八年级数学上册提公因式法分解因式核心素养导向教案

八年级数学上册提公因式法分解因式核心素养导向教案

一、教学内容分析

（一）教材地位与作用

本课选自人教版八年级数学上册第十四章“整式的乘法与因式分解”第三节“因式分解”第一课时。因式分解是整式乘法的逆向变形，是代数领域从运算转向结构认知的关键转折点。提公因式法作为因式分解的奠基性方法，直接承接七年级所学的乘法分配律与整式乘法，同时为后续的公式法、十字相乘法、分组分解法以及分式运算、一元二次方程求解提供逻辑起点与操作工具。教材编排在此处通过类比整数分解引入因式分解概念，再以单项式乘多项式的逆用引出提公因式法，体现数学知识发生发展的自然脉络。【非常重要】

（二）知识结构体系

本课知识内核包括三个层级：第一层级是因式分解的本质定义——将一个多项式化为几个整式乘积的形式，与整式乘法构成互逆变换；第二层级是公因式的概念界定——多项式各项都含有的相同因式，其确定规则涵盖系数取最大公因数、字母取相同字母且指数取最低次；第三层级是提公因式的算法程序——将公因式提取为乘积的一个因式，剩余部分合并为另一因式。该知识链纵向贯穿初中代数核心，横向与数系扩充中的因数分解、小学乘法分配律形成认知锚点。【重要】【高频考点】

（三）核心素养映射

本课承载的数学核心素养主要表现为：数学抽象——从具体多项式中归纳公因式的共同特征，形成符号化表达；逻辑推理——依据乘法分配律逆用推导提公因式的合法性；数学运算——精准提取公因式并进行整式乘法验证；直观想象——通过面积模型可视化公因式提取的几何意义；数学建模——将实际问题中的数量关系转化为提公因式模型。【非常重要】

二、学情分析

（一）认知起点

八年级学生已熟练掌握整式加减、单项式乘多项式、多项式乘多项式，对乘法分配律的正向应用具备自动化水平。同时，学生在小学阶段经历过将整数分解质因数，七年级学习过提取公因数简化计算，这些经验为正迁移至提公因式法提供了认知支架。然而，学生习惯于“运算”而非“变形”，对恒等变换的逆向思维尚处萌芽阶段，将多项式写成乘积形式易产生心理不适。【基础】

（二）学习障碍

本课主要存在三处认知断层。其一，因式分解与整式乘法的互逆关系难以瞬时建立，学生常将两者混淆，表现为对因式分解结果的质疑；其二，公因式的完整提取极易遗漏，尤其当系数为分数、负号、字母指数含差异或多项式项数超过三项时，提取不全现象频发；其三，提取公因式后括号内多项式项数的确定，尤其是首项为负或公因式即为某一项时，符号错误与项数错误成为顽固性错误。【难点】【易错点】

（三）个体差异预估

班级学生计算能力分化明显，前20%学生能快速迁移乘法分配律并尝试探究公式法，后15%学生需反复操练基本步骤。教学中需设置弹性任务：基础层聚焦公因式识别与单步提取，发展层挑战含分数系数、负号变换及拆项重组，拓展层渗透因式分解在数论与图形面积中的综合应用。【重要】

