；

对B选项，∵A1B1与EB相交，

∴F到平面BDE的距离不是定值，又△BDE的面积为定值，

∴对任意λ∈[0,1]，三棱锥F−BDE的体积不是定值，

∴B选项错误；

对C选项，当λ=1时，F与B1重合，此时易知AC⊥平面BDF，

当λ=0时，F与A1重合，

由A可知，AC1⊥平面BDA1，

如图，设AC∩BD=O，连接A1O，A1C1，

易知BD⊥平面ACC1A1，又BD⊂平面A1BD，

∴平面ACC1A1⊥平面A1BD，且平面ACC1A1∩平面A1BD=A1O，

∴AC在平面A1BD的射影为A1O，

∴AC与平面A1BD所成角为∠A1OA，

又易知tan12.【答案】5

【解析】解：由题意可知，5a1+a3=6a2，

则q2−6q+5=0，13.【答案】24

【解析】【分析】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属于基础题．

先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起，然后与宫、商、角进行全排，求解即可．【解答】

解：先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起，然后与宫、商、角进行全排，

即可排成不同的音序的种数为A22·A414.【答案】(−1,2]

【解析】∵f(x)=x3−3x令f′(x)<0解得−1<x<1；令f′(x)>0，解得x>1或x<−1，由此可得f(x)在(−∞,−1)上时是单调递增函数，在(−1,1)上时是单调递减函数，在(1,+∞)上是单调递增函数，故函数f(x)在x=−1处有极大值，在x=1处有极小值，∴a2−12<−115.【答案】(1)设数列{an}的公差为d，则a∵a1，a2，a5成等比数列，整理得d2=2a1d，解得d=0(∴a当n≥2时，bn当n=1时，b1所以数列{bn}(2)1则数列{1anan+116.【答案】解：(1)由题得：f′(x)=x结合题意可得f′(0)=b=3解得a=2b=3故fxf′x令f′x>0，解得x>3或令f′x<0，解得故fx在−∞,1，3,+∞上单调递增，在(1,3)

所以fx的极大值为ffx的极小值为f(2)由(1)可知f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，又因为f0=1，f3所以要使不等式fx−m≤0能成立，则所以m⩾1，故m取值范围是1,+∞．【解析】本题考查导数在求极值和最值问题中的综合应用，属于基础题．

(1)利用题中条件解出a,b的值，进而求出极值点即可；

(2)利用导数求出函数fx在[0,3]17.【答案】解：(1)取PD的中点为S，接SF,SC，则SF//ED,SF=1而ED//BC,ED=2BC，故SF//BC,SF=BC，故四边形SFBC为平行四边形，故BF//SC，而BF⊄平面PCD，SC⊂平面PCD，所以BF//平面PCD．(2)因为ED=2，故AE=1，故AE//BC,AE=BC，故四边形AECB为平行四边形，故CE//AB，所以CE⊥平面PAD，而PE,ED⊂平面PAD，故CE⊥PE,CE⊥ED，而PE⊥ED，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A0,−1,0则PA设平面PAB的法向量为m=则由m⋅PA=0m⋅设平面PCD的法向量为n=则由n⋅PC=0n⋅故cosm故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为30【解析】本题考查平面与平面所成角的向量求法，属于中档题．

(1)取PD的中点为S，接SF,SC，可证四边形SFBC为平行四边形，由线面平行的判定定