第02讲 一定是直角三角形吗（原卷版）

第02讲一定是直角三角形吗一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.二、如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.四、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；例1．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（

）A．三内角之比为1∶2∶3 B．三边长的平方之比为1∶2∶3C．三边长之比为3∶4∶5 D．三内角之比为3∶4∶5例2．下列说法中正确的是（

）A．在中，.B．在中，.C．在中，，.D．、、是的三边，若，则是直角三角形.例3．若，，分别是的三边，且，则为（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形例4．若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，则△ABC的形状是______．例5．已知，以、、为三边长构成三角形，则此三角形的形状为______．例6．如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（

）A． B．C． D．例7．如图，△ABC中，AB＝13，AD＝6，AC＝5，D为BC边的中点．则S△ABC＝_____．例8．如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=1，CD=2，则四边形ABCD的面积是____________．例9．在中，、、的对边分别为、、，下列条件中，能判断是直角三角形的有（

）个．①，，；

②；③；④，，．A．1 B．2 C．3 D．4例10．下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a（a＞0）；⑤m2﹣n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n）其中可以构成直角三角形的有（）A．5组 B．4组 C．3组 D．2组例11．已知：k＞1，b=2k，a+c=2k2，ac=k4-1，则以a、b、c为边的三角形（）A．一定是等边三角形B．一定是等腰三角形C．一定是直角三角形D．形状无法确定例12．如图，在单位为1的正方形网格图中有a，b，c，d四条线段，从中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个一、单选题1．下列四组数中，是勾股数的是（

）A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．3，4，5 D．，，2．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（）A． B．C． D．3．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB＝，BC＝，DC＝4，AD=5，则四边形ABCD的面积是（

）A． B． C． D．124．已知ΔABC的三边分别长为a，b，c，且满足+|b-15|+-16c+64=0，则ΔABC是（

）A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形5．下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③，，（为正整数）；④，，．其中能组成直角三角形三边长的是（

）．A．①② B．②③ C．①③ D．③④6．a、b、c为△ABC三边，不是直角三角形的是（

）A．a2=c2﹣b2 B．a=6，b=10，c=8C．∠A：∠B：∠C=3：4：5 D．a=8k，b=17k，c=15k7．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CD、GH D．AB、CD、EF8．中，，的对边分别是，，，下列说法错误的是（

）A．如果，则是直角三角形B．如果，则是直角三角形，且C．如果，则是直角三角形D．如果，则是直角三角形9．如图，是线段上的两点，．以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连结，则一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形10．给出下列几组数：①4,5,6；②8，15，16;③n2－1，2n，n2＋1；④m2－n2，2mn，m2＋n2（m>n>0）．其中—定能组成直角三角形三边长的是（

）．A．①② B．③④ C．①③④ D．④二、填空题11．勾股定理的逆定理的具体内容是_______________________．12．的三边为a、b、c，若满足，则_______；若满足，则是_______角；若满足，则是_______角．13．满足下列条件的△ABC中，能构成直角三角形的有_________个．①a：b：c=7:25:24；②∠A=∠B-∠C；③∠A:∠B:∠C=5:12:13；④a=1.2b=1.5c=0.914．若在△ABC中，a＝，b＝2mn，c＝，则△ABC是______三角形15．若三角形的三边长是6，8，，当的值为________时，该三角形是直角三角形.16．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为_________．17．若一个三角形的三边的比为3：4：5，则这个三角形的三边上的高之比为__________．18．如图，在中，是边中点，，，则的长是_____________．三、解答题19．下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由．（1）9，12，15；（2）12，18，22；（3）12，35，36；（4）15，36，39．20．如图，已知在中，于点D，．（1）求的长；（2）求证：是直角三角形．21．如图，在锐角三角形ABC中，AB=13，AC=15，点D是BC边上一点，BD=5，AD=12．（1）求证：△ADB是直角三角形．（2）求BC的长度．22．已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=1，CD=，AD=1，且∠B=90°．试求：（1）四边形ABCD的面积．（结果保留根号）（2）∠BAD的度数．23．（1）如图，在中，，D为上一点，，在上截取，连接并延长交于点E．（1）请判断的形状，并说明理由；（2）求证：．24．若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；（2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，