八年级数学（人教版）上册 直角三角形全等的判定（四）‘斜边、直角边（HL）’定理 导学案

八年级数学（人教版）上册直角三角形全等的判定（四）‘斜边、直角边（HL）’定理导学案

  一、教学全景深度分析

  （一）课标要求与核心素养解读

  本节课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与几何”领域“图形的性质”主题。课标明确要求：“掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；三边分别相等的两个三角形全等。”同时，“探索并掌握判定直角三角形全等的‘斜边、直角边’定理。”本节课的核心目标在于引导学生经历从一般三角形全等的判定方法向特殊三角形（直角三角形）全等判定方法的迁移与特殊化探究过程。在这一过程中，着力发展学生的以下核心素养：

  逻辑推理素养：经历“观察实验—提出猜想—推理论证”的完整数学探究过程，体会合情推理与演绎推理的有机结合。特别是在证明“HL”定理时，需要创造性运用勾股定理进行代数化论证，或通过尺规作图构造全等形进行几何转化，这是对逻辑推理能力的高阶锻炼。

  几何直观与空间观念素养：通过动手操作（拼图、作图）、动态几何软件演示，直观感知斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等这一几何事实。从运动的视角理解将一般三角形判定（SAS）通过“直角”这一条件特殊化的演变过程，建立图形位置与数量关系的深刻联系。

  数学建模素养：将“HL”定理作为解决实际测量问题（如不可达距离的间接测量）和复杂几何证明问题的有效模型，理解其作为“工具”的普适性和简洁性。

  抽象能力与模型观念：从具体的三角形中抽象出“直角三角形全等”的判定条件，剥离非本质属性（如三角形的具体形状、大小），聚焦于“斜边”和“直角边”这两组核心元素，形成“HL”这一简洁的判定模型。

  （二）教材内容立体化剖析

  本节课是人教版八年级上册第十二章“全等三角形”的第四课时，也是直角三角形全等判定的专属课时。在全等三角形判定知识体系中，它处于承上启下的关键节点。

  纵向知识脉络：此前，学生已系统学习了适用于所有三角形的四个基本判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。这些判定中，至少需要三个条件（且至少有一条边）。本节课则聚焦于直角三角形这一特殊子类。直角三角形因其自带一个“直角”的已知条件，使得其全等的判定得以简化。教材通过探究活动引导学生发现：对于直角三角形，只需“斜边和一条直角边对应相等”（HL）即可判定全等。这不仅是判定方法的数量“减少”，更是思维上的“转化”与“升华”：将“HL”条件通过勾股定理转化为“SSS”，或通过构造辅助线转化为已学判定。这为后续学习勾股定理及其逆定理、等腰三角形、轴对称等知识提供了重要的证明工具和研究视角。

  横向知识关联：与“三角形”一章内的“三角形的边”、“三角形的高、中线、角平分线”等概念紧密相连，特别是理解直角三角形“斜边”和“直角边”的独特地位。同时，“HL”定理的证明过程完美地串联了“全等三角形的性质”、“勾股定理”（虽未正式学习，但可提前渗透其思想）、“尺规作图”等知识，体现了知识的综合性与互通性。

  思想方法渗透：本节蕴含着丰富的数学思想方法：1.特殊与一般的思想：从一般三角形到直角三角形的特殊化研究。2.转化与化归思想：将未知的“HL”判定转化为已知的“SSS”或“SAS”判定。3.数形结合思想：用勾股定理（数的运算）解决图形全等（形的性质）问题。4.分类讨论思想：在应用“HL”定理时，需明确“斜边”和“直角边”的对应关系。

  （三）学情诊断与认知起点分析

  授课对象为八年级上学期学生，其认知特点与知识储备如下：

  认知心理特征：该阶段学生正处于从具体运算思维向形式运算思维过渡的关键期，抽象逻辑思维能力有显著发展但尚不成熟，仍需直观经验和操作支撑。他们对探索性的数学活动充满兴趣，具备初步的合作探究与表达交流能力。

  已有知识储备：学生已经牢固掌握了全等三角形的概念和性质，能够熟练运用SSS、SAS、ASA、AAS判定两个三角形全等。熟悉直角三角形的定义及相关元素名称（直角边、斜边）。具备基本的尺规作图能力（作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角）。对勾股定理可能有初步的、非正式的了解（如通过数学文化或前置渗透）。

