731离散型随机变量的均值课件-高二下学期数学人教A版选择性-1

离散型随机变量的分布列能够全面刻画这个随机变量的取值规律，但在解决实际问题中并不方便.比如：要比较高二4班和高二5班的数学成绩，通常会比较

要比较两名射击运动员的射击水平，一般会比较平均环数（总环数）以及平均成绩稳定性一组数据数字特征类似随机变量数字特征均值7.3离散型随机变量数字特征

问题1:甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示:

如何比较他们射箭水平的高低呢?

从平均值角度比较，甲的射箭水平比乙高环数X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2随机变量的均值一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.权数加权平均数

随机变量的均值作用：例1

在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少?分析：罚球有命中和不中两种可能结果，命中时X=1，不中时X=0，因此随机变量X服从两点分布，X的均值反映了该运动员罚球１次的平均得分水平．解：由题意得，X的分布列为即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.一般地，如果随机变量X服从两点分布，分布列如下表：那么，随机变量

X的均值为：求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值；(2)求概率：求X取每个值的概率；(3)写分布列：写出X的分布列；(4)求均值：由均值的定义求出E(X).例2

抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值.分析：先求出X的分布列，再根据定义计算

X的均值．解：由题意得，X的所有取值为：1，2，3，4，5，6则：即点数X的均值是3.5.所以X的分布列为：X123456P观察

掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5.随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数.根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图(1)和(2)所示.观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别?可以发现：

在这12组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数

X的均值3.5附近波动，且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的．①区别:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它随样本的不同而变化；②联系:对于简单随机样本,随着样本容量的增加样本的平均值越来越接近于总体的均值.因此我们常用样本的平均值估计总体的均值.3（15）

若Y=aX+b，其中a,b为常数，X为随机变量;(1)写出随机变量Y的分布列；(2)求Y的均值。Xx1x2‧‧‧xnYax1+bax2+b‧‧‧axn+bPp1p2‧‧‧pn均值的运算性质：例3

猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3-3所示.

规则如下:按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.歌曲ABC猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000分析：根据规则，公益基金总额X的可能取值有四种情况：猜错A，获得0元基金；猜对A而猜错B，获得1000元基金；猜对A和B而猜错C，获得3000元基金；A，B，C全部猜对，获得6000元基金．因此

X是一个离散型随机变量．利用独立条件下的乘法公式可求分布列．解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立X的分布列如下表所示：X0100030006000P0.20.320.2880.192X的均值为变式

如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同?如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金的均值最大?同理

当按A,C,B的顺序时

当按B,A,C的顺序时当按B,C,A的顺序时当按C,B,A的顺序时当按C,A,B的顺序时E(X)=2144,E(X)=2256，E(X)=2112E(X)=1872，E(X)=1904.当按A,B,C的顺序时E(X)=2336例3是概率决策问题也称为风险决策，选择不同的猜歌顺序，X的分布列是不同的，不能直接进行比较，所以决策的原则是选择期望值E(X)大的猜歌顺序。可以发现,按由易到难的顺序猜歌,得到公益金的期望值最大.例4根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案：

方案1:运走设备，搬运费为3800元。

方案2:建围墙,建设费为2000元,但围墙只能挡住小洪水.

方案3:不采取措施，希望不发生洪水.

工地的领导该如何决策呢?分析：决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好,根据题意,各种方案在不同状态下的总损失如表所示：方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用期望总损失最小的方案。解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1，X2，X3.采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元.因此，

采用方案2，遇到大洪水时，总损失为2000+60000=62000元；没有大洪水时，总损失为2000元.因此采用方案3，有因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.思考

如何辩证的理解该题结论？值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”：如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到小．不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的．用期望做决策

用期望来观察风险、分析风险进而做出正确决策，在生活中较为常见，如股票投资决策、某种试验的决策等.解：1.已知随机变量X的分布列为X12345P0.10.30.40.10.1(1)求E(X)；(2)求E(3X+2).课本67页解：2.抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得－1分,求得分X的均值.解：3.甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1h内生产出的次品数分别为X1，X2，其分布列分别为甲机床次品数的分布列乙机床次品数的分布列X10123P0.40.30.20.1X2012P0.30.50.2哪台机床更好?请解释你所得出结论的实际含义.由此可知，1h内甲机床平均生产1个次品，乙机床平均生产0.9个次品，所以乙机床相对更好.

(1)分别求出甲、乙两人被录用为志愿者的概率；

012

练习2(2025·济宁高二期中)甲、乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的10个球，其中甲箱中有8个红球和2个白球，乙箱中有5个红球和5个白球．(1)现从甲、乙两个箱子中各摸出1球，记摸到红球的个数为X，求X的分布列；(2)现做如下试验：先在两个箱子中选择一个并从中随机摸一球，若摸出的球是白球，则该试验结束；若摸出的球是红球，则从另一个箱子中再随机摸一球，无论摸出的球是白球还是红球，该试验都结束．假设从甲箱子中摸出一球是红球得奖金100元，否则不得奖金；从乙箱子中摸出一球是红球得奖金200元，否则不得奖金．为使累计得奖金额的均值最大，如果摸球顺序由你选择，你应该先从哪个箱子开始摸球？并说明理由．2（8）

2（8）

四.应用探究：2实际决策问题

分布列为2（8）

3（33）

练习

已知离散型随机变量X的概率分布如下表，则数学期望E(5X＋3)＝___．X135P0.5m0.2答案：15解：由分布列的性质，可得0.5＋m＋0.2＝1，解得m＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3