第02讲 一定是直角三角形吗（解析版）

第02讲一定是直角三角形吗一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.二、如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.四、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；例1．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（

）A．三内角之比为1∶2∶3 B．三边长的平方之比为1∶2∶3C．三边长之比为3∶4∶5 D．三内角之比为3∶4∶5【答案】D【解析】【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．A、设三个内角的度数为，，根据三角形内角和公式，求得，所以各角分别为30°，60°，90°，故此三角形是直角三角形；B、三边符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；C、设三条边为，，，则有，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；D、设三个内角的度数为，，，根据三角形内角和公式，求得，所以各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；故选D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．例2．下列说法中正确的是（

）A．在中，.B．在中，.C．在中，，.D．、、是的三边，若，则是直角三角形.【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理以及勾股定理的逆定理逐项分析即可.A.因为不一定是直角三角形，故不正确；B.没说明哪个角是直角，故不正确；C.在中，，则，故不正确；D.符合勾股定理的逆定理，故正确.故选D.【点睛】本题考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，熟练掌握定理是解答本题的关键.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方;如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.例3．若，，分别是的三边，且，则为（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】将等式展开即可得到，问题得解.∵，∴，∴为直角三角形.故选A.【点睛】本题考查了整式化简以及勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的三边分别是a、b、c（c最大）满足a2＋b2＝c2，则三角形是直角三角形．例4．若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，则△ABC的形状是______．【答案】直角三角形或等腰三角形【解析】【分析】将a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0因式分解，然后分析不难得到三角形的形状．解答：解：∵a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，∴（a2＋b2）（a2−b2）−c2（a2−b2）＝0∴（a2−b2）（a2＋b2−c2）＝0∴a2−b2＝0或a2＋b2−c2＝0∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故答案为：直角三角形或等腰三角形．【点睛】此题主要考查学生对因式分解法，等腰三角形的判定及勾股定理的综合运用能力，关键是对等式进行合理的因式分解．例5．已知，以、、为三边长构成三角形，则此三角形的形状为______．【答案】直角三角形【解析】【分析】由题意，即，根据非负性可得，故，则此三角形的形状即可求解．解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴此三角形的形状为直角三角形．故答案为：直角三角形【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用，解题的关键是利用绝对值、根式、完全平方数的非负性求出a、b、c的值．例6．如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．A、对于△ABD，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△ADC也不是直角三角形，故不合题意；B、对于△ABC，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△ADC也不是直角三角形，故不合题意；C、对于△ABC，由于，则此三角形是直角三角形，同理△BDC也是直角三角形，故符合题意；D、对于△ABC，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△BDC也不是直角三角形，故不合题意．故选：C【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，其内容是：两条短边的平方和等于长边的平方，则此三角形是直角三角形，为便于利用平方差公式计算，常常计算两条长边的平方差即两条长边的和与这两条长边的差的积，若等于最短边的平方，则此三角形是直角三角形．例7．如图，△ABC中，AB＝13，AD＝6，AC＝5，D为BC边的中点．则S△ABC＝_____．【答案】30【解析】【分析】由“SAS”可证△CDE≌△BDA，可得CE＝AB＝13，S△ADB＝S△CDE．可得S△ACE＝S△CAB，由勾股定理的逆定理可求△ACE为直角三角形，即可求解．解：延长AD到E使AD＝DE＝6，连接CE，在△CDE和△BDA中，∴△CDE≌△BDA（SAS），∴CE＝AB＝13，S△ADB＝S△CDE．∴S△ACE＝S△CAB．在△ACE中，CE2＝169＝144+25＝CA2+AE2，∴△ACE为直角三角形．∴S△CAB＝S△ACE＝AE•CA＝×5×12＝30．故答案为：30．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.例8．如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=1，CD=2，则四边形ABCD的面积是____________．【答案】【解析】【分析】先根据勾股定理求出AC长，再由勾股定理逆定理证明是直角三角形，则四边形面积就是两个直角三角形面积的和．解：在中，，，在中，，，，则，∴是直角三角形，．故答案是：．【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握这两个定理的运用．例9．在中，、、的对边分别为、、，下列条件中，能判断是直角三角形的有（