  潜在认知障碍与迷思概念：1.思维定式：容易将一般三角形的判定方法机械套用于直角三角形，而忽略“HL”这一更简捷的专用工具。2.理解偏差：可能误认为“两条直角边对应相等（即SAS）”也是直角三角形特有的判定，未能深刻理解“HL”的独特性在于“斜边”的参与。3.书写规范困难：在运用“HL”定理书写证明格式时，容易遗漏“Rt△”的符号标注，或混淆“斜边”与“直角边”在条件陈述中的顺序和对应关系。4.构造障碍：在自主探索证明思路时，对于如何将“HL”条件转化为已知判定，可能缺乏有效的转化策略（如通过作辅助线构造全等，或利用勾股定理计算第三边）。

  教学应对策略：针对以上学情，教学设计将强化探究过程的体验性，通过对比、质疑、辩论，打破思维定式；设计循序渐进的证明思路引导支架，帮助学生跨越转化障碍；并通过严格的范例示范与变式训练，规范书写格式，深化理解。

  二、教学目标系统设计

  基于以上分析，确立以下三维教学目标：

  （一）知识与技能

  1.通过自主探究与教师引导，探索并理解直角三角形全等的“斜边、直角边（HL）”判定定理。

  2.能够准确叙述“HL”定理的内容，明确其适用条件（仅限于直角三角形），并能区分其与一般三角形全等判定的异同。

  3.掌握“HL”定理的两种典型证明方法（勾股定理转化法和尺规作图构造法），理解其证明思路中蕴含的转化思想。

  4.能够灵活、准确地运用“HL”定理，结合其他判定方法，进行几何证明、计算和解决简单的实际问题。

  （二）过程与方法

  1.经历完整的数学探究活动：从生活情境或数学问题中发现问题，通过动手实验（画图、剪纸、拼图）、几何画板动态演示进行观察与猜想，再通过逻辑推理验证猜想，最终形成定理。

  2.体验“从一般到特殊”的数学研究路径，学习在特殊图形（直角三角形）中寻找更简洁、更有效的性质或判定方法。

  3.在定理的证明和应用中，深化对转化与化归、数形结合等数学思想方法的理解与应用能力。

  4.通过小组合作讨论、辨析错例、一题多解等活动，提升分析、比较、概括、表达和协作解决问题的能力。

  （三）情感态度与价值观

  1.在探究“HL”定理的过程中，感受数学知识之间的内在联系（全等、勾股、作图）和逻辑体系的严谨与美妙，增强学习数学的兴趣和自信心。

  2.体会数学源于生活又服务于生活的价值，通过利用“HL”定理解决测量问题等，认识数学的工具性。

  3.养成严谨、求实的科学态度和理性精神，在猜想与验证中体会数学发现的不易与喜悦。

  4.通过了解“HL”定理在数学发展史中的意义（简化几何证明），感悟数学的简洁之美与力量。

  三、教学重难点及突破策略

  （一）教学重点

  1.“斜边、直角边（HL）”定理的探索与理解。

  2.“HL”定理的证明思路（特别是转化思想）。

  3.“HL”定理的准确与灵活应用。

  （二）教学难点

  1.“HL”定理证明思路的生成与理解。如何引导学生自然想到将“HL”条件转化为已知的判定条件，是思维上的跨越。

  2.在复杂图形中识别或构造满足“HL”定理的条件以解决问题。需要学生具备较强的图形分解与组合能力。

  （三）突破策略

  针对难点一，设计“脚手架式”的探究任务链：第一步，复习回顾一般三角形全等判定，提问“对于直角三角形，可否减少条件？”引发思考。第二步，提供具体数据（如斜边5cm，一条直角边3cm），让学生尝试用尺规作出所有可能的直角三角形，通过操作发现“唯一性”，直观感知定理。第三步，追问“为什么唯一？能否用学过的知识证明？”引导学生联想勾股定理（计算另一条直角边，转化为SSS）或引导思考“如何通过拼接，使之符合SAS或ASA？”（通过补形或翻折构造全等）。教师可适时利用几何画板进行动态演示，将抽象的转化过程可视化。