三、教学目标设计

（一）知识与技能

1.准确说出因式分解的定义，辨析因式分解与整式乘法的异同。【基础】

2.理解公因式的意义，能熟练确定多项式中各项的公因式。【非常重要】

3.掌握提公因式法的一般步骤，能对系数为整数、单项式公因式的多项式进行完整分解。【重要】

4.能用提公因式法解决简单的代数式求值、数字计算及几何图形面积问题。【高频考点】

（二）过程与方法

1.经历从乘法分配律逆用到提公因式法的抽象过程，发展逆向思维与符号意识。【重要】

2.通过对比、归纳，形成确定公因式的程序性知识，体验算法程序化思想。【基础】

3.在小组合作中辨析典型错例，提升批判性思维与自我监控能力。

（三）情感态度与价值观

1.感受数学知识之间的内在和谐，体会恒等变形的对称美与简洁美。

2.在克服提取公因式困难的过程中形成严谨求实的科学态度。

3.通过因式分解在解决实际问题中的应用，增强数学应用意识。

四、教学重难点

（一）教学重点

1.公因式的定义及确定方法。【非常重要】【高频考点】

2.提公因式法的算法步骤及其依据。【重要】【热点】

（二）教学难点

1.多项式中隐含公因式的识别，尤其是系数为分数、公因式为多项式整体时。【难点】

2.提取公因式后括号内多项式项数及符号的精准处理。【难点】【高频错点】

3.因式分解结果必须分解到不能再分解为止的完整性意识。【非常重要】

五、教学方法与学法指导

（一）教法设计

采用“大单元逆向教学设计”理念，以终为始，从因式分解的整体价值切入。核心教学策略为“问题链驱动——样例对比——错例诊疗”。通过核心问题“如何将多项式转化为乘积形式”引发认知冲突，以两组互逆算式对比揭示概念本质，以典型错误为学习资源开展诊断性教学。全程融入元认知提示，引导学生不断追问“公因式提尽了吗”“结果还能再分吗”。【非常重要】

（二）学法指导

1.原型启发策略：调动乘法分配律正向经验，通过“逆运算”类比实现知识迁移。

2.可视化策略：利用矩形面积分割图将抽象公因式具象化。

3.程序化策略：将提公因式凝练为“一找二提三整四验”四字口诀，降低认知负荷。

4.自我提问策略：提供检核清单——系数最大公约数？相同字母？最低指数？项数对吗？符号对吗？【重要】

六、教学资源与环境

（一）物理环境

多媒体交互式白板、实物展台、磁性黑板贴（用于展示学生典型作业）。

（二）数字化资源

GeoGebra动态演示课件（展示面积模型下公因式提取的几何意义）、微课《寻找公因式侦探所》、智慧课堂即时反馈系统。

（三）学具准备

学生每人一张A4学习单（含问题情境、三层练习题组、自我评价量表）、红黑双色笔（黑笔作答，红笔自批与改错）。

七、教学实施过程

（一）单元导入，价值追问——5分钟

1.创设大情境

教师投影展示一组实际问题：

①在一块长为a

+

b

a+b

a+b、宽为c

c

c的长方形土地上种植两种作物，如何列式表示总面积？（学生答：c

(

a

+

b

)

c(a+b)

c(a+b)）

②若将土地分割为两个小长方形，面积分别为a

c

ac

ac与b

c

bc

bc，总面积又可如何表示？（学生答：a

c

+

b

c

ac+bc

ac+bc）

教师追问：同一个数量，两种形式——c

(

a

+

b

)

c(a+b)

c(a+b)与a

c

+

b

c

ac+bc

ac+bc。这揭示了一个重要事实：整式乘法与多项式加法可以互相转化。今天起，我们将专门研究如何将a

c

+

b

c

ac+bc

ac+bc这种“和的形式”转化为c

(

a

+

b

)

c(a+b)

c(a+b)这种“积的形式”，这就是因式分解。【重要】

2.揭示课题

板书课题“提公因式法分解因式”，并明确本课在整个第十四章乃至初中代数的“奠基者”地位。【非常重要】

（二）概念建构，逆向建模——8分钟

1.对比感知因式分解

教师呈现两组算式：

第一组（整式乘法）：

3

x

(

x

+

2

)

=

3

x

2

+

6

x

3x(x+2)=3x^2+6x

3x(x+2)=3x2+6x

(

m

+

n

)

(

m

−

n

)

=

m

2

−

n

2

(m+n)(m-n)=m^2-n^2

(m+n)(m−n)=m2−n2

第二组（因式分解）：

3

x

2

+

6

x

=

3

x

(

x

+

2

)

3x^2+6x=3x(x+2)

3x2+6x=3x(x+2)

m

2

−

n

2

=

(

m

+

n

)

(

m

−

n

)

m^2-n^2=(m+n)(m-n)

m2−n2=(m+n)(m−n)

学生观察并小组讨论：两组运算的方向有何不同？左右两边形式特征有何区别？

学生汇报后，教师精准定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。

【基础】【高频考点】

2.辨析概念本质

教师提供一组判断题，学生使用红笔在学习单上打✓或✗，并说明理由：

①x

2

+

3

x

+

1

=

x

(

x

+

3

)

+

1

x^2+3x+1=x(x+3)+1

x2+3x+1=x(x+3)+1✗（结果不是整式乘积）

②2

x

2

−

4

x

=

2

x

(

x

−

2

)

2x^2-4x=2x(x-2)

2x2−4x=2x(x−2)✓

③(

a

+

2

)

(

a

−

2

)

=

a

2

−

4

(a+2)(a-2)=a^2-4

(a+2)(a−2)=a2−4✗（这是整式乘法，方向反了）

④x

2

−

4

=

(

x

+

2

)