）个．①，，；

②；③；④，，．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理可以判断①④；根据即可推出即可判断②；利用三角形内角和等于180度，即可求出∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，即可判断③．解：∵在中，、、的对边分别为、、，∴当，，时，，∴此时△ABC是直角三角形，故①正确；∵，∴即，∴此时△ABC是直角三角形，故②正确；∵，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，∴此时△ABC是直角三角形，故③正确；∵，，，∴，，，∴此时△ABC是直角三角形，故④正确；故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理的逆定理．例10．下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a（a＞0）；⑤m2﹣n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n）其中可以构成直角三角形的有（）A．5组 B．4组 C．3组 D．2组【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理知，当三角形的三边关系为：a2+b2=c2时，它是直角三角形，由此可解出本题．①中有92+122=152，可以构成直角三角形；②中有72+242=252，可以构成直角三角形；③中(32)2+(42)2≠(52)2，不构成直角三角形；④中有(3a)2+(4a)2=(5a)2，可以构成直角三角形；⑤中有(−n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2，可以构成直角三角形；所以可以构成4组直角三角形.故选B.【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用，只要计算出两数的平方和等于第三个数的平方即可．例11．已知：k＞1，b=2k，a+c=2k2，ac=k4-1，则以a、b、c为边的三角形（）A．一定是等边三角形B．一定是等腰三角形C．一定是直角三角形D．形状无法确定【答案】C【解析】【分析】根据根与系数的关系得出a，b的值，进而得出a2-c2=4k2=b2，即可得出答案．解：∵a+c=2k2，ac=k4-1，∴a，c可以认为是x2-（2k2）x+k4-1=0的两根，解得：x1=k2-1，x2=k2+1，∵b=2k，∴b2=4k2，不妨令a=k2+1，c=k2-1于是a2-c2=4k2=b2，即a2=b2+c2，故为直角三角形．故选：C．【点睛】此题主要考查了根与系数的关系以及勾股定理的逆定理，根据已知得出a，c的值是解题关键．例12．如图，在单位为1的正方形网格图中有a，b，c，d四条线段，从中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】【分析】根据图形和勾股定理可以求得a，b，c，d四条线段的长，然后根据勾股定理的逆定理，即可得到构成直角三角形的个数．解：由图可得，线段a，b，c，d的长度分别为：，，，，∴，∴从a，b，c，d四条线段中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为2，故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和勾股定理的逆定理解答．一、单选题1．下列四组数中，是勾股数的是（

）A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．3，4，5 D．，，【答案】C【解析】【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足，称为勾股数．由此判定即可．【详解】解：A、能构成直角三角形，但不是整数，不能构成勾股数，故选项错误；B、不能构成勾股数，故选项错误；C、能构成勾股数，故选项正确；D、又不是整数，不能构成勾股数，故选项错误．故选：C．【点睛】本题考查勾股数，勾股定理的逆定理，掌握理解勾股数的含义是解题的关键．2．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由勾股定理的逆定理逐一分析各选项，从而可得答案．【详解】解：故不符合题意；故不符合题意；故符合题意；故不符合题意；故选：【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握“利用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形．”是解题的关键3．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB＝，BC＝，DC＝4，AD=5，则四边形ABCD的面积是（

）A． B． C． D．12【答案】B【解析】【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形，再根据直角三角形的面积计算公式求解即可．【详解】连接AC，∵∠ABC=90°，AB＝，BC＝∴在△ACD中，DC＝4，AD=5，∵∴∠ACD=90°∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=故选：B【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，判定△ACD是直角三角形是解答的关键．4．已知ΔABC的三边分别长为a，b，c，且满足+|b-15|+-16c+64=0，则ΔABC是（

）A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形【答案】A【解析】【分析】由绝对值和偶次方的非负性求出a=17，b=15，c=8，由82+152=172，得出△ABC是以a为斜边的直角三角形即可．【详解】∵(a-17)2+|b-15|+c2-16c+64=0，∴(a-17)2+|b-15|+(c-8)2=0，∴a-17=0，b-15=0，c-8=0，∴a=17，b=15，c=8，∵82+152=172，∴△ABC是以a为斜边的直角三角形；故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、绝对值和偶次方的非负性质；熟练掌握绝对值和偶次方的非负性，由勾股定理的逆定理得出结论是关键．5．下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③，，（为正整数）；④，，．其中能组成直角三角形三边长的是（

）．A．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定即可．【详解】解：①72+82=113≠92，故不能组成直角三角形；②92+122=225=152，故能组成直角三角形；③(5m)2+(12m)2=169m2=(13m)2，故能组成直角三角形；④(a2)2+(2a2)2=5a4≠(3a2)2,故不能组成直角三角形．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．在应用该定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．6．a、b、c为△ABC三边，不是直角三角形的是（