  针对难点二，采用“变式训练与专题剖析”相结合的方式。设计从直接应用到间接应用的系列例题和练习题。在例题讲解中，刻意展示图形标注重构法：用不同颜色的笔标记出已知的相等直角、斜边和直角边，从而在复杂图形中“隔离”出目标直角三角形。专门设置一类习题，训练学生通过作辅助线（如作高、连接两点），构造出符合“HL”条件的直角三角形。

  四、教学准备与资源

  （一）教师准备

  1.多媒体课件（PPT或几何画板）：包含探究情境动画、尺规作图动态演示、“HL”定理证明过程的动态分解图、例题与变式题的图形解析步骤。

  2.几何画板软件：用于课堂实时演示，验证“给定斜边和直角边，直角三角形是否唯一”，以及展示辅助线的构造过程。

  3.教具：两个全等的直角三角形透明胶片（可拆拼）、三角板、圆规。

  4.导学案（即本设计文本的学生活动任务版）。

  5.预设的学生可能提出的问题及应答策略。

  （二）学生准备

  1.复习全等三角形的判定方法（SSS,SAS,ASA,AAS）。

  2.准备直尺、圆规、量角器、三角板、剪刀、空白纸。

  3.预习教材相关章节，思考“直角三角形全等是否可以有更简便的判据？”

  （三）环境与资源

  1.具备多媒体演示设备和黑板（或白板）的教室。

  2.学生分组（4-6人一组），便于开展合作探究。

  五、教学实施过程精细设计（核心环节）

  （一）创设情境，问题驱动——点燃思维引擎（预计时间：8分钟）

  1.情境导入：

  教师利用多媒体展示一个实际问题：“如图，公园内有一个呈直角形状的池塘（∠ACB=90°），工作人员想在岸边两点A、B之间架设一座观光桥。为了测量A、B间的距离，由于池塘阻隔无法直接测量，技术人员在岸边选定一点C，测得CA=90米，CB=120米。他能否根据这些数据唯一确定AB的长度？为什么？”

  设计意图：选择贴近生活的测量问题，激发学生兴趣。问题本质是：已知直角三角形的两条直角边（SAS），三角形唯一确定，斜边AB长度可由勾股定理求出。这既复习了旧知，又自然引出直角三角形。

  2.问题变式，驱动探究：

  教师改变情境数据：“如果技术人员测量的不是两条直角边，而是测量了斜边AB=150米，和一条直角边BC=120米。他现在能否唯一确定A、C间的距离呢？换句话说，已知斜边和一条直角边，这个直角三角形的大小和形状是唯一确定的吗？”

  设计意图：将已知条件从“SAS”（两直角边）巧妙转变为“斜边和一条直角边”，这是学生未系统研究过的条件组合。认知冲突由此产生：这个条件能否判定直角三角形全等？从而明确本节课的核心探究问题。

  （二）活动探究，猜想初建——亲历知识生成（预计时间：12分钟）

  活动一：动手操作，直观感知

  任务：请每个学习小组，利用手中的圆规和直尺，完成以下作图。

  （1）画一条线段AB，使其长度为10cm（代表斜边）。

  （2）画一条线段BC，使其长度为6cm（代表一条直角边）。

  （3）以点B为顶点，以BC为一边，借助三角板画一个直角∠CBD。

  （4）问题：以A为圆心，10cm为半径画弧；以C为圆心，多长的线段为半径画弧，能与前一条弧交于一点D，使得△ABD是直角三角形，且BD与BC重合在一条直线上？这个点D的位置是唯一的吗？

  学生在尝试中会发现，要使得△ABD是直角三角形且∠ABD为90°，实际上需要满足AD是斜边。通过作图尝试，他们会发现当确定了直角顶点B、直角边BC和斜边AB后，点A的位置固定，要找到点D使得AD=AB且∠ABD=90°，这个点D通常是唯一的（对称位置可能有一个，但通过旋转可重合）。教师可让几个小组展示他们的作图结果，对比所得到的三角形是否都能完全重合。