(

x

−

2

)

x^2-4=(x+2)(x-2)

x2−4=(x+2)(x−2)✓

师生共同归纳因式分解的两大要素：结果必须是整式乘积；必须与左边多项式恒等。【重要】

3.揭示核心方法

教师设问：对于3

x

2

+

6

x

3x^2+6x

3x2+6x，你是如何想到3

x

(

x

+

2

)

3x(x+2)

3x(x+2)这个结果的？学生自然会联系乘法分配律的逆用。教师顺势引出：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。提公因式法就是依据乘法分配律逆用，将公因式提取出来。【非常重要】

（三）精准聚焦，公因式确定——10分钟

1.样例学习，归纳法则

教师出示四个多项式，学生四人小组合作，依次找出各式的公因式，并汇报确定依据：

①8

a

3

b

2

+

12

a

b

3

c

8a^3b^2+12ab^3c

8a3b2+12ab3c

②6

x

2

y

−

9

x

y

2

+

3

x

y

6x^2y-9xy^2+3xy

6x2y−9xy2+3xy

③−

4

m

3

n

2

+

8

m

2

n

3

−

12

m

n

-4m^3n^2+8m^2n^3-12mn

−4m3n2+8m2n3−12mn

④2

a

(

x

−

y

)

+

4

b

(

y

−

x

)

2a(x-y)+4b(y-x)

2a(x−y)+4b(y−x)

【非常重要】【高频考点】

小组汇报时教师结构化板书：

多项式

系数处理

相同字母

最低指数

公因式

①

8,12→4

a,b

a¹,b²

4

a

b

2

4ab^2

4ab2

②

6,9,3→3

x,y

x¹,y¹

3

x

y

3xy

3xy

③

-4,8,-12→-4

m,n

m²,n¹

−

4

m

2

n

-4m^2n

−4m2n

④

2,4→2

(x-y)

整体

2

(

x

−

y

)

2(x-y)

2(x−y)

师生共同总结确定公因式“三字诀”：

系数——取各项系数的最大公因数（若首项为负，通常将负号一并提出）；

字母——取各项相同字母；

指数——相同字母取最低次幂。

【非常重要】

2.关键点突破——公因式为多项式整体

对于④2

a

(

x

−

y

)

+

4

b

(

y

−

x

)

2a(x-y)+4b(y-x)

2a(x−y)+4b(y−x)，学生易因符号不同而忽视公因式。教师引导学生将y

−

x

y-x

y−x变形为−

(

x

−

y

)

-(x-y)

−(x−y)，从而发现公因式2

(

x

−

y

)

2(x-y)

2(x−y)，并规范书写过程。

此环节渗透转化思想，并警示：互为相反数的因式，可通过提取负号转化为相同因式。【难点】【高频考点】

3.即时性巩固

学习单第一层练习：找出下列多项式的公因式：

5

x

2

y

−

10

x

y

2

5x^2y-10xy^2

5x2y−10xy2；3

m

2

n

−

6

m

n

2

+

9

m

n

3m^2n-6mn^2+9mn

3m2n−6mn2+9mn；−

2

a

3

b

2

+

4

a

2

b

3

−

6

a

b

-2a^3b^2+4a^2b^3-6ab

−2a3b2+4a2b3−6ab；x

(

a

−

b

)

+

y

(

b

−

a

)

x(a-b)+y(b-a)

x(a−b)+y(b−a)。

学生独立完成后同桌互批，教师巡视采集典型错例用于后续辨析。【重要】

（四）算法建模，步骤显化——12分钟

1.完整示范，程序固化

教师以多项式6

x

2

y

−

9

x

y

2

+

3

x

y

6x^2y-9xy^2+3xy

6x2y−9xy2+3xy为例，边板书边阐述“提公因式法四步操作法”：

【非常重要】【热点】

[1]找公因式：系数6、9、3的最大公因数是3，相同字母x、y，最低指数均为1，公因式为3

x

y

3xy

3xy。

[2]提公因式：将公因式写在括号外，原多项式每一项除以公因式：

6

x

2

y

÷

3

x

y

=

2

x

6x^2y÷3xy=2x

6x2y÷3xy=2x，−

9

x

y

2

÷

3

x

y

=

−

3

y

-9xy^2÷3xy=-3y

−9xy2÷3xy=−3y，3

x

y

÷

3

x

y

=

1

3xy÷3xy=1

3xy÷3xy=1。

[3]整合结果：公因式乘以剩余部分，即3

x

y

(

2

x

−

3

y

+

1

)

3xy(2x-3y+1)