）A．a2=c2﹣b2 B．a=6，b=10，c=8C．∠A：∠B：∠C=3：4：5 D．a=8k，b=17k，c=15k【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理判断A、B、D选项，用直角三角形各角之间的关系判断C选项．【详解】解：A、∵a2＝c2−b2，∴a2＋b2＝c2，故是直角三角形，不符合题意；B、∵62＋82＝102，∴a2＋c2＝b2，故是直角三角形，不符合题意；C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，∴3x＋4x＋5x＝180°，解得，x＝15°，∴5x＝5×15°＝75°＜90°，故不是直角三角形，符合题意；D、∵(8k)2＋(15k)2＝(17k)2，∴a2＋c2＝b2，故是直角三角形，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，解题的关键是掌握若已知三角形的三边判定其形状时要根据勾股定理判断；若已知三角形各角之间的关系，应根据三角形内角和定理求出最大角的度数或求出两较小角的和再进行判断．7．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CD、GH D．AB、CD、EF【答案】B【解析】【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．【详解】解：设小正方形的边长为1，则AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，EF2=12+22=5，GH2=22+32=13．因为AB2+EF2=GH2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用；解题的关键是解出AB、CD、EF、GH各自的长度.8．中，，的对边分别是，，，下列说法错误的是（

）A．如果，则是直角三角形B．如果，则是直角三角形，且C．如果，则是直角三角形D．如果，则是直角三角形【答案】B【解析】【分析】直角三角形的判定方法有：①求得一个角为90°，②利用勾股定理的逆定理．【详解】A选项：根据三角形内角和定理，可求出为度，故A正确；B选项：解得应为度，故B错误；C选项：设三角分别为，，，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：度，度，度，则是直角三角形，故C正确；D选项：化简后有，根据勾股定理，则是直角三角形，故D正确；故选B．【点睛】考查了直角三角形的判定的知识，解题的关键是了解直角三角形的判定方法，难度不大．9．如图，是线段上的两点，．以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连结，则一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】B【解析】【分析】先根据题意确定AC、BC、AB的长，然后运用勾股定理逆定理判定即可．【详解】解：由题意得：AC=AN=2AM=8,BC=MB=MN+NB=4+2=6,AB=AM+MN+NB=10∴AC2=64,BC2=36,AB2=100,∴AC2+BC2=AB2∴一定是直角三角形．故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，根据题意确定AC、BC、AB的长是解答本题的关键．10．给出下列几组数：①4,5,6；②8，15，16;③n2－1，2n，n2＋1；④m2－n2，2mn，m2＋n2（m>n>0）．其中—定能组成直角三角形三边长的是（

）．A．①② B．③④ C．①③④ D．④【答案】D【解析】【详解】①42+52≠62，∴不能组成直角三角形；②82+152≠162，∴不能组成直角三角形；③当n=1时，三边长为：0、2、2，不能组成直角三角形；④(m2－n2)2+(2mn)2=(m2＋n2)2,且m>n>0，∴能组成直角三角形.故选D.【点睛】本题关键在于勾股定理逆定理的运用．二、填空题11．勾股定理的逆定理的具体内容是_______________________．【答案】在一个三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理求解即可．【详解】解：勾股定理的逆定理的内容为：在一个三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．故答案为：在一个三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理逆定理的定义．12．的三边为a、b、c，若满足，则_______；若满足，则是_______角；若满足，则是_______角．【答案】