  设计意图：通过尺规作图的精确性和约束性，让学生在实践中体验“给定斜边、直角边及直角位置，所作直角三角形具有唯一性”。这是猜想成立的直观基础。

  活动二：几何画板，动态验证

  教师利用几何画板进行高级演示：

  （1）构造一条固定长度的线段作为斜边c。

  （2）构造一条长度可调但小于c的线段作为直角边a。

  （3）固定斜边c的一端，另一端记为动点。以a为半径画圆，模拟直角边另一端的轨迹。

  （4）演示当直角顶点和斜边固定时，满足“斜边=c，直角边=a”且夹角为90°的三角形，其第三个顶点的可能位置。学生将清晰地看到，在符合直角约束的条件下，该点被唯一确定（或关于斜边所在直线对称，但两个三角形全等）。

  设计意图：弥补手工作图可能存在的误差，通过动态几何的精准演示，将“唯一性”可视化，强化学生的感性认识，为猜想提供有力支撑。

  （三）启发引导，推理论证——构建逻辑大厦（预计时间：15分钟）

  1.猜想表述：

  基于以上活动，师生共同归纳出猜想：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

  教师强调：这仅是猜想，需要严格的数学证明。

  2.分析转化，探寻证法：

  核心问题：我们已有的工具是四个全等判定（SSS、SAS、ASA、AAS）。如何将“斜边相等（H）和一条直角边相等（L）”这两个条件，与“直角相等”这个隐含条件结合起来，转化为满足其中某个判定的条件？

  学生独立思考与小组讨论（3分钟）。教师巡视，捕捉典型思路。

  3.展示交流，思维碰撞：

  预计学生可能产生两种主流思路：

  思路一（代数转化法）：利用勾股定理。在Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘中，∠C=∠C’=90°，AB=A‘B’（斜边相等），AC=A‘C’（一条直角边相等）。由勾股定理，BC²=AB²-AC²，B‘C’²=A‘B’²-A‘C’²。因为AB=A‘B’，AC=A‘C’，所以BC²=B‘C’²，又因边长非负，故BC=B‘C’。这样，三边对应相等（SSS），所以△ABC≌△A‘B’C‘。

  评价与引导：此思路简洁有力，体现了数形结合。教师需肯定其正确性，并指出这实际上将“HL”条件通过计算转化为了“SSS”条件。同时，可借此机会提前渗透勾股定理的“算两次”思想。

  思路二（几何构造法）：通过平移、旋转或翻折，将两个三角形拼合在一起，利用“直角”和“边相等”构造出满足SAS或ASA的条件。一种典型证法是：将两个三角形使相等的直角边重合，且直角顶点重合，让它们位于这条公共边的两侧。由于斜边相等，可以证明两个斜边的另一个端点重合，或通过等腰三角形等知识证明第三边或夹角相等。

  教师主导，精讲一种标准几何证法（综合法）：

  已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘中，∠C=∠C’=90°，AB=A‘B’，AC=A‘C’。

  求证：Rt△ABC≌Rt△A‘B’C’。

  证明：将△ABC和△A‘B’C’拼合，使得点A与点A‘重合，点C与点C’重合，且边AC与边A‘C’重合（因为AC=A‘C’）。由于∠C=∠C‘=90°，所以点B和点B’都在过点C且垂直于AC的直线上，即B、C、B‘三点共线。

  情况1：如果点B与点B‘在点C的同侧。因为AB=A’B‘，所以点B与点B’到点A的距离相等。在一条直线上，到定点A距离相等的点最多有两个，且关于点A在直线上的垂足对称。但在当前构造下，B和B‘都在AC的同一侧垂线上，且AC固定，要满足AB=A’B‘，实际上需要B与B’重合。（此处可稍作解释，或引导学生想象）。

  情况2（更通用的表述）：实际上，我们可以把△A‘B’C‘沿直角边A’C‘翻折或平移，使得A’与A重合，C‘与C重合，且B’落在CB所在射线上。因为AB=A‘B’，所以B‘必定落在以A为圆心，AB为半径的圆与射线CB的交点上。又因为AC⊥CB，这个交点通常是唯一的（除非B在特殊位置）。因此B‘与B重合。

  因此，两个三角形完全重合，所以Rt△ABC≌Rt△A‘B’C’。

  设计意图：思路一突出代数工具的威力；思路二（教师精讲）体现纯几何推理的严谨和构造的巧妙。通过对比两种证法，学生能深刻体会证明路径的多样性，以及转化思想的核心地位。教师需规范板书证明过程，强调“Rt△”的符号书写和“HL”的条件罗列格式。