3xy(2x−3y+1)。

[4]验证还原：利用整式乘法检验3

x

y

⋅

(

2

x

−

3

y

+

1

)

3xy·(2x-3y+1)

3xy⋅(2x−3y+1)是否等于原多项式，确认恒等。

教师强调：提取公因式后，括号内多项式的项数必须与原多项式的项数相等，尤其当某一项恰好是公因式时，提取后该项位置为“1”而非“0”，这是学生极易遗漏的关键点。【难点】【高频错点】

2.负号处理专项训练

以−

4

m

3

n

2

+

8

m

2

n

3

−

12

m

n

-4m^3n^2+8m^2n^3-12mn

−4m3n2+8m2n3−12mn为例，教师展示两种处理方式并对比：

法一：提取负号作为公因式的一部分，得−

4

m

2

n

(

m

n

−

2

n

2

+

3

)

-4m^2n(mn-2n^2+3)

−4m2n(mn−2n2+3)；

法二：先提出负号，括号内各项变号，再提取正公因式。

学生通过对比明确：通常将负号一并提出，使括号内首项系数为正，简化后续运算。【重要】

3.首项为“1”的专项辨析

教师故意呈现错误样例：3

x

2

y

−

6

x

y

+

3

y

=

3

y

(

x

2

−

2

x

)

3x^2y-6xy+3y=3y(x^2-2x)

3x2y−6xy+3y=3y(x2−2x)，故意漏掉末尾“+1”。

学生通过整式乘法检验发现右边乘开得3

x

2

y

−

6

x

y

3x^2y-6xy

3x2y−6xy，与原式差3

y

3y

3y，从而深刻领悟“公因式也是某一项时，该项剩余因式为1”的铁律。【非常重要】

4.嵌入微课深化

播放5分钟微课《公因式侦探所》，以动画形式呈现提取公因式的完整思维流程，尤其强化“负号处理”与“1的陷阱”两个认知难点。微课中设置即时停顿，学生需回答屏幕弹出问题，实现人机交互。【重要】

（五）分层训练，技能内化——18分钟

【本环节采用“三层递进式题组”，全部以完整段落形式叙述，避免列表呈现，但题序使用[1][2][3]标记符合Markdown标题层级】

1.基础性巩固题组

[1]分解因式：4

x

3

+

8

x

2

−

12

x

4x^3+8x^2-12x

4x3+8x2−12x。学生独立书写完整过程，一名学生板演。教师巡视并展示典型作业：4

x

(

x

2

+

2

x

−

3

)

4x(x^2+2x-3)

4x(x2+2x−3)。追问：公因式提尽了吗？括号内x

2

+

2

x

−

3

x^2+2x-3

x2+2x−3还能继续分解吗？（学生意识到未学公式法，但需强调“当前阶段提公因式即完成”即可，同时铺垫后续学习。）

[2]分解因式：−

3

a

2

b

+

9

a

b

2

−

6

a

b

-3a^2b+9ab^2-6ab

−3a2b+9ab2−6ab。重点检查负号处理及末尾项是否为1。

[3]分解因式：2

m

(

m

−

n

)

+

4

n

(

n

−

m

)

2m(m-n)+4n(n-m)

2m(m−n)+4n(n−m)。强化相反数转化。

【基础】【高频考点】

2.综合性提升题组

[1]先分解因式，再求值：2

x

2

y

−

4

x

y

2

+

2

x

y

2x^2y-4xy^2+2xy

2x2y−4xy2+2xy，其中x

=

1

,

y

=

2

x=1,y=2

x=1,y=2。学生体验因式分解在简化求值中的优势——先分解再代入，计算量远小于直接代入。

[2]用简便方法计算：999

2

+

999

999^2+999

9992+999。学生经历将数字式转化为999

×

(

999

+

1

)

999×(999+1)

999×(999+1)的过程，感受因式分解在数值计算中的威力。【重要】【热点】

[3]已知a

+

b

=

5

,

a

b

=

3

a+b=5,ab=3

a+b=5,ab=3，求a

2

b

+

a

b

2

a^2b+ab^2

a2b+ab2的值。引导学生将目标多项式提公因式a

b

ab

ab，整体代入。此为代数式恒等变形的典型应用，渗透整体思想。【非常重要】

3.拓展性挑战题组

[1]分解因式：x

2

y

2

−

2

x

2

y

+

x

y

2

x^2y^2-2x^2y+xy^2

x2y2−2x2y+xy2。部分学生会提取x

y

xy

xy，得x

y

(

x

y

−

2

x

+

y

)

xy(xy-2x+y)

xy(xy−2x+y)。教师引导观察括号内是否还能提公因式？x

y

−

2

x

+

y

=

x

(

y

−

2

)