钝

锐【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理：若三角形三边满足，则这个三角形是直角三角形，进行求解即可．【详解】解：若，则∠B=90°；若，则∠B是钝角；若，则∠B是锐角，故答案为：∠B，钝，锐．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．13．满足下列条件的△ABC中，能构成直角三角形的有_________个．①a：b：c=7:25:24；②∠A=∠B-∠C；③∠A:∠B:∠C=5:12:13；④a=1.2b=1.5c=0.9【答案】2【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．【详解】①，∴能构成直角三角形；②∵∠A=∠B-∠C，，，∴能构成直角三角形；③∵∠A:∠B:∠C=5:12:13，，，∴不能构成直角三角形；④，，，∴不能构成直角三角形，∴能构成直角三角形的是①②，故答案为：2．【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．14．若在△ABC中，a＝，b＝2mn，c＝，则△ABC是______三角形【答案】直角【解析】【分析】根据题意可得出a、b、c的表达式，然后分别平方可得出c2=a2+b2，从而利用勾股定理的逆定理即可作出证明．【详解】解：∵在△ABC中，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，∴a2=m4-2m2n2+n4，b2=4m2n2，c2=m4+2m2n2+n4，∴c2=a2+b2，∴△ABC是直角三角形．故答案为：直角．【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．15．若三角形的三边长是6，8，，当的值为________时，该三角形是直角三角形.【答案】100或28【解析】【分析】三角形是直角三角形，这里给出三边的长，只要用两小边的平方和等于最长边的平方即可求解，所以要分情况讨论，当最长边为8时，和最长边不是8时，再根据勾股定理进行计算.【详解】①最长边为8时，82-62=，则=28；②最长边不是8时，82+62=，则=100.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是分情况讨论最长边.16．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为_________．【答案】24【解析】【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△BCD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．【详解】解：连接BD，∵∠DAB＝90°，AB＝3，AD＝4，∴BD5，∵52+122＝132，∴∠DBC＝90°，∴四边形ABCD的面积5×123×4＝24．故答案为：24．【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△BCD的形状是解答此题的关键．17．若一个三角形的三边的比为3：4：5，则这个三角形的三边上的高之比为__________．【答案】20：15：12．【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理得到这个三角形是直角三角形，根据三角形的面积公式求出斜边上的高，然后计算即可．【详解】解：设三角形的三边分别为3x、4x、5x，∵（3x）2＋（4x）2＝25x2＝（5x）2，∴这个三角形是直角三角形，设斜边上的高为h，则×3x×4x＝×5x×h，解得，h＝，则这个三角形的三边上的高之比＝4x：3x：＝20：15：12，故答案为20：15：12．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形的面积计算，如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．18．如图，在中，是边中点，，，则的长是_____________．【答案】【解析】【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，结合D是中点证得△ADC≌△EDB，进而利用勾股定理逆定理可证得∠E＝90°，再利用勾股定理求得BD长进而转化为BC长即可．【详解】解：如图，延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，连接BE，∵是边中点，∴BD＝CD，又∵DE＝AD，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝6，又∵AB＝10，∴AE2＋BE2＝AB2，∴∠E＝90°，∴在Rt△BED中，，∴BC＝2BD＝，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解决本题的关键．三、解答题19．下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由．（1）9，12，15；（2）12，18，22；（3）12，35，36；（4）15，36，39．【答案】（1）（4）可以作为直角三角形的三边长，见解析【解析】【分析】根据如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．【详解】解：（1），能组成直角三角形；（2），不能组成直角三角形；（3），不能组成直角三角形；（4），能组成直角三角形．所以第（1），（4）组数据能组成直角三角形．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．20．如图，已知在中，于点D，．（1）求的长；（2）求证：是直角三角形．【答案】（1）12、25；（2）见解析【解析】【分析】（1）在和中利用勾股定理求得、的长，根据即可求解；（2）利用勾股定理的逆定理即可判断．【详解】解：（1）∵于点D，∴和是直角三角形，在中，，∴．在中，，∴．∴；（2）证明：∵，∴，，∴是直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理的内容是关键．21．如图，在锐角三角形ABC中，AB=13，AC=15，点D是BC边上一点，BD=5，AD=12．（1）求证：△ADB是直角三角形．（2）求BC的长度．【答案】（1）详见解析；（2）BC长为14．【解析】【分析】（1）先证明较短两边平方和等于最长边的平方，再用勾股定理逆定理证明△ADB是直角三角形．（2）先证明AD⊥BD，再用勾股定理算出CD长，最后用CD+BD就得BC长．【详解】（1）证明：在△ABD中，∵BD=5，AD=12，AB=13∴BD²=25，AD²=144，AB²=169.25+144=169∴BD²+AD²=AB²

∴△ABD是直角三角形.

（2）解：∵△ABD是直角三角形.．∴∠ADB=90°∴∠ADC=90°

在Rt△ADC中，CD=

∴BC=BD+CD=5+9=14．【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理．用勾股定理逆定理判定垂直是非常重要的方法．22．已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=1，CD=，AD=1，且∠B=90°．试求：（1）四边形ABCD的面积．（结果保留根号）（2）∠BAD的度数．【答案】（1）；（2）135°【解析】【分析】（1）连接，由勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再根据即可得出结论；（2）根据等腰直角三角形的性质可得∠BAC，加上∠CAD即可．【详解】解：（1）连接，，，，又，，，即，，．（2），，．【点睛】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．23．（1）如图，在中，，D为上一点，，在上截取，连接并延长交于点E．（1）请判断的形状，并说明理由；（2）求证：．【答案】（1）等腰直角三角形；见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）借助直观可先猜想的形状，然后用勾股定理的逆定理判定．（2）利用SAS即可判定．【详解】解：（1）解：是等腰直角三角形．理由如下：∵，∴．∴是直角三角形，（勾股定理的逆定理）．∵，∴是等腰直角三角形．（2）证明：由（1）可得．∵，∴．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理．（1）中掌握勾股定理的逆定理是解题关键；（2）中熟练掌握全等三角形的几种判定定理是解题关键．24．