  （四）定理明晰，内化巩固——夯实知识根基（预计时间：10分钟）

  1.定理命名与表述：

  师生共同确认猜想成立，成为定理。简称“斜边、直角边定理”或“HL定理”。请学生用文字语言、图形语言、符号语言三种方式复述定理。

  文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

  图形语言：（在黑板上画出标准图示，标注相等的斜边和直角边，以及直角符号）。

  符号语言：在Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘中，

  ∵AB=A‘B’(斜边)，

  AC=A‘C’(直角边)，

  ∠C=∠C‘=90°，

  ∴Rt△ABC≌Rt△A‘B’C‘(HL)。

  2.辨析对比，深化认知：

  问题链：

  （1）“HL”定理与“SSS”、“SAS”等一般判定方法是什么关系？（是前者的特殊情形，但应用更简捷；其证明可以转化为前者）。

  （2）对于直角三角形，我们已经有哪些判定全等的方法？（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）。其中，哪些是直角三角形独有的？（HL）。

  （3）“两条直角边对应相等”可以用“HL”判定吗？为什么？（可以，但属于“SAS”的特例，用“SAS”更直接。“HL”强调的是“斜边”参与判定）。

  （4）判断：有“一边和一锐角对应相等”的两个直角三角形全等吗？（不一定，需区分是斜边还是一直角边对角，引出需结合AAS或ASA具体分析）。

  设计意图：通过对比和辨析，将新定理纳入原有的认知结构，明确其适用范围和独特性，避免与旧知混淆，构建清晰、稳固的知识网络。

  （五）典例精析，应用迁移——锤炼关键能力（预计时间：20分钟）

  例1：（直接应用，规范书写）

  如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D，且AC=BD。求证：BC=AD。

  教师引导分析：

  1.目标分析：要证BC=AD，观察BC和AD所在三角形△ABC和△BAD。

  2.条件分析：已知AC⊥BC，AD⊥BD⇒∠C=∠D=90°。已知AC=BD。还需要一个条件。

  3.寻找公共边或等边：发现AB是Rt△ABC和Rt△BAD的公共斜边。

  4.判定选择：在两个直角三角形中，具备“斜边AB=AB（公共），直角边AC=BD（已知）”，符合HL定理。

  5.板书规范证明过程，强调步骤和格式。

  证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD（已知），

  ∴∠C=∠D=90°（垂直定义）。

  在Rt△ABC和Rt△BAD中，

  ∵AB=BA（公共边），

  AC=BD（已知），

  ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。

  ∴BC=AD（全等三角形的对应边相等）。

  设计意图：本例是HL定理最直接、最典型的应用。旨在训练学生快速识别“两个直角三角形”、“斜边相等”、“一条直角边相等”这三个关键要素，并掌握规范的证明书写格式。

  例2：（间接应用，构造转化）

  已知：如图，点P是∠AOB内一点，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，且PE=PF。点C在OA上，点D在OB上，且PC=PD。求证：OC=OD。

  教师引导分析：

  1.条件剖析：PE⊥OA，PF⊥OB，PE=PF⇒联想到角平分线性质定理的逆定理？点P在∠AOB的平分线上。但这个结论是否需要先证明？可作为中间步骤。

  2.第一次全等（应用HL）：连接OP。在Rt△OEP和Rt△OFP中，OP=OP（公共斜边），PE=PF（已知）⇒Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）⇒∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB。也可得OE=OF。

  3.第二次全等（目标导向）：要证OC=OD，观察△OCP和△ODP。它们不是直角三角形。能否转化为直角三角形？由PC=PD，若OP平分∠AOB，可考虑用SAS证△OCP≌△ODP？需要OCP和ODP两组角？或构造垂直。

  4.构造直角三角形：更简洁的思路是，利用第一次全等得到的OE=OF，和已知PC=PD，以及∠OEP=∠OFP=90°，可证Rt△ECP≌Rt△FDP（HL？需要斜边相等，但EC、FD未知）。此路可能稍繁。

  5.优化思路：直接利用已证OP平分∠AOB，和PC=PD，以及公共边OP，用SSS？需要OC=OD（这正是要证的），陷入循环。

  6.引导发现关键：回到条件PE=PF，PC=PD。连接CE、DF？尝试另一种构造：在OC上截取OG=OD？过于复杂。实际上，更高效的路径是：先证Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）得OE=OF。再证Rt△CEP≌Rt△DFP（HL）。要证这对全等，需要：∠CEP=∠DFP=90°，PE=PF（已知），还需要斜边相等PC=PD（已知），恰好满足HL！由此得CE=DF。然后利用等式性质，由OE=OF，CE=DF，可得OE-CE=OF-DF，即OC=OD。