+

y

xy-2x+y=x(y-2)+y

xy−2x+y=x(y−2)+y，无法继续。但若先提取x

x

x或y

y

y是否更优？组织学生比较不同提取顺序对结果形式的影响，体验因式分解结果不唯一但等价。

[2]分解因式：a

n

+

1

−

2

a

n

+

a

n

−

1

a^{n+1}-2a^n+a^{n-1}

an+1−2an+an−1（n

n

n为整数且n

≥

2

n≥2

n≥2）。此题为字母指数含参问题，要求学生提取最低指数a

n

−

1

a^{n-1}

an−1，得a

n

−

1

(

a

2

−

2

a

+

1

)

a^{n-1}(a^2-2a+1)

an−1(a2−2a+1)。后续可衔接公式法，此处仅需完成提公因式步骤。【难点】

[3]用提公因式法说明：81

27

−

27

41

81^{27}-27^{41}

8127−2741能被18整除。学生需将底数改写为3的幂，提取公因式后括号内为整数，从而得证。本题融合数论整除知识，体现因式分解的工具性价值。【拓展】【高频考点】

（六）错例会诊，反刍深化——6分钟

1.典型错例呈现

教师通过实物展台投影三份典型错误作业，隐去姓名，组织全班“诊断开方”：

错例A：6

x

2

y

−

9

x

y

2

+

3

x

y

=

3

x

y

(

2

x

−

3

y

)

6x^2y-9xy^2+3xy=3xy(2x-3y)

6x2y−9xy2+3xy=3xy(2x−3y)。病因：公因式提取后第三项剩余“1”丢失。

错例B：−

2

x

2

+

4

x

y

−

2

x

=

−

2

x

(

x

+

2

y

−

1

)

-2x^2+4xy-2x=-2x(x+2y-1)

−2x2+4xy−2x=−2x(x+2y−1)。病因：括号内符号错误，应是−

2

x

(

x

−

2

y

+

1

)

-2x(x-2y+1)

−2x(x−2y+1)。

错例C：3

a

(

x

−

y

)

−

2

b

(

y

−

x

)

=

3

a

(

x

−

y

)

+

2

b

(

x

−

y

)

=

(

x

−

y

)

(

3

a

+

2

b

)

3a(x-y)-2b(y-x)=3a(x-y)+2b(x-y)=(x-y)(3a+2b)

3a(x−y)−2b(y−x)=3a(x−y)+2b(x−y)=(x−y)(3a+2b)。步骤正确但公因式提取不完整——系数1被忽略，应提(

x

−

y

)

(x-y)

(x−y)即可，无需保留系数1。

2.归因与矫正策略

学生分组讨论每处错误背后的思维漏洞，并以“给错例写建议”的形式梳理正确步骤。教师总结高频失分点并板书预警：“一提公因式要提尽，二看项数不能少，三查符号防出错，四验乘法要记牢。”【非常重要】

（七）课堂小结，认知建模——4分钟

1.知识图谱建构

教师引导学生在学习单上以“思维导图段落式”总结本课收获，以文字形式串联关键词：

因式分解定义——逆用整式乘法；公因式确定——系数最大公因数、相同字母、最低指数；提公因式四步法——找、提、整、验；易错警示——负号、1、相反数、公因式整体。

2.核心思想提炼

教师升华：提公因式法的本质是将乘法分配律“反过来用”，这是数学中极为重要的逆向思维。整式乘法是把鸡蛋做成蛋糕，因式分解是把蛋糕还原成鸡蛋——这种还原能力将帮助我们解决未来更多复杂问题。【重要】

（八）当堂检测，即时反馈——5分钟

发放5分钟小测条（学习单背面），题目为：

[1]多项式8

x

2

y

−

12

x

y

2

8x^2y-12xy^2

8x2y−12xy2的公因式是______。【基础】

[2]分解因式：−

3

a

2

+

6

a

b

−

3

a

-3a^2+6ab-3a

−3a2+6ab−3a。【重要】

[3]分解因式：2

x

(

a

−

2

)

+

4

y

(

2

−

a

)

2x(a-2)+4y(2-a)

2x(a−2)+4y(2−a)。【热点】

[4]若m

−

n

=

2

m-n=2

m−n=2，m

n

=

1

mn=1

mn=1，求m

2

n

−

m

n

2

m^2n-mn^2

m2n−mn2的值。【高频考点】

学生独立完成后，