一元二次方程的根与系数的关系课件2026-2027学年数学北师大版九年级上册

第二章一元二次方程3一元二次方程的根与系数的关系如果ax2＋bx＋c＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0，x1，x2是实数），那么

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0必有两个实数根x＝x1，x＝x2.反过来，如果

x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根，那么ax2＋bx＋c＝a（x－x1）（x－x2）一定成立吗？

根与系数的关系

注意：根与系数关系的使用条件为a≠0，

b2－4ac≥0.

【例1】（根据教材第49页例题改编）利用根与系数的关系求下列方程的两

根之和、两根之积.（1）x2－x－2＝0；解：方程的两根之和为1，两根之积为－2.（2）2x2＋3x－5＝0.

（根据教材第49页例题改编）利用根与系数的关系，求下列方程

的两根之和、两根之积.（1）x2－5x－6＝0；解：x1＋x2＝5，x1x2＝－6.（2）3x2＋5x＋1＝0.

【例2】（2024秋•龙岗区校级月考）关于x的一元二次方程x2－mx＋3＝0的

一个根是1，则该方程的另一个根为（A）.A.

x＝3B.

x＝1C.

x＝4D.

x＝1或x＝3

（2024秋•光明区校级月考）已知x＝1是一元二次方程x2＋3x＋

m＝0的一个根，则另一个根为

⁠.Ax＝－4【例3】（2025秋•深圳校级月考）已知m，n是一元二次方程x2＋7x－2＝0

的两根，求代数式m2＋n2－m－n的值.

（2024秋•南山区校级期中）关于x的一元二次方程x2－4x－2m

＋5＝0有两个实数根x1，x2，并且x1≠x2.（1）求实数m的取值范围；

（2）满足x1x2＋x1＋x2＝m2＋6，求m的值.

常见与两根有关的代数式变形：

④（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2.

－228【例5】（2025•南山区校级开学）若α，β是方程x2＋2x－2025＝0的两个实

数根，求α2＋3α＋β的值.解：∵α，β是方程x2＋2x－2

025＝0的两个实数根，∴α2＋2α－2025＝0，α＋β＝－2，∴α2＋2α＝2025，∴α2＋3α＋β＝α2＋2α＋（α＋β）＝2025－2＝2023.

（2025秋•深圳校级月考）已知α，β是方程x2－2x－1＝0的两个

根，求α2＋2β的值.解：方法一：∵α，β是方程x2－2x－1＝0的两个根，∴β2－2β＝1，α＋β＝2，αβ＝－1，∴α2＋2β＝（α＋β）2－2αβ－（β2－2β）＝22－2×（－1）－1＝5.方法二：∵α，β是方程x2－2x－1＝0的两个根，∴α2－2α－1＝0，∴α2＝2α＋1，∴α2＋2β＝2α＋1＋2β＝2（α＋β）＋1＝2×2＋1＝5.

1.

若一元二次方程x2－2x－4＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2的值是

（C）.A.

4B.

－4C.

2D.

－22.

（2024•罗湖区校级模拟）若x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，则2x1

＋2x2－x1x2的值为

⁠.C5

4.

已知

x1，x2是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的两根，且x1＋x2＝3，x1x2＝

1，则a，b的值分别是

a＝

，b＝

⁠.

－315.

（2025秋•宝安区校级期中）设m，n是一元二次方程x2＋3x－5＝0的两

个根，则m2＋4m＋n＝

⁠.解析：∵m是一元二次方程x2＋3x－5＝0的根，∴m2＋3m－5＝0，∴m2＝－3m＋5，∴m2＋4m＋n＝－3m＋5＋4m＋n＝m＋n＋5.∵m，n是一元二次方程x2＋3x－5＝0的两个根，∴m＋n＝－3，∴m2＋4m＋n＝－3＋5＝2.故答案为2.26.

（2025秋•龙华区校级月考）若关于x的一元二次方程x2－2x＋m－2＝0

有两个实数根.（1）求m的取值范围；解：由条件可得Δ＝（－2）2－4（m－2）≥0，解得m≤3.（2）若方程的两个根x1，x2满足x1＋x2＋x1x2－1＝0，求m的值.解：由条件可知x1＋x2＝2，x1x2＝m－2.∵x1＋x2＋x1x2－1＝0，∴2＋m－2－1＝0，解得m＝1.

7.

（教材第50页第5题）把4x2－x－2进行因式分解.

参考答案【新课导学】

【例1】解：（1）方程的两根之和为1，两根之积为－2.

变式训练1

解：（1）x1＋x2＝5，x1x2＝－6.

变式训练3

解：（1）∵方程有两个实数根x1，x2，并且x1≠x2，∴（－4）2－4×1×（－2m＋5）＞0，

（2）∵x1，x2是该方程的两个根，∴x1＋x2＝4，x1x2＝－2m＋5.∵x1x2＋x1＋x2＝m2＋6，∴－2m＋5＋4＝m2＋6，解得m＝－3或m＝1.

∴m＝1.【例4】－2变式训练428【例5】解：∵α，β是方程x2＋2x－2

025＝0的两个实数根，∴α2＋2α－2025＝0，α＋β＝－2，∴α2＋2α＝2025，∴α2＋3α＋β＝α2＋2α＋（α＋β）＝2025－2＝2023.变式训练5

解：方法一：∵α，β是方程x2－2x－1＝0的两个根，∴β2－2β＝1，α＋β＝2，αβ＝－1，∴α2＋2β＝（α＋β）2－2αβ－（β2－2β）＝22－2×（－1）－1＝5.方法二：∵α，β是方程x2－2x－1＝0的两个根，∴α2－2α－1＝0，∴α2＝2α＋1，∴α2＋2β＝2α＋1＋2β＝2（α