  证明：（略，展示清晰步骤）。

  设计意图：本题难度提升，需要两次运用HL定理。旨在训练学生：（1）在复杂图形中分解出多对直角三角形；（2）识别HL定理的应用条件，包括发现或证明“斜边相等”；（3）体会将证明线段相等的问题，转化为证明三角形全等，再转化为证明其对应边相等的转化链。培养学生综合分析和执果索因的推理能力。

  例3：（实际应用，建模思想）

  回到课始的“池塘修桥”问题。已知：∠ACB=∠DCE=90°，AC=DC，AB=DE。求证：池塘两端的距离BC=EC。这实际是测量问题中“利用全等三角形测距离”的另一种模型。

  学生自主完成证明，并请学生口述测量原理。

  设计意图：首尾呼应，用新学定理解决导入问题，让学生体验学以致用的成就感，强化数学建模的应用价值。

  （六）变式训练，分层拓展——实现思维进阶（预计时间：10分钟）

  A组（基础巩固）：

  1.判断题：（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。（）（2）一个锐角和这个锐角的邻边对应相等的两个直角三角形全等。（）（3）一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等。（）

  2.如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，CE=BF。求证：AE=DF。

  B组（能力提升）：

  3.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E。若B、C在DE的同侧，且AD=CE，求证：AB⊥AC。（提示：需证明∠BAC=90°，可考虑证全等得角等，再利用平角）。

  C组（思维拓展）：

  4.已知：在平面直角坐标系中，A(0,3)，B(4,0)。在x轴上找一点P，使△ABP为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标。（此题融合了坐标系、勾股定理、等腰三角形性质，需要分类讨论，其中一种情况需用HL思想构造全等求长度）。

  设计意图：分层练习满足不同层次学生的需求。A组夯实基础概念和直接应用；B组训练综合运用和逆向思维；C组面向学有余力学生，实现跨章节知识融合，培养分类讨论和数形结合的高阶思维能力。课堂内可完成A、B组讲评，C组可作为思考题或课后探究。

  （七）课堂小结，反思升华——凝练认知结构（预计时间：5分钟）

  引导学生从以下维度进行自主小结：

  1.知识层面：我今天学到了一个什么新定理？它的内容是什么？适用于什么图形？

  2.方法层面：我们是怎样发现并证明这个定理的？（实验操作—观察猜想—推理论证）。定理的证明运用了哪些重要的数学思想？（转化与化归、数形结合）。

  3.应用层面：运用“HL”定理解决问题时，关键要注意哪几点？（先找直角三角形，再找斜边和直角边对应相等，注意书写格式）。

  4.联系层面：这个定理和以前学的全等判定方法有什么关系？它在知识体系中处于什么位置？

  教师最后以思维导图或知识树的形式进行系统性总结，将“HL”定理牢牢锚定在“全等三角形判定”的知识框架中。

  （八）布置作业，延伸学习——连接课内课外

  必做题：教材对应章节的练习题，完成练习册基础部分。

  选做题：1.撰写一篇数学小短文《“HL”定理的发现之旅》，记述探索过程和个人思考。2.寻找生活中或其它学科中可以利用“HL”定理解释或解决的问题实例。

  实践探究题：小组合作，设计一个利用“HL”定理进行校园内不可达两点距离测量的方案，并尝试实施（注意安全）。

  六、板书设计规划

  （左侧主板）

  标题：直角三角形全等的判定（四）——斜边、直角边（HL）定理

  一、探究问题

   已知斜边和一条直角边，直角三角形唯一吗？

  二、定理内容

   文字语言：……

   图形语言：[绘制标准图]

   符号语言：在Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘中，

    ∵AB=A‘B’，AC=A‘C’，∠C=∠C‘=90°，

    ∴Rt△ABC≌Rt△A‘B’C‘(HL)。

  三、定理证明

   思路1：勾股定理转化法（板书要点）

   思路2：几何构造法（板书详细过程）

  四、应用举例

   例1：（规范板书）