第14讲 一次函数函数中的行程类问题（解析版）

第十四讲一次函数中的行程类问题知识导航知识导航必备知识点一次函数行程图像问题特别注意以下事项：1、注意横轴与纵轴所代表的含义2、各拐点的含义3、图像交点的含义考点一一次函数的实际应用1．周末，小明去图书馆看书，爸爸回家后发现未带钥匙，于是打电话让小明回家，同时，爸爸骑车沿同一路线去接小明，小明见到爸爸后继续以原速度步行回家，爸爸拿到钥匙后立即以原速度返回．已知两人和家的距离y（米）与各自所用的时间x（分钟）之间的关系如图所示．（1）家和图书馆的距离为3000米，n＝24；（2）求出点A的坐标，并写出点A所表达的实际意义；（3）求出爸爸离家的路程y关于时间x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）爸爸到家时，小明离家还有多远？【解答】解：（1）由图象可知：家和图书馆的距离为3000米，n＝12×2＝24，故答案为：3000，24；（2）小明的速度为：＝100（米/分钟），∴m＝3000﹣12×100＝1800，∴点A的坐标为（12，1800），点A所表达的实际意义是出发12分钟时，小明和爸爸在离家1800米处相遇；（3）∵A（12，180），∴爸爸的速度是1800÷12＝150（米/分钟），∴当0≤x≤12时，y＝150x，当12＜x≤24时，y＝1800﹣150（x﹣12）＝3600﹣150x，∴y＝；（4）爸爸到家时，小明离家还有（30﹣24）×100＝600（米），答：爸爸到家时，小明离家还有600米．2．某景区的三个景点A，B，C在同一线路上．甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C；乙先乘景区观光车到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C，甲、乙两人同时到达景点C．甲、乙两人距景点A的路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数图象如图所示：（1）甲步行的速度为60米/分，乙步行时的速度为80米/分；（2）求乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式；（3）问甲出发多长时间与乙在途中相遇，请直接写出结果．【解答】解：（1）甲步行的速度为：5400÷90＝60（米/分）；乙步行的速度为：（5400﹣3000）÷（90﹣60）＝80（米/分）．故答案为：60，80；（2）解：根据题意，设乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（20，0），（30，3000）代入得：解得：．∴乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式为y＝300x﹣6000（20≤x≤30）（3）设甲的函数解析式为：y＝kx，将（90，5400）代入得k＝60，∴y＝60x．由得x＝25，即甲出发25分钟与乙第一次相遇；在y＝60x中，令y＝3000得：x＝50，此时甲与乙第二次相遇．甲出发25分钟和50分钟与乙两次在途中相遇．3．甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶．甲同学到达山顶休息1小时后再沿原路下山，他们离山脚的距离S（千米）随时间t（小时）变化的图象如图所示，根据图象中的有关信息回答下列问题：（1）甲同学上山过程中S甲与t的函数解析式为S甲＝t；乙同学上山过程中S乙与t的函数解析式为S乙＝t；点D的坐标为（9，4）；（2）若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山顶的距离为0.75千米；①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式；②相遇后甲、乙各自继续下山和上山，求当乙到达山顶时，甲与乙的距离是多少千米．