第03讲 二次根式（解析版）

第三讲二次根式目录TOC\o"1-1"\h\u必备知识点 1考点一二次根式有无意义 2考点二二次根式化简 2考点三二次根式的乘除法 4考点四二次根式的混合运算 5知识导航知识导航必备知识点1.二次根式一般地，形如（a≥0）的\t"/item/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%A0%B9%E5%BC%8F/_blank"代数式叫做二次根式，其中，a

叫做\t"/item/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%A0%B9%E5%BC%8F/_blank"被开方数，“”称为二次根式。【注意】（1）在二次根式中，被开方数a可以是单项式、多项式、也可以是分式。（2）a≥0是为二次根式的前提条件（3）形如（n≥0）的式子也是二次根式2.二次根式的性质（1）≥0（a≥0）双重非负性（2）（3）【注意】与的区别与联系（4）积的算数平方根的性质：（a≥0，b≥0）（5）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）3.最简二次根式（1）被开方数中不含字母．即根号内无分母，分母内无根号．（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．即开方开得尽．我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式．4.同类二次根式如果几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫作同类二次根式．【注意】（1）前提条件：二次根式是最简二次根式．（2）被开方数相同．5.二次根式混合运算先算乘方（或开方），再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算考点一二次根式有无意义1．x取何值时，下列各式在实数范围内有意义．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【解答】解：（1）∵x+2≥0，∴x≥﹣6时，有意义；（2）∵x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，又∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1＞0，∴x取任意实数时都有意义；（3）∵x+1≥0，且x﹣2≠0，∴x≥﹣1且x≠2，即x≥﹣1且x≠2时有意义；（4）∵x+5≥0且3﹣x＞0，∴x≥﹣5且x＜3，∴﹣5≤x＜3时，有意义；（5）∵x2≥0，∴x2+2＞0时，即x取任意实数时都有意义．2．x为何值时，下列各式有意义？（1）；（2）；（3）+；（4）+．【解答】解：（1）由题意得：3﹣5x≥0，解得：x≤；（2）由题意得：x≥0，且2x﹣1≠0，解得：x≥0且x≠；（3）由题意得：，解得：x＝1；（4）由题意得：，解得：2≤x＜5．考点二二次根式化简3．化简：（1）（2）（3）（4）．【解答】解：（1）＝×＝12×13＝156；（2）＝﹣×5＝﹣；（3）＝﹣×＝﹣4；（4）＝3|m|．4．化简：（1）；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1）原式＝＝12×5＝60；（2）原式＝＝0.9x2|y|3；（3）原式＝＝＝2×5＝10；（4）原式＝＝＝＝3×2＝6．5．化简．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（a≥0，b≥0）【解答】解：（1）＝＝；（2）＝＝；（3）＝＝；（4）＝＝；（5）＝＝＝；（6）（a≥0，b≥0）＝＝||＝．6．化简：（1）；（2）；（3）；（4）（x＞0，y＞0）；（5）；（6）（a＞0，b＞0，c＞0）；（7）（x＞2y，y＞0）；（8）（a＞2b＞0）．【解答】解：（1）原式＝＝＝2；（2）原式＝＝；（3）原式＝＝；（4）∵x＞0，y＞0，∴原式＝；（5）原式＝＝；（6）∵a＞0，b＞0，c＞0，∴原式＝；（7）∵x＞2y，y＞0，∴原式＝＝；（8）∵a＞2b＞0，∴原式＝＝•＝﹣．考点三二次根式的乘除法7．计算：（1）﹣•；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1）原式＝﹣•＝﹣••＝﹣•4×6＝﹣24；（2）原式＝•＝•＝×6＝2；（3）原式＝2×（﹣）×＝﹣＝﹣4；（4）原式＝x＝10x．8．计算：（1）（2）（3）（4）2÷×．【解答】解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝＝＝|x|；（3）原式＝＝＝；（4）原式＝4÷×＝×＝．9．计算：【解答】解：由原式可判断x＞0，y＞0，∴原式＝＝＝．10．计算；（1）（2）．【解答】解：（1）原式＝＝3；（2）原式＝＝＝．11．计算题：（1）9÷3×；（2）•b÷．【解答】解：（1）原式＝9×××＝18；（2）原式＝a2•b•＝．考点四二次根式的混合运算12．计算下列各题：（1）﹣5+；（2）﹣3；（3）；（4）（1﹣）0+|2﹣|+（﹣1）2020﹣×．【解答】解：（1）原式＝2﹣+＝2；（2）原式＝+﹣3＝+2﹣3＝0；（3）原式＝5﹣6＝﹣1；（4）原式＝1+﹣2+1﹣＝0．13．计算题：（1）•（﹣）﹣2﹣（2﹣）0+|﹣|+；（2）﹣﹣+（﹣2）0+；（3）（+1）（﹣1）+（﹣2）2+（2﹣）÷．【解答】解：（1）原式＝×4﹣1+4++1＝2﹣1+4++1＝7；（2）原式＝3﹣﹣1﹣+1+﹣1＝﹣1；（3）原式＝2﹣1+3﹣4+4+2﹣＝10﹣5．14．（1）（）2﹣|﹣2|﹣；（2）（）×；（3）；（4）（3+）（3﹣）﹣（）0+（﹣）﹣2．【解答】解：（1）原式＝5﹣2﹣3＝0；（2）原式＝（﹣）×2＝6﹣6；（3）原式＝﹣﹣2＝4﹣﹣2＝4﹣3；（4）原式＝9﹣5﹣1+9＝12．15．计算：（1）+﹣．（2）（﹣）÷．（3）﹣12+|﹣2|﹣（3﹣）0．（4）（1+﹣）（