第08讲二次根式（8种题型）（学生版）-新八年级数学暑假衔接（北师大）

第08讲二次根式（8种题型）【知识梳理】一．二次根式的定义二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”称为二次根号②a（a≥0）是一个非负数；学习要求：理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．二．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．【规律方法】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．三．二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①≥0；a≥0（双重非负性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝|a|＝（算术平方根的意义）（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法1．常见题型：与分式的化简求值相结合．2．解题方法：（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．四．最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．五．二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）规律方法总结：在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．六．二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．七．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．八．二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．九．二次根式的应用把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．【考点剖析】一．二次根式的定义（共4小题）1．（2023春•庐阳区校级期末）下列式子中，一定是二次根式的是（）A． B． C． D．2．（2023春•大石桥市期中）下列各式是二次根式的有（）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．（2022秋•门头沟区期末）下列代数式能作为二次根式被开方数的是（）A．x B．3.14﹣π C．x2+1 D．x2﹣14．（2022秋•宁德期末）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是2．那么若b是正整数，是大于1的整数，则b的最大值与最小值的差是．二．二次根式有意义的条件（共3小题）5．（2023春•江夏区校级期末）若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≤36．（2022秋•宝山区期末）如果y＝，则x+y的值为（）A． B．1 C． D．07．（2023春•东港区校级月考）已知x，y为实数，且，则x﹣y＝（）A．﹣1 B．﹣7 C．﹣1或﹣7 D．1或﹣7三．二次根式的性质与化简（共4小题）8．（2023春•合川区期末）实数m对应的点在数轴上的位置如图，则化简的结果为（）A．2m﹣9 B．﹣5 C．5 D．9﹣2m9．（2023春•泰山区校级期中）把根号外的因式移入根号内，化简的结果是（）A． B． C． D．10．（2023•娄底二模）如果＝2﹣x，那么x取值范围是（）A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞211．（2023春•莘县期末）若2＜a＜3，则等于（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1四．最简二次根式（共2小题）12．（2022秋•平度市期末）下列各式：①，②，③，④，最简二次根式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．（2023春•南京期末）下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．五．二次根式的乘除法（共6小题）14．（2023春•仙游县期中）下列运算正确的是（）A．•＝ B．9×＝ C．×＝12 D．•＝615．（2021秋•古冶区期末）计算：（1）；（2）．16．（2023春•兴县期中）若成立，则（）A．x＜6 B．0≤x≤6 C．x≥0 D．0≤x＜617．（2023春•蓬莱区期中）已知＝a，＝b，则＝（）A． B． C． D．18．（2023春•密云区期末）计算：2．19．（2022春•湟中区校级月考）3×2．六．二次根式的加减法（共5小题）20．（2022秋•道外区期末）下列计算正确的是（）A． B． C． D．21．（2022秋•渠县校级期末）计算的结果是（）A． B．﹣1 C． D．22．（2022秋•南关区校级期末）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3，按此规定[7﹣]的值为．23．（2023•松北区三模）计算﹣3的结果是．24．（2023春•涪城区期中）已知实数m、n、p满足等式•＝+，则p＝．七．二次根式的混合运算（共3小题）25．（2023春•宿城区期末）计算：．26．（2023春•金川区校级期中）计算：（1）；（2）；（3）；（4）．27．（2023春•潘集区期末）计算：（1）；（2）．八．二次根式的化简求值（共4小题）28．（2023春•福清市期中）已知x＝+，y＝﹣，求x2+xy+y2的值．29．（2023春•泰安期中）（1）当时，求代数式的值．（2）当，，求代数式a2﹣3ab+b2的值．30．（2023春•虹口区期末）已知：a+b＝﹣2，ab＝1，求：的值．31．（2022秋•罗湖区校级期末）小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：∵a＝．∴a﹣2＝﹣．∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）计算：＝；（2）计算：+…+；（3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值．

【过关检测】一、单选题1．（2023春·浙江宁波·八年级宁波市第十五中学校考期中）若根式有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023春·山东临沂·八年级统考期末）下列二次根式为最简二次根式的是（

）A． B． C． D．3．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（）A．2 B．4 C．5 D．204．（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）下列各式计算正确的是（

）A． B．C． D．5．（2023春·安徽淮南·八年级统考期末）若，则p的取值范围为（

）A． B． C． D．6．（2023春·北京海淀·八年级中关村中学校考期中）下列二次根式中，与能合并的是（）A． B． C． D．7．（2023·上海·八年级假期作业）已知，则的值为（

）A． B．4 C． D．8．（2023春·四川德阳·八年级统考期末）若最简二次根式与能够合并，则a的值是（）A． B．0 C．1 D．29．（2023春·广东惠州·八年级统考期末）下列根式是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．10．（2023·全国·八年级假期作业）下列式子一定是二次根式是（）A． B．π C． D．二、填空题11．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是_________．12．（2023春·江西赣州·八年级统考期中）计算：_____．13．（2023春·福建龙岩·八年级统考期末）当时，二次根式的值为______．14．（2023春·河南新乡·八年级河南师大附中校考期末）计算：______．15．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）计算：________．16．（2023春·广东汕头·八年级统考期末）计算：___________．三、解答题17．（2023春·北京东城·八年级期末）已知，求代数式的值．18．（2023春·广东江门·八年级统考期末）如图，从正方形中载去两个面积分别为和的正方形和，求留下部分的总面积．

19．（2023·全国·八年级假期作业）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化，解：原式==（）．运用以上方法解决问题：(1)将分母有理化；(2)比较大小：（在横线上填“”、“”或“”）①__________；②__________（，且为整数）；(3)化简：．20．（2023春·北京西城·八年级校考期中）已知，，求的值．21．（2023春·广东惠州·八年级统考期末）计算：．22．（2023春·北京东城·八年级期末）计算：(1)；(2)．23．（2023春·福建福州·八年级统考期末）计算：．24．（2023春·广东汕头·八年级统考期末）计算：．25．（2023春·北京海淀·八年级中关村中学校考期中）计算：．26．（2023春·全国·八年级期中）像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，