【解答】解：（1）设甲、乙两同学登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式分别为S甲＝k1t，S乙＝k2t，由图象得2＝4k1，2＝6k2，∴k1＝，k2＝，∴解析式分别为S甲＝t，S乙＝t；当S甲＝4时，t＝8，∴甲到达山顶时间是8小时，而甲同学到达山顶休息1小时后再沿原路下山，∴D（9，4），故答案为：S甲＝t，S乙＝t，（9，4）；（2）①当y＝4﹣0.75＝时，t＝，解得t＝，∴点F（，），设甲同学下山过程中S与t的函数解析式为s＝kt+b，将D（9，4）和F（，）代入得：则：，解答，∴甲同学下山过程中S与t的函数解析式为S＝﹣t+13；②乙到山顶所用时间为：4÷＝12（小时），当t＝12时，S＝﹣12+13＝1，当乙到山顶时，甲离乙的距离是：4﹣1＝3（千米）．4．已知A，B两地相距的路程为12km，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线OCD和线段EF，分别表示甲、乙两人与A地的路程y甲、y乙与他们所行时间x（h）之间的函数关系，且OC与EF相交于点P．（1）求y乙与x的函数关系式以及两人相遇地点P与A地的路程；（2）求线段OC对应的y甲与x的函数关系式；（3）求经过多少h，甲、乙两人相距的路程为6km．【解答】解：（1）设y乙与x的函数关系式是y乙＝kx+b，∵点E（0，12），F（2，0）在函数y乙＝kx+b的图象上，∴，解得，即y乙与x的函数关系式是y乙＝﹣6x+12，当x＝0.5时，y乙＝﹣6×0.5+12＝9，即两人相遇地点与A地的距离是9km；（2）设线段OC对应的y甲与x的函数关系式是y甲＝ax，∵点（0.5，9）在函数y甲＝ax的图象上，∴9＝0.5a，解得a＝18，即线段OC对应的y甲与x的函数关系式是y甲＝18x；（3）①令|18x﹣（﹣6x+12）|＝6，解得，x1＝（甲h已到B地，故不合题意，舍去），x2＝，②当甲到达B地时，乙离B地6千米所走时间为：6÷（12÷2）＝1（小时），综上所述，经过小时或1小时时，甲、乙两人相距6km．5．如图，一辆货车和一辆轿车先后从甲地开往乙地，线段OA表示货车离开甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离开甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：（1）甲、乙两地相距300km，轿车比货车晚出发1.2h；（2）求线段CD所在直线的函数表达式；（3）货车出发多长时间两车相遇？此时两车距离甲地多远？【解答】解：（1）由图象可得：甲、乙两地相距300km，轿车比货车晚出发1.2小时；（2）设线段CD所在直线的函数表达式为：y＝kx+b，由题意可得：解得：∴线段CD所在直线的函数表达式为：y＝110x﹣195；（3）设OA解析式为：y＝mx，由题意可得：300＝5m，∴m＝60，∴OA解析式为：y＝60x，∴∴答：货车出发3.9小时两车相遇，此时两车距离甲地234千米．6．为精准扶贫，某农科所为对接的贫困村庄提供了一种新研发的瓜苗．这种瓜苗先在农科所的温室中生长10天，大约长到20cm，然后移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当这种瓜苗长到大约110cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后，继续生长大约多少天，开始开花结果？【解答】解：（1）观察图象可得，在0到10天，y是x的正比例函数．设y＝mx（m≠0），且经过点（10，20）；即20＝10m，解得m＝2，所以y＝2x．在10到60天，y是x的一次函数，设y＝nx+b（n≠0），且经过点（10，20）和（60，170）．根据题意，得解方程组，得所以y＝3x﹣10．所以，当0＜x≤10时，y＝2x；当10＜x≤60，y＝3x﹣10．（2）当y＝110时，3x﹣10＝110，解得x＝40，40﹣10＝30（天）．所以，这种瓜苗移至大棚后，继续生长大约30天，开始开花结果．7．某小区有两段长度相等的道路需硬化，现分别由甲、乙两个工程队同时开始施工，如图的线段和折线是两队前6天硬化的道路长y甲、y乙（米）与施工时间x（天）之间的函数图象．根据图象解答下列问题：（1）直接写出y甲、y乙（米）与x（天）之间的函数关系式：①当0＜x≤6时，y甲＝100x；②当0＜x≤2时，y乙＝150x；当2＜x≤6时，y乙＝50x+200；（2）求图中点M的坐标，并说明M的横、纵坐标表示的实际意义；（3）施工过程中，甲队的施工速度始终不变，而乙队在施工6天后，每天的施工速度提高到120米/天，预计两队将同时完成任务．两队还需要多少天完成任务？【解答】解：（1）设y甲＝kx，点（6，600）代入得到：k＝100，则y甲＝